Phương trình đưa được về dạng y=ax+b

Tài liệu Phương trình đưa được về dạng y=ax+b gồm các nội dung sau:

I. Phương pháp giải

– Tóm tắt ngắn gọn phương pháp giải cho từng dạng bài 

II. Một số ví dụ

– Gồm 8 ví dụ minh họa đa dạng cho các dạng bài có lời giải chi tiết

III. Bài tập vận dụng

– Gồm 13 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các bài tập Phương trình đưa được về dạng y=ax+b

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG ax+b=0 (hay ax=-b)

I. Phương pháp giải

a) Phương trình không chứa mẫu số

    – Thực hiện phép tính để bỏ dấu ngoặc.

    – Chuyển các hạng tử chứa ẩn sang một vế, các hằng số sang vế kia.

    – Thu gọn và giải phương trình nhận được.

b) Phương trình chứa mẫu số bằng số

Trước hết phải quy đồng mẫu số rồi nhân hai vế với mẫu chung để khử mẫu số rồi thực hiện như a)

Chú ý: Không nhất thiết phải thực hiện theo các bước như trên. Tuỳ theo phương trình mà vận dụng linh hoạt các bước đó.

Ví dụ 1:

a, $\frac{{\mathrm{x}}^2+2}{3}+\frac{3(2\mathrm{x}–1)}{4}–6=\frac{(2\mathrm{x}+3)(\mathrm{x}–2)}{6}–\frac{5+8\mathrm{x}}{12}$ (1)

b, $3\mathrm{x}–\frac{\frac{\mathrm{x}+5}{2}–\frac{\mathrm{x}}{4}}{6}=\frac{4\mathrm{x}–\frac{5–2\mathrm{x}}{3}}{4}–2\mathrm{x}+1$         (2)

Giải

a, $\left(1\right)\iff 4({\mathrm{x}}^2+2)+9(2\mathrm{x}–1)–72=2(2{\mathrm{x}}^2–\mathrm{x}–6)–5–8\mathrm{x}$

$\iff 4{\mathrm{x}}^2+8+18\mathrm{x}–9–72=4{\mathrm{x}}^2–2\mathrm{x}–12–5–8\mathrm{x}$

$\iff 18x+8x+2x=–12–5–8+9+72$

$\iff 28x=56\iff x=2$

Nhận xét:

– Ở câu a) ta có thể bỏ qua bước quy đồng mẫu hai vế mà viết thẳng (1)

$\iff 4({\mathrm{x}}^2+2)+9(2\mathrm{x}–1)–72=2(2{\mathrm{x}}^2–\mathrm{x}–6)–5–8\mathrm{x}$ vì thực chất nhân hai vế của phương trình (3) với 12 được ngay kết quả này.

 – Sau khi khai triển hai vế có chứa hai hạng tử bằng nhau $4{\mathrm{x}}^2$, ta có thể bỏ đi (thực chất khi chuyển vế được hai hạng tử đối nhau nên tổng bằng 0).

b)

\[\begin{array}{l}(2) \Leftrightarrow 3x – \frac{{2x + 10 – x}}{{24}}\\ = \frac{{12x – 5 + 2x}}{{12}} – 2x + 1\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 72x – 2x – 10 + x = 24x – 10 + 4x – 48x + 24\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 72x – 2x + x – 24x – 4x + 48x = 24\\ \Leftrightarrow 91x = 24 \Leftrightarrow x = \frac{{24}}{{91}}\end{array}\].

Nhận xét: Câu b) sau khi nhân hai vế với 24, hai vế xuất hiện hai số bằng nhau là\[ – 10\] ta có thể bỏ đi (vì khi chuyển vế \[ – 10 + 10 = 0\]).

Ví dụ 2: Tìm các giá trị của y sao cho biểu thức A và B sau đây có giá trị bằng nhau:

\[A = \frac{{y – 2}}{2} – \frac{{9 – 5y}}{8} – \frac{{2 – y}}{6} + \frac{{3(5y – 9)}}{4}\]; \[B = \frac{{45 – 25y}}{8} + \frac{{2 – y}}{3} – \frac{{5y – 9}}{2}\].

Tìm cách giải: Để tìm các giá trị của y sao cho hai biểu thức A và B có giá trị bằng nhau ta quy về việc giải phương trình \[A = B\].

Giải

Để \[A = B\] ta phải có:

\[\begin{array}{l}\frac{{y – 2}}{2} – \frac{{9 – 5y}}{8} – \frac{{2 – y}}{6} + \frac{{3(5y – 9)}}{4}\\ = \frac{{45 – 25y}}{8} + \frac{{2 – y}}{3} – \frac{{5y – 9}}{2}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{{y – 2}}{2} + \frac{{y – 2}}{6} + \frac{{y – 2}}{3}\\ = \frac{{5(9 – 5y)}}{8} + \frac{{9 – 5y}}{2} + \frac{{9 – 5y}}{8} + \frac{{3(9 – 5y)}}{4}\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow (y – 2)\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \frac{1}{3}} \right) = (9 – 5y)\left( {\frac{5}{8} + \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{3}{4}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow (y – 2)\left( {\frac{3}{6} + \frac{1}{6} + \frac{2}{6}} \right) = (9 – 5y)\left( {\frac{5}{8} + \frac{4}{8} + \frac{1}{8} + \frac{6}{8}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow (y – 2).1 = (9 – 5y).2\]

\[ \Leftrightarrow y – 2 = 18 – 10y\]

\[ \Leftrightarrow 11y = 20 \Leftrightarrow y = \frac{{20}}{{11}}\].

Nhận xét: Ta không quy đồng mẫu các phân thức mà biến đổi bài  toán một cách linh hoạt, vừa đổi dấu phân thức sau đó chuyển vế để xuất hiện các nhân tử chung là \[(y – 2)\] và \[(9 – 5y)\].

Ví dụ 3: Giải phương trình sau với m là hằng số (tham số):

\[m(mx – 2) = x(3m + 4) + 2\] (1)

Giải

\[(1) \Leftrightarrow {m^2}x – 2m = 3mx + 4x + 2\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {m^2}x – 3mx – 4x = 2m + 2\\ \Leftrightarrow x({m^2} – 3m – 4) = 2(m + 1)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow x(m + 1)(m – 4) = 2(m + 1)\].

–    Nếu \[m \ne  – 1\] và \[m \ne 4\] thì \[x = \frac{2}{{m – 4}}\];

–    Nếu \[m = 4\] phương trình có dạng \[0x = 10\]. Vô nghiệm;

–    Nếu \[m =  – 1\] phương trình có dạng \[0x = 0\]. Phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của x.

Ví dụ 4: Giải phương trình sau với b là tham số:

\[\frac{{x – 2 + b}}{{b + 3}} + \frac{{x – b}}{{b – 3}} = \frac{{ – 4b – x}}{{9 – {b^2}}}\] (1)

Giải

Điều kiện \[b \ne  \pm 3\]

Phương trình (1) biến đổi thành \[(x – 2 + b)(b – 3) + (x – b)(b + 3) = x + 4b\]

\[ \Leftrightarrow xb – 3x – 2b + 6 + {b^2} – 3b + xb + 3x – {b^2} – 3b = x + 4b\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 2xb – x = 12b – 6\\ \Leftrightarrow (2b – 1)x = 6(2b – 1)\end{array}\].

*   Nếu \[b \ne 0,5\] và \[b \ne  \pm 3\] thì \[x = 6\];

*   Nếu \[b = 0,5\] thì phương trình trở thành \[0x = 0\]. Phương trình nghiệm đúng \[\forall x\].

Ví dụ 5: Giải phương trình:

\[\frac{{4029x + 2014 + 2.2015}}{{2014.2015}} = \frac{{4037x – 2.2019 – 3.2018}}{{2018.2019}}\]

*Tìm cách giải: Ở phương trình trên nếu quy đồng mẫu thức hai vế thì mẫu thức chung quá lớn. Ta nhận xét \[4029x = 2014x + 2015x;4037x = 2018x + 2019x\] do đó ta biến đổi và giải phương trình như sau:

Giải

\[\begin{array}{l}\frac{{4029x + 2014 + 2.2015}}{{2015.2014}}\\ = \frac{{2014x + 2014 + 2015x + 2.2015}}{{2015.2014}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{2014(x + 1) + 2015(x + 2)}}{{2014.2015}}\\ = \frac{{x + 1}}{{2015}} + \frac{{x + 2}}{{2014}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l}\frac{{4037x – 2.2019 – 3.2018}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{2019x – 2.2019 + 2018x – 3.2018}}{{2018.2019}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{2019(x – 2) + 2018(x – 3)}}{{2018.2019}}\\ = \frac{{x – 2}}{{2018}} + \frac{{x – 3}}{{2019}}\end{array}\]

Phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}\frac{{x + 1}}{{2015}} + \frac{{x + 2}}{{2014}} = \frac{{x – 2}}{{2018}} + \frac{{x – 3}}{{2019}}\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{{x + 1}}{{2015}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x + 2}}{{2014}} + 1} \right) = \left( {\frac{{x – 2}}{{2018}} + 1} \right) + \left( {\frac{{x – 3}}{{2019}} + 1} \right)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{x + 2016}}{{2015}} + \frac{{x + 2016}}{{2014}} – \frac{{x + 2016}}{{2018}} + \frac{{x + 2016}}{{2019}} = 0\]

\[ \Leftrightarrow (x + 2016)\left( {\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} – \frac{1}{{2018}} – \frac{1}{{2019}}} \right) = 0\]

Do \[\frac{1}{{2015}} + \frac{1}{{2014}} – \frac{1}{{2018}} – \frac{1}{{2019}} \ne 0\].

Do đó \[x + 2016 = 0\]

Vậy \[x =  – 2016\]

Ví dụ 6: Tìm giá trị của a để:

a) Phương trình \[(2x – 3)(1 + 3a) – 5(x + 6) = 25(x + 3)(2 – x) + 5(a – 2) + 50\].       (1) có nghiệm \[x =  – 3\];

b) Phương trình \[(x – a)(x + 5) – 4ax + 17 = (x + a)(x – 6) – 3x\] (2) có nghiệm gấp năm nghiệm của phương trình:

\[3x(x – 5) – 4(x – 4) = 3(x – 1)(x + 3)\] (3)

Tìm cách giải: a) Để \[{x_0}\] là nghiệm của phương trình \[A(x) = B(x)\] ta phải có \[A({x_0}) = B({x_0})\]. Do đó thay \[x =  – 3\] vào hai vế của phương trình (1) ta được một phương trình mới với ẩn là a.

b) Trước hết giải phương trình (3) tìm nghiệm \[{x_0}\]. Nghiệm của phương trình (2) sẽ bằng \[5{x_0}\].

Giải

a)  Để \[x =  – 3\] nghiệm của phương trình (1) ta phải có:

\[( – 6 – 3)(1 + 3a) – 5( – 3 + 6) = 25( – 3 + 3)(2 + 3) + 5(a – 2) + 50\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  – 9(1 + 3a) – 15 = 5(a – 2) + 50\\ \Leftrightarrow  – 9 – 27a – 15 = 5a – 10 + 50\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  – 27a – 5a =  – 10 + 50 + 9 + 15\\ \Leftrightarrow  – 32a = 64 \Leftrightarrow a =  – 2\end{array}\].

b)  Giải phương trình (3):

 \[3x(x – 5) – 4(x – 4) = 3(x – 1)(x + 3)\]

\[ \Leftrightarrow 3{x^2} – 15x – 4x + 16 = 3{x^2} + 9x – 3x – 9\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  – 15x – 4x – 9x + 3x =  – 9 – 16\\ \Leftrightarrow  – 25x =  – 25 \Leftrightarrow x = 1\end{array}\]

Nghiệm của phương trình (2) gấp 5 nghiệm của phương trình (3) nghĩa là phương trình (2) có nghiệm là 5. Thay \[x = 5\] vào hai vế phương trình (2) ta có:

\[(5 – a)(5 + 5) – 20a + 17 = (5 + a)(5 – 6) – 15\]

\[ \Leftrightarrow 50 – 10a – 20a + 17 =  – 5 – a – 15\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow  – 10a – 20a + a =  – 5 – 15 – 50 – 17\\ \Leftrightarrow  – 29a =  – 87 \Leftrightarrow a = 3\end{array}\]

Ví dụ 7: Giải các phương trình:

a) \[\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{4^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{9^2}}}} \right)(18x – 45) = 2(x – 1) + 97\].(1)

b) \[\left( {\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{199.200}}} \right).2017x = \frac{{2016}}{{101}} + \frac{{2016}}{{102}} + … + \frac{{2016}}{{199}} + \frac{{2016}}{{200}}\]                                                           .(2)

c) \[\left( {\frac{{10}}{{1.3}} + \frac{{10}}{{3.5}} + … + \frac{{10}}{{9.11}}} \right).2,2x – [0,8.(7,5 – 2,5x)]:0,25 = 12\].(3)

Tìm cách giải: Các phương trình trong ví dụ 7 xuất hiện các dãy tổng hoặc tích các phân số hoặc các biểu thức chứa phân số có quy luật. Trước hết ta tính toán để rút gọn các dãy đó, rồi thay kết quả vào phương trình để giải tiếp. Trong câu b) và c) ta gặp các phân số dạng \[\frac{m}{{a.(a + m)}}\] với a; m là các số và \[a \ne  – m\].

Ta phải biến đổi như sau:

\[\begin{array}{l}\frac{m}{{a.(a + m)}} = \frac{{(a + m) – a}}{{a(a + m)}}\\ = \frac{{(a + m)}}{{a(a + m)}} – \frac{a}{{a(a + m)}}\\ = \frac{1}{a} – \frac{1}{{a + m}}\end{array}\].

(phương pháp biến đổi trên thường gọi là: Sai phân hữu hạn)

Giải

a)  Ta có

\[\begin{array}{l}\left( {1 – \frac{1}{{{2^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{3^2}}}} \right)\left( {1 – \frac{1}{{{4^2}}}} \right)…\left( {1 – \frac{1}{{{9^2}}}} \right)\\ = \frac{{{2^2} – 1}}{{{2^2}}}.\frac{{{3^2} – 1}}{{{3^2}}}.\frac{{{4^2} – 1}}{{{4^2}}}…..\frac{{{9^2} – 1}}{{{9^2}}}\end{array}\]

\[\begin{array}{l} = \frac{{1.3}}{{2.2}}.\frac{{2.4}}{{3.3}}.\frac{{3.5}}{{4.4}}…..\frac{{8.10}}{{9.9}}\\ = \frac{{1.2.3…..8}}{{2.3.4…..9}}.\frac{{3.4.5…..10}}{{2.3.4….9}}\\ = \frac{{10}}{{18}} = \frac{5}{9}\end{array}\]

Do đó phương trình trở thành:

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow \frac{5}{9}(18x – 45) = 2(x – 1) + 97\\ \Leftrightarrow 10x – 25 = 2x – 2 + 97\end{array}\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x – 2x =  – 2 + 97 + 25\\ \Leftrightarrow 8x = 120 \Leftrightarrow x = 15\end{array}\]

b) Xét \[\frac{1}{{1.2}} + \frac{1}{{3.4}} + … + \frac{1}{{199.200}} = \frac{1}{1} – \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{4} + … + \frac{1}{{199}} – \frac{1}{{200}}\]

\[ = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + … + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}} – 2\left( {\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + … + \frac{1}{{200}}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + … + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}} – \left( {1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + … + \frac{1}{{100}}} \right)\\ = \frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + … + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}\end{array}\]

Vậy phương trình trở thành

\[\begin{array}{l}\left( {\frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + … + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}} \right).2017x\\ = 2016.\left( {\frac{1}{{101}} + \frac{1}{{102}} + … + \frac{1}{{199}} + \frac{1}{{200}}} \right)\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 2017x = 2016 \Leftrightarrow x = \frac{{2016}}{{2017}}\].

c) Ta có:

\[\frac{{10}}{{1.3}} + \frac{{10}}{{3.5}} + … + \frac{{10}}{{9.11}} = 5.\left( {\frac{2}{{1.3}} + \frac{2}{{3.5}} + … + \frac{2}{{9.11}}} \right)\]

\[\begin{array}{l} = 5.\left( {1 – \frac{1}{3} + \frac{1}{3} – \frac{1}{5} + … + \frac{1}{9} – \frac{1}{{11}}} \right)\\ = 5.\left( {1 – \frac{1}{{11}}} \right) = \frac{{50}}{{11}}\end{array}\].

Khi ấy phương trình trở thành

 \[\frac{{50}}{{11}}.2,2x – [0,8.(7,5 – 2,5)]:0,25 = 12\]

\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow 10x – (6 – 2x).4 = 12\\ \Leftrightarrow 10x – 24 + 8x = 12\end{array}\]

\[ \Leftrightarrow 18x = 36\]

\[ \Leftrightarrow x = 2\].

 

Xem thêm