Lý thuyết Đường trung bình của tam giác, của hình thang (mới 2023 + bài tập) – Toán 8

Tài liệu Đường trung bình của tam giác, của hình thang gồm các nội dung chính sau:

A. Lý thuyết

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Các dạng bài tập

– gồm 13 bài tập vận dụng có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng bài tập Đường trung bình của tam giác, của hình thang.

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

ĐƯỜNG TRUNG BÌNH CỦA TAM GIÁC, CỦA HÌNH THANG

A. Lý thuyết

Đường trung bình của tam giác: là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh của tam giác. Định lí 1: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh của tam giác và song song với cạnh thứ hai thì đi qua trung điểm cạnh thứ ba. Định lí 2: Đường trung bình của tam giác thì song song với cạnh thứ ba và bằng nửa cạnh ấy. – $\Delta ABC:\left\{\begin{array}{l}AM=MB\\ AN=NC\end{array}\right.\iff MN$là đường trung bình – MN là đường trung bình của  $\Delta ABC\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MN//BC\\ MN=\frac{BC}{2}\end{array}\right.$ – $\left\{\begin{array}{l}MN=MB\\ MN//BC\end{array}\right.\Rightarrow NA=NC$   Đường trung bình của hình thang: Đường trung bình của hình thang là đoạn thẳng nối trung điểm hai cạnh bên của hình thang. Định lí 3: Đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên của hình thang và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên thứ hai. Định lí 4: Đường trung bình của hình thang thì song song với hai đáy và bằng nửa tổng hai đáy.   – $ABCD:\left\{\begin{array}{l}AM=MD\\ BN=NC\end{array}\right.\iff MN$ là đường trung bình – MN là đường trung bình của hình thang ABCD    $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}MN//AB//DC\\ MN=\frac{AB+DC}{2}\end{array}\right.$

B. Các dạng bài tập

Bài 1. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Trên cạnh AB, lấy hai điểm D, E sao cho AD = DE = EB. Gọi I là giao điểm của AM với CD. Chứng minh: AI = IM.

Bài 2. Cho tam giác ABC và hai đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của BG, CG. Chứng minh tứ giác MNDE có các cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

Bài 3. Cho tam giác ABC. Trên tia BA lấy điểm D sao cho A là trung điểm BD. Trên tia CB lấy điểm E sao cho B là trung điểm CE. Hai đường thẳng AC và DE cắt nhau tại I.

Chứng minh rằng:  $DI=\frac{DE}{3}$

Bài 4. Cho tứ giác ABCD có góc C = 40⁰, D = 80⁰, AD = BC. Gọi E, F theo thứ tự là trung điểm của AB và CD. Tính góc nhọn tạo bởi đường thẳng FE với các đường thẳng AD và BC.

Bài 5. Cho A, B, C theo thứ tự nằm trên đường thẳng d (AB > BC). Trên cùng nửa mặt phẳng bờ là d, vẽ các tam giác đều AMB và BNC. Gọi P, Q, R, S lần lượt là trung điểm của BM, CM, BN, AN. Chứng minh:

a) PQRS là hình thang cân.

b)  .$SQ=\frac{1}{2}MN$

Bài 6. Cho tam giác ABC, trung tuyến AM. Gọi I là trung điểm của AM, D là giao điểm của BI và AC.

a) Chứng minh:  $AD=\frac{1}{2}DC$.

b) So sánh độ dài BD và ID.

Bài 7. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AD, BC, AC, BD.

a) Chứng minh bốn điểm M, N, P, Q nằm trên một đường thẳng.

b)  Tính MN, PQ, biết các cạnh đáy của hình thang AB = a, CD = b (a > b).

c) Chứng minh rằng nếu MP = PQ = QN thì a = 2b.

Bài 8. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, BD. Chứng minh ba điểm E, K, F thẳng hàng. 

Bài 9. Cho hình thang ABCD (AB // CD). Gọi E, F lần lượt là trung điểm của AD và BC. Đường thẳng EF cắt BD ở I, cắt AC ở K.

a) Chứng minh: AK = KC, BI = ID.

b) Cho AB = 6, CD = 10. Tính EI, KF, IK.

Bài 10. Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F, K lần lượt là trung điểm của AD, BC, AC.

a) So sánh độ dài các đoạn thẳng EK và CD, KF và AB.

b) Chứng minh:  $\text{EF}\le \frac{AB+CD}{2}$

c) Khi $\text{EF}=\frac{AB+CD}{2}$ thì tứ giác ABCD là hình gì.

ĐS: c) ABCD là hình thang.

Bài 11. Tính độ dài đường trung bình của một hình thang cân biết rằng các đường chéo của nó vuông góc với nhau và đường cao bằng 10 cm.

Bài 12. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d đi qua G cắt các đoạn thẳng AB, AC. Gọi A’, B’. C’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’.

Bài 13. Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Vẽ đường thẳng d nằm ngoài tam giác ABC. Gọi A’, B’. C’, G’ thứ tự là hình chiếu của A, B, C trên d. Tìm liên hệ giữa các độ dài AA’, BB’, CC’ , GG’.