Sách bài tập Toán 8 Bài 2 (Cánh diều): Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Ứng dụng của phương trình bậc nhất một ẩn

Bài 9 trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Tổng của hai số bằng 51. Tìm hai số đó, biết $\frac{2}{5}$ số thứ nhất bằng $\frac{1}{6}$ số thứ hai.

Lời giải:

Gọi số thứ nhất là x, số thứ hai sẽ là 51 ‒ x.

$\frac{2}{5}$ số thứ nhất là $\frac{2}{5}x$ và $\frac{1}{6}$ số thứ hai là $\frac{1}{6}\left(51-x\right)$.

Do $\frac{2}{5}$ số thứ nhất bằng $\frac{1}{6}$ số thứ hai nên ta có phương trình: $\frac{2}{5}x=\frac{1}{6}\left(51-x\right)$.

Giải phương trình:

$\frac{2}{5}x=\frac{1}{6}\left(51-x\right)$

$\frac{2x\cdot 6}{30}=\frac{\left(51-x\right)\cdot 5}{30}$

12x = 255 ‒ 5x

12x + 5x = 255

17x = 255

x = 15

Vậy số thứ nhất là 15, số thứ hai là 51 ‒ 15 = 36.

Bài 10 trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Tuổi bố hiện nay gấp 2,4 lần tuổi con. 5 năm trước đây, tuổi bố gấp $\frac{11}{4}$ lần tuổi con. Tính tuổi bố, tuổi con hiện nay.

Lời giải:

Gọi tuổi con hiện nay là x (x ∈ ℕ^*). Khi đó, tuổi bố hiện nay là 2,4x.

Do đó, 5 năm trước tuổi con là x ‒ 5 và tuổi bố là 2,4x ‒ 5.

Vì 5 năm trước đây, tuổi bố gấp $\frac{11}{4}$ lần tuổi con nên ta có phương trình:

2,4x – 5 = $\frac{11}{4}$(x – 5)

Giải phương trình:

2,4x – 5 = $\frac{11}{4}$(x – 5)

$\frac{2,4x\cdot 4}{4}-\frac{5\cdot 4}{4}=\frac{11}{4}\left(x-5\right)$

9,6x ‒ 20 = 11x ‒ 55

9,6x ‒ 11x = ‒55 + 20

‒1,4x = ‒35

x = 25 (thoả mãn điều kiện).

Vậy hiện nay tuổi con là 25 tuổi, tuổi bố là 2,4 . 25 = 60 tuổi.

Bài 11 trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Tìm một số tự nhiên có 5 chữ số, biết nếu viết thêm 1 vào bên phải số đó thì được một số gấp 3 lần nếu viết thêm 1 vào bên trái số đó.

Lời giải:

Gọi số tự nhiên cần tìm là x (x ∈ ℕ, 10 000 ≤ x ≤ 99 999).

Viết thêm 1 vào bên phải số tự nhiên cần tìm ta được số 10x + 1; viết thêm 1 vào bên trái số cần tìm ta được số 100 000 + x.

Theo giả thiết, ta có phương trình: 10x + 1 = 3(100 000 + x).

Giải phương trình:

10x + 1 = 3(100 000 + x)

10x + 1 = 300 000 + 3x

10x ‒ 3x = 300 000 ‒ 1

7x = 299 999

x = 42 857 (thoả mãn điều kiện).

Vậy số tự nhiên cần tìm là 42 857.

Bài 12 trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Hai xe đi từ A đến B: tốc độ trung bình của xe thứ nhất là 40 km/h, tốc độ trung bình của xe thứ hai là 25 km/h. Để đi hết quãng đường AB, xe thứ nhất cần ít thời gian hơn xe thứ hai là 1 giờ 30 phút. Tính chiều dài quãng đường AB.

Lời giải:

Gọi chiều dài quãng đường AB là x (km), x > 0.

Thời gian xe thứ nhất đi hết quãng đường AB là $\frac{x}{40}$ (giờ).

Thời gian xe thứ hai đi hết quãng đường AB là $\frac{x}{25}$ (giờ).

Do để đi hết quãng đường AB, xe thứ nhất cần ít thời gian hơn xe thứ hai là 1 giờ 30 phút = 1,5 giờ nên ta có phương trình: $\frac{x}{25}-\frac{x}{40}$ = 1,5.

Giải phương trình:

$\frac{x}{25}-\frac{x}{40}$ = 1,5

$\frac{8\cdot x}{200}-\frac{5\cdot x}{200}=\frac{1,5\cdot 200}{200}$

8x ‒ 5x = 300

3x = 300

x = 100 (thoả mãn điều kiện).

Vậy chiều dài quãng đường AB là 100 km.

Bài 13 trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Anh An đi xe máy từ Hà Nội về Thái Bình với tốc độ trung bình là 45 km/h. Chị Phương đi xe máy từ Thái Bình lên Hà Nội với tốc độ trung bình là 30 km/h cũng trên tuyến đường mà anh An đã đi. Hỏi sau mấy giờ hai anh chị gặp nhau? Biết anh An và chị Phương bắt đầu đi vào cùng một thời điểm và quãng đường Hà Nội – Thái Bình dài 110 km.

Lời giải:

Gọi thời gian từ lúc xuất phát đến khi hai anh chị gặp nhau là x (giờ), x > 0.

Quãng đường anh An đi được là 45x (km).

Quãng đường chị Phương đi được là 30x (km).

Do quãng đường quãng đường Hà Nội – Thái Bình dài 110 km nên ta có phương trình: 45x + 30x = 110.

Giải phương trình:

45x + 30x = 110.

75x = 110

x = $\frac{110}{75}$

x = $1\frac{7}{15}$ (thoả mãn điều kiện).

Vậy sau $1\frac{7}{15}$ giờ hay 1 giờ 28 phút thì hai người gặp nhau.

Bài 14* trang 47 SBT Toán 8 Tập 2: Một người đi xe máy từ A đến B với tốc độ trung bình là 40 km/h, đi được 15 phút người đó gặp một ô tô đi từ B đến A với tốc độ trung bình 50 km/h. Ô tô đến A nghỉ 15 phút rồi trở về B với vận tốc không đổi và gặp người đi xe máy cách B là 20 km. Tính chiều dài quãng đường AB.

Lời giải:

Gọi C và D lần lượt là nơi ô tô gặp người đi xe máy lần thứ nhất và lần thứ hai.

Gọi chiều đài quãng đường CD là x (km), x > 0.

Người đi xe máy đi được 15 phút = $\frac{1}{4}$ giờ thì gặp ô tô tại C nên chiều dài quãng đường AC là 40.$\frac{1}{4}$ = 10 (km).

Thời gian người đi xe máy đi từ C đến D là $\frac{x}{40}$ (giờ).

Thời điểm đó, ô tô đã đi đoạn CA, AD và nghỉ 15p nên quãng đường đã đi dài là 10 + (10 + x) = 20 + x (km) và thời gian đi là: $\frac{20+x}{50}+\frac{1}{4}$ (giờ).

Do đó, ta có phương trình: $\frac{x}{40}=\frac{20+x}{50}+\frac{1}{4}$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{40}=\frac{20+x}{50}+\frac{1}{4}$

$\frac{5x}{200}=\frac{4\cdot \left(20+x\right)}{200}+\frac{1\cdot 50}{200}$

5x = 80 + 4x + 50

5x ‒ 4x = 80 + 50

x = 130 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy quãng đường AB dài là: 10 + 130 + 20 = 160 (km).

Bài 15 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Trong hội thi STEM của một trường trung học cơ sở, ban tổ chức đưa ra quy tắc chấm thi cho bài thi gồm 30 câu hỏi như sau: Với mỗi câu hỏi nếu trả lời đúng thì được 5 điểm, nếu trả lời không đúng thì không được điểm, nếu không trả lời thì được 1 điểm. Một học sinh làm bài thi và có số câu trả lời đúng gấp 3 lần số câu trả lời không đúng, kết quả đạt 85 điểm. Hỏi bài thi của học sinh đó có bao nhiêu câu trả lời đúng? Bao nhiêu câu trả lời không đúng? Bao nhiêu câu không trả lời?

Lời giải:

Gọi x là số câu trả lời không đúng (x ∈ ℕ^*, x ≤ 30).

Khi đó, số câu trả lời đúng là 3x, số câu không trả lời là 30 ‒ x ‒ 3x = 30 ‒ 4x.

Số điểm đạt được khi trả lời đúng 3x câu là: 5 . 3x = 15x (điểm).

Số điểm đạt được khi không trả lời 30 – 4x câu là: 30 – 4x (điểm).

Theo bài, học sinh đạt được kết quả là 85 điểm nên ta có phương trình:

15x + (30 ‒ 4x) = 85.

Giải phương trình:

15x + (30 ‒ 4x) = 85

15x + 30 ‒ 4x = 85

15x ‒ 4x = 85 ‒ 30

11x = 55

x = 5 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy số câu trả lời không đúng là 5, số câu trả lời đúng là 5.3 = 15, số câu không trả lời là 30 ‒ 5 ‒ 15 = 10.

Bài 16 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Để đánh bắt đủ lượng cá theo kế hoạch, một hợp tác xã dự định trung bình mỗi tuần đánh bắt được 20 tấn cá. Nhưng do đánh bắt được vượt mức 6 tấn cá/tuần nên chẳng những hợp tác xã đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần mà còn vượt mức đã dự định là 10 tấn cá. Tỉnh lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó.

Lời giải:

Gọi lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó là x tấn, x > 0.

Khi đó, thời gian dự định để đánh bắt được đủ lượng cá theo kế hoạch của hợp tác xã đó là $\frac{x}{20}$ (tuần).

Thực tế, lượng cá hợp tác xã đó đánh bắt được là x + 10 (tấn).

Thời gian đánh bắt trên thực tế của hợp tác xã đó là $\frac{x+10}{26}$ (tuần).

Do hợp tác xã đó đã hoàn thành kế hoạch sớm hơn 1 tuần nên ta có phương trình:

$\frac{x}{20}=\frac{x+10}{26}+1$.

Giải phương trình:

$\frac{x}{20}=\frac{x+10}{26}+1$

$\frac{26x}{520}=\frac{20\cdot \left(x+10\right)}{520}+\frac{1\cdot 520}{520}$

26x = 20x + 200 + 520

26x ‒ 20x = 200 + 520

6x = 720

x = 120 (thoả mãn điều kiện).

Vậy lượng cá cần đánh bắt theo kế hoạch của hợp tác xã đó là 120 tấn.

Bài 17 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Một tổ sản xuất của công ty may Đức Long được giao may một số áo sơ mi để xuất khẩu trong 20 ngày. Khi thực hiện, tổ sản xuất đó đã tăng năng suất 20% nên sau 18 ngày không những đã xong số áo đó mà còn may thêm được 24 áo nữa. Tính số áo sơ mi mà tổ đó đã may được trên thực tế.

Lời giải:

Gọi số áo sơ mi tổ đó đã may được trên thực tế là x chiếc (x ∈ ℕ^*, x > 24).

Trên thực tế, một ngày tổ may được $\frac{x}{18}$ chiếc.

Theo kế hoạch, số áo sơ mi tổ cần may là x ‒ 24 (chiếc), một ngày cần may được $\frac{x-24}{20}$ chiếc.

Do tổ sản xuất đó đã tăng năng suất 20% hay năng suất thực tế bằng 100% + 20% = 120% kế hoạch, do đó ta có phương trình:

$\frac{x}{18}=\frac{x-24}{20}\cdot 120\%$

Giải phương trình:

$\frac{x}{18}=\frac{x-24}{20}\cdot 120\%$

$\frac{x}{18}=\frac{x-24}{20}\cdot 1,2$

$\frac{10x}{18\cdot 10}=\frac{9\cdot \left(x-24\right)\cdot 1,2}{20\cdot 9}$

10x = 10,8x ‒ 259,2

10,8x – 10x = 259,2

0,8x = 259,2

x = 324 (thoả mãn điều kiện).

Vậy số áo sơ mi tổ đã may được trên thực tế là 324 chiếc.

Bài 18 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Một tam giác có chiều cao bằng $\frac{1}{4}$ độ dài cạnh đáy tương ứng. Nếu tăng chiều cao đó thêm 2 m và giảm độ dài cạnh đáy tương ứng 2 m thì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m². Tính chiều cao và độ dài cạnh đáy tương ứng của tam giác ban đầu.

Lời giải:

Gọi x (m) là chiều cao của tam giác ban đầu (x > 0).

Khi đó, độ dài cạnh đáy tương ứng là 4x (m) và diện tích tam giác ban đầu là: $\frac{x\cdot 4x}{2}=2x^2$ (m²).

Khi tăng chiều cao đó thêm 2 m và giảm độ đài cạnh đáy tương ứng 2 m thì chiều cao mới là x + 2 (m), độ dài cạnh đáy tương ứng là 4x ‒ 2 (m) và diện tích tam giác lúc đó là: $\frac{\left(x+2\right)\left(4x-2\right)}{2}$ = (x + 2)(2x – 1) = 2x² + 3x – 2 (m²).

Vì diện tích tam giác tăng thêm 2,5 m², nên ta có phương trình:

(2x² + 3x ‒ 2) ‒ 2x² = 2,5.

Giải phương trình:

(2x² + 3x ‒ 2) ‒ 2x² = 2,5

2x² + 3x ‒ 2 ‒ 2x² = 2,5

3x = 2,5 + 2

3x = 4,5

x = 1,5 (thoả mãn điều kiện).

Vậy tam giác ban đầu có chiều cao là 1,5 m và độ cạnh đáy tương ứng là 4 . 1,5 = 6 m.

Bài 19 trang 48 SBT Toán 8 Tập 2: Một đàn ngỗng trời đang bay, chợt một con ngỗng khác bay ngang qua kêu: “Chào trăm bạn”. Con ngỗng đầu đàn đáp: “Chúng tôi không đúng 100. Số chúng tôi hiện có cộng thêm số hiện có và $\frac{1}{2}$ số hiện có và $\frac{1}{4}$ số hiện có và cả bạn vào nữa mới đủ 100”. Hỏi đàn ngỗng (không tính con ngỗng bay ngang qua) có bao nhiêu con?

Lời giải:

Gọi số con ngỗng của đàn ngỗng (không tính con bay ngang qua) là x (con ngỗng), x ∈ ℕ^* và x < 100.

Theo đề bài, ta có phương trình: $x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+1$ = 100.

Giải phương trình:

$x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+1$ = 100

$\frac{4x}{4}+\frac{4x}{4}+\frac{2x}{4}+\frac{x}{4}+\frac{4}{4}=\frac{100\cdot 4}{4}$

4x + 4x + 2x + x + 4 = 400

11x = 400 ‒ 4

11x = 396

x = 36 (thỏa mãn điều kiện).

Vậy đàn ngỗng (không tính con ngỗng bay ngang qua) có 36 con.