20 Bài tập Toán 7 Chương 2 có đáp án: Số thực

Bài tập Toán lớp 7 Bài tập cuối chương 2

A. Bài tập cuối chương 2

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Trong các số $\frac{2}{11};0,\mathrm{232323\dots };0,\mathrm{20022\dots };\sqrt{\frac{1}{4}}$ , số vô tỉ là:

A. $\frac{2}{11}$;                  

B. 0,232323…;    

C.0,20022…;                 

D. $\sqrt{\frac{1}{4}}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có:

• $\frac{2}{11}=0,\left(18\right)$.

Vậy $\frac{2}{11}$ là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $\frac{2}{11}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

• Số 0,232323… là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên 0,232323… là số hữu tỉ không phải số vô tỉ.

• 0,20022… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên 0,20022… là số vô tỉ.

$\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}=0,5$. Vì 0,5 là số thập phân hữu hạn nên $\sqrt{\frac{1}{4}}$ là số hữu tỉ không phải là số vô tỉ.

Vậy chọn phương án C.

Câu 2. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sqrt{0,36}=0,6$;

B. $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=6$;

C. $\sqrt{150}=\sqrt{100}+\sqrt{50}$;

D. $\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có

• $\sqrt{0,36}=0,6$ nên phương án A đúng.

• $\sqrt{{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{36}=6$ nên phương án B đúng.

• Sử dụng máy tính cầm tay ta có $\sqrt{150}$= 12,247…; $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$=17,071…

Vì 12,247… ¹ 17,071… nên $\sqrt{150}$¹ $\sqrt{100}$+ $\sqrt{50}$.

Do đó, phương án C sai.

•$\sqrt{\frac{81}{225}}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$  nên phương án D đúng.

Vậy chọn phương án C.

Câu 3. Điểm nào trên trục số biểu diễn số thực x thoả mãn |x| = $\sqrt{3}$?

A. Điểm A;

B. Điểm B;

C. Điểm O;

D. Điểm A và điểm B.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D.

Ta có $\left|x\right|=\sqrt{3}$ 

Nên $x=\sqrt{3}$ hoặc $x=-\sqrt{3}$ 

Quan sát trục số:

Số $\sqrt{3}$ được biểu diễn bởi điểm B trên trục số, số $–\sqrt{3}$ được biểu diễn bởi điểm A trên trục số.

Do đó điểm A và điểm B biểu diễn giá trị x thoả mãn |x| = $\sqrt{3}$.

Vậy ta chọn phương án D.

Câu 4. Khẳng định nào sau đây sai?

A. $\sqrt{4}$ ∉ ?;

B. $\sqrt{3}\in \mathbb{Q};$

C. $\frac{2}{3}\in ℝ;$

D. $-9\in \mathbb{Z}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

• $\sqrt{4}=2$.

Vì 2 là số tự nhiên nên không phải là số vô tỉ.

Do đó $\sqrt{4}$ ∉ ? là khẳng định đúng. Nên phương án A đúng.

• $\sqrt{3}=1,\mathrm{732\dots }$ .

Vì 1,732… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn nên $\sqrt{3}$là số vô tỉ.

Suy ra $\sqrt{3}$ ∈ ?. Do đó, phương án B sai.

• $\frac{2}{3}=0,\mathrm{66\dots }=0,\left(6\right).$

Vì 0,(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn nên $\frac{2}{3}$ là số hữu tỉ.

Mà số vô tỉ là số thực. Suy ra, $\frac{2}{3}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Do đó, phương án C đúng.

• Số −9 là số nguyên âm nên $–9\in \mathrm{\mathbb{Z}}$. Do đó, phương án D đúng.

Vậy chọn phương án B.

Câu 5. Chữ số thích hợp điền cho $?$ trong phép so sánh $-95,\left(112\right)<-95,?12112$ là:

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A.

Do $-95,\left(112\right)<-95,?12112$ nên $95,\left(112\right)>95,?12112.$

Ta có 95,(112) = 95,112112…

Xét hai số 95,112112… và $95,?12112$ ta thấy hai số này có phần nguyên giống nhau nên ta xét đến phần thập phân của chúng.

Ở hàng phần trăm ta thấy cả hai số đều là 1 nên để $95,112112\dots >95,?12112$ thì hàng phần mười của số 95,112112… phải lớn hơn hàng phần mười của số $95,?12112$.

Tức là $1>?$  do đó $?=0$ 

Vậy số điền vào $?$ là số 0.

Ta chọn phương án A.

Câu 6. Sắp xếp các số thực $-\frac{2}{3};\sqrt{2};0,2\left(14\right);\frac{4}{7};0,123$ theo thứ tự từ giảm dần ta được:

A. $-\frac{2}{3}$;0,123; 0,2(14); $\frac{4}{7}$; $\sqrt{2}$;

B. $-\frac{2}{3}$;$\frac{4}{7}$; 0,123; 0,2(14); $\sqrt{2}$;

C. $\sqrt{2}$; $\frac{4}{7}$; 0,123; 0,2(14); $-\frac{2}{3}$;

D. $\sqrt{2}$; $\frac{4}{7}$; 0,2(14); 0,123; $-\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta chia dãy số trên thành 2 nhóm:

– Nhóm 1: $-\frac{2}{3}$

– Nhóm 2: $\sqrt{2};0,2\left(14\right);\frac{4}{7};0,123$

Xét nhóm 2 ta có:

$\sqrt{2}=1,\mathrm{414\dots }$; 0,2(14) = 0,214… và $\frac{4}{7}=0,\mathrm{571\dots }$

Mà 1,414…> 0,571…> 0,214…> 0,123

Nên $\sqrt{2}$> $\frac{4}{7}$> 0,2(14) > 0,123.

Vì 0,123 là số dương, $-\frac{2}{3}$ là số âm mà số dương luôn lớn hơn số âm nên 0,123 >$\sqrt{2}$.

Suy ra, $\sqrt{2}$> $\frac{4}{7}$ > 0,2(14) > 0,123 > $-\frac{2}{3}$.

Vậy sắp xếp các số đã cho theo thứ tự giảm dần ta có:

$\sqrt{2}$; $\frac{4}{7}$; 0,2(14); 0,123; $-\frac{2}{3}$.

Ta chọn phương án D.

Câu 7. Chọn khẳng định sai:

A. |–2,5| = 2,5;

B. |0| = 0;

C. |3,8| = ±3,8;

D. $\left|-\sqrt{7}\right|>0$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C.

• Vì –2,5 < 0 nên |–2,5| = –(–2,5) = 2,5.

Do đó phương án A đúng.

• Vì |0| = 0 nên phương án B đúng.

• Vì 3,8 > 0 nên |3,8| = 3,8.

Do đó phương án C sai.

• Vì $-\sqrt{7}<0$ nên $\left|-\sqrt{7}\right|=-\left(-\sqrt{7}\right)=\sqrt{7}$ >0.

Do đó phương án D đúng.

Vậy ta chọn phương án C.

Câu 8. Một chiếc máy tính có đường chéo dài 16 inch. Độ dài đường chéo của máy tính này theo đơn vị cm với độ chính xác d = 0,04 (cho biết 1 inch » 2,54 cm) là:

A. 40 cm;

B. 40,7 cm;

C. 40,65 cm;

D. 40,6 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Độ dài đường chéo của máy tính đó là:

2,54 . 16 = 40,64 (cm)

Do độ chính xác đến hàng phần trăm nên ta làm tròn số 40,64 đến hàng phần mười.

Gạch chân chữ số hàng phần mười (là chữ số 6) của số 40,64 ta được 40,64.

Ta thấy chữ số bên phải chữ số 6 là chữ số 4 mà 4 < 5 nên giữ nguyên chữ số hàng phần mười và bỏ đi chữ số từ hàng phần trăm.

Do đó, làm tròn số 40,64 đến hàng phần mười được số 40,6.

Vậy chọn phương án D.

Câu 9. Một hình chữ nhật có chiều dài 20,3 cm, chiều rộng 14,52 cm. Diện tích hình chữ nhật (làm tròn kết quả đến hàng phần mười) là:

A. 294,756 cm²;

B. 294,8 cm²;

C. 294,76  cm²;

D. 294,7 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Diện tích hình chữ nhật đó là:

20,3 . 14,52 = 294,756 (cm²)

Gạch chân chữ số hàng phần mười (là chữ số 7) của số 294,756 ta được 294,756.

Ta thấy chữ số bên phải của chữ số 7 là chữ số 5 mà 5 = 5 nên chữ số hàng phần chục tăng thêm một đơn vị là 8 và bỏ các chữ số từ hàng phần trăm trở đi.

Do đó, làm tròn 294,756 đến hàng phần mười ta được 294,8.

Vậy chọn phương án B.

Câu 10. Một khu vườn hình chữ nhật có chiều dài 10 m, chiều rộng 7,5 m. Người ta đào một cái ao hình tròn có bán kính 2 m, phần còn lại dùng để trồng rau. Diện tích dùng để trồng rau (làm tròn đến hàng phần trăm) là:

A. 75 m²;

B. 4p m²;

C. 62,43 m²;

D. 87, 57 m².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Diện tích khu vườn hình chữ nhật là:

10 . 7,5 = 75 (m²)

Diện tích cái ao hình tròn là:

2² . p = 4p (m²)

Diện tích đất dùng để trồng rau là:

75 – 4p » 62,4336293…. (m²)

Chữ số hàng phần trăm của số 62,4336 là chữ số 3.

Ta thấy chữ số bên phải của chữ số 3 là chữ số 3 mà 3 < 5 nên giữ nguyên chữ số 3 và bỏ các chữ số từ hàng phần nghìn trở đi.

Do đó làm tròn số 62,4336293… đến hàng phần trăm được số 62,43.

Vậy diện tích đất dùng để trồng rau khoảng 62,43 m².

Vậy chọn phương án C.

2. Bài tập tự luận

Bài 1: Hãy biểu diễn các số hữu tỉ sau dưới dạng số thập phân $\frac{11}{40};\frac{14}{25};\frac{2}{3};-\frac{4}{3}$ Hãy chỉ ra số nào là số thập hữu hạn, số nào là số thập phân vô hạn tuần hoàn.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{11}{40}=\frac{275}{1000}=0,275$. Số 0,275 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{14}{25}=\frac{56}{100}=0,56$. Số 0,56 là số thập phân hữu hạn.

Ta có: $\frac{2}{3}=0,\left(6\right)$. Số 0,(6) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 6.

Ta có: $-\frac{4}{3}=-1,\left(3\right)$. Số –1,(3) là số thập phân vô hạn tuần hoàn với chu kì là 3.

Vậy các số thập phân hữu hạn là $\frac{11}{40}$; $\frac{14}{25}$ và các số thập phân vô hạn tuần hoàn là $\frac{2}{3}$; $\frac{–4}{3}$

Bài 2: Tính:

a) $\sqrt{16}$;

b) $\sqrt{{(-12)}^2}$.

c) |–0,6|;

d) $\left|1\frac{3}{4}\right|;$

e) –|–3,6| : 1,2;

f) |−$\sqrt{16}$| + $\sqrt{\left|-25\right|}.$

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\sqrt{16}=4$ (vì 4 > 0 và 4² =16).

b) Ta có: $\sqrt{{(-12)}^2}=\sqrt{144}=12$ (vì 12 > 0 và 12² = 144).

c) |–0,6| = 0,6;

d) $\left|1\frac{3}{4}\right|=1\frac{3}{4}=\frac{7}{4}.$

e) –|–3,6| : 1,2

= –[–(–3,6)] : 1,2

= –[3,6] : 1,2

= –3.

f) |−$\sqrt{16}$| + $\sqrt{\left|-25\right|}.$

= $\sqrt{16}+\sqrt{25}$

= 4 + 5

= 9.

Bài 3: Hãy dùng máy tính cầm tay tính $\sqrt{5}$; $\sqrt{625}$.

Hướng dẫn giải

Sử dụng máy tính cầm tay ta bấm liên tiếp các nút như sau:

Phép tính	Nút ấn	Kết quả
$\sqrt{5}$	$\sqrt{}5=$	2,236067977
$\sqrt{625}$	$\sqrt{}625=$	25

Vậy $\sqrt{5}$ ≈ 2,2360679 và $\sqrt{625}$ = 25.

Bài 4. Tìm số đối của các số sau: $-\sqrt{6}$; 3,(2); 5,13 ; – π; |–12,21|.

Hướng dẫn giải

Số đối của $-\sqrt{6}$ là $-(-\sqrt{6})=\sqrt{6};$

Số đối của 3,(2) là –3,(2);

Số đối của 5,13 là –5,13;

Số đối của –π là –(–π) = π.

Số đối của số |–12,21| = 12,21 là số –12,21.

Bài 5. Tìm x, y biết :

a) |x| = 1;

b) | x – 1| = –5;

c) | y + 0,5| = 4.

d) $\left|x+\sqrt{2}\right|=0$ (với x là số thực dương).

Hướng dẫn giải

a) |x| = 1 nên x = 1 hoặc x = –1.

b) | x – 1| ≥ 0 với mọi số thực x.

Mà –5 < 0.

Vậy không có số thực x nào thỏa mãn | x – 1| = –5

c) | y + 0,5| = 4 nên y + 0,5 = 4 hoặc y + 0,5 = –4

• Với y + 0,5 = 4 thì y = 4 – 0,5 = 3,5

• Với y + 0,5 = – 4 thì y = –4 – 0,5 = –5,5.

Vậy y = 3,5; y = –5,5 thỏa mãn | y + 0,5| = 4.

d) $\left|x+\sqrt{2}\right|=0$

$x+\sqrt{2}=0$ 

$x=-\sqrt{2}$ 

Mà x là số thực dương nên x > 0, do đó $x=-\sqrt{2}$ không thoả mãn.

Vậy không có giá trị x dương nào thỏa mãn.

Bài 6.

a) Làm tròn số $\sqrt{7}$ = 2,6457513… đến hàng phần nghìn.

b) Làm tròn số 5 431,24 đến hàng trăm.

Hướng dẫn giải

a) Áp dụng quy tắc làm tròn số cho số 2,6457513…

Chữ số thập phân của hàng quy tròn (hàng phần nghìn) là chữ số 5.

Ta gạch dưới chữ số 5 này: 2,6457513…; nhìn sang chữ số bên phải số 5 là chữ số 7 ở hàng phần chục nghìn.

Mà 7 > 5 nên ta tăng thêm 1 đơn vị vào chữ số gạch chân 5 được 6; các chữ số phần thập phân còn lại là 7, 5, 1, 3 ta bỏ đi.

Do đó 2,6457513… được làm tròn đến hàng phần nghìn là 2,646.

Vậy $\sqrt{7}$ được làm tròn đến hàng phần nghìn là 2,646.

b) Áp dụng quy tắc làm tròn số cho số 5 431,24.

Chữ số thập phân của hàng quy tròn (hàng trăm) là chữ số 4.

Ta gạch dưới chữ số 4 này: 5 431,24; nhìn sang chữ số bên phải số 4 là chữ số 3 ở hàng chục.

Mà 3 < 5 nên ta giữ nguyên chữ số gạch chân 4.

Ta thay các chữ số 3, 1 bởi các số 0; các chữ số 2, 4 ở phần thập phân nên ta bỏ đi.

Ta được số sau khi làm tròn là 5 400.

Vậy số 5 431,24 được làm tròn đến hàng trăm là 5 400.

Bài 7.

a) Làm tròn số 42 891 với độ chính xác 500 ;

b) Làm tròn số –10,734 với độ chính xác 0,5.

Hướng dẫn giải

a) Để làm tròn số 42 891 với độ chính xác 500 (số trăm) ta sẽ làm tròn đến hàng nghìn.

Áp dụng quy tắc làm tròn số ta có 42 891 ≈ 43 000.

Vậy làm tròn số 42 891 với độ chính xác 500 là 43 000.

b) Để làm tròn số –10,734 với độ chính xác 0,5 (số phần mười) ta sẽ làm tròn đến hàng đơn vị.

Áp dụng quy tắc làm tròn số ta có –10,734 ≈ –11.

Vậy làm tròn số –10,734 với độ chính xác 0,5 là –11.

Bài 8: Áp dụng quy tắc làm tròn số để ước lượng kết quả của mỗi phép tính sau:

a) (–74,17) + (– 75,83);

b) (– 20,041) . 49,815.

Hướng dẫn giải

a) Làm tròn hai số hạng đến hàng phần mười ta có:

–74,17 ≈ –74,2 và – 75,83 ≈  – 75,8.

Khi đó, (–74,17) + (– 75,83) ≈ (–74,2) + (– 75,8) = –150.

Vậy (–74,17) + (– 75,83) ≈ –150.

b) Làm tròn hai thừa số đến hàng đơn vị, ta có:

– 20,041 ≈  –20 và 49,815 ≈ 50.

Khi đó, (– 20,041) . 49,815 ≈ (–20). 50 = – 1 000.

Vậy (– 20,041) . 49,815 ≈ –  1 000.

Bài 9. Sau khi sơn tường cho một bức tường hình vuông bác Minh phải trả cho thợ sơn số tiền là 1 600 000 đồng. Biết công thợ sơn cho 1 m² là 25 000 đồng. Tính độ dài cạnh bức tường đó.

Hướng dẫn giải

Diện tích bức tường cần sơn là:

1 600 000 : 25 000 = 64 (m²)

Diện tích của hình vuông có cạnh a (m) là a² (m²).

Bức tường hình vuông có diện tích là 64 m² nên ta có a² = 64.

Vì cạnh hình vuông nên a không thể âm, do đó a là căn bậc hai số học của 64.

Ta có 8² = 64 và 8 > 0 nên $\sqrt{64}=8$.

Suy ra a = 8 (m).

Vậy độ dài cạnh bức tường hình vuông đó là 8 m.

B. Lý thuyết Chương 2: Số thực

1. Biểu diễn thập phân của một số hữu tỉ

Với một số hữu tỉ $\frac{a}{b}$, ta chỉ có hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: Nếu $\frac{a}{b}$ bằng một phân số thập phân thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ là số thập phân bằng với phân số thập phân đó.

Ví dụ:

$\frac{2}{5}=\frac{4}{10}=0,4$;  $\frac{3}{25}=\frac{12}{100}=0,12$.

Khi đó, các số 0,4 và 0,12 được gọi là số thập phân hữu hạn.

Trường hợp 2: Nếu $\frac{a}{b}$ không bằng bất cứ phân số thập phân nào thì kết quả của phép chia $\frac{a}{b}$ không bao giờ dừng và có chữ số hoặc cụm chữ số sau dấu phẩy lặp đi lặp lại.

Ví dụ:

a) Ta thực hiện phép chia 5 : 12 = 0,41666…; số 6 được lặp đi lặp lại mãi mãi.

 Khi đó, ta viết  $\frac{5}{12}=0,\mathrm{41666\dots }=0,41\left(6\right)$.

b) Ta thực hiện phép chia 7 : 30 = 0,2333… ; chữ số 3 lặp đi lặp lại mãi mãi.

Khi đó, ta viết  $\frac{7}{30}=0,\mathrm{2333\dots }=0,2\left(3\right)$.

Do đó các số 0,41(6); 0,2(3) gọi là số thập phân vô hạn tuần hoàn và chữ số lặp đi lặp lại như (6); (3) được gọi là chu kì.

Chú ý: Số 0,41(6) đọc là 0,41 chu kì 6 ; số 0,2(3) đọc là 0,2 chu kì 3.

• Mỗi số hữu tỉ được biểu diễn bởi một số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.

Ví dụ: $\frac{12}{25}=\frac{48}{100}=0,48$;  $\frac{10}{9}=1,\left(1\right)$

2. Số vô tỉ

– Số thập phân vô hạn mà ở phần thập phân của nó không có một chu kì nào cả được gọi là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

– Mỗi số thập phân vô hạn không tuần hoàn là biểu diễn thập phân của một số, số đó gọi là số vô tỉ.

– Tập hợp các số vô tỉ kí hiệu là ?.

Ví dụ:

a) Với x² = 2 người ta tính được x = 1,414213562… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy x = 1,414213562… là số vô tỉ.

b) Số Pi (π) là tỉ số giữa chu vi của một đường tròn với độ dài đường kính của đường tròn đó.

Người ta tính được π = 3,141592653… là số thập phân vô hạn không tuần hoàn.

Vậy π là một số vô tỉ.

3. Căn bậc hai số học

– Căn bậc hai số học của số a không âm là số x không âm sao cho x² = a.

Ta dùng kí hiệu $\sqrt{a}$ để chỉ căn bậc hai số học của a.

– Một số không âm a có đúng một căn bậc hai số học.

Chú ý:

– Số âm không có căn bậc hai số học.

– Ta có $\sqrt{a}$ ≥ 0 với mọi số a không âm.

– Với mọi số a không âm, ta luôn có ${\left(\sqrt{a}\right)}^2=a$, ví dụ như ${\left(\sqrt{2}\right)}^2=2$.

– Ta có $\sqrt{2}$ là độ dài đường chéo của một hình vuông có cạnh bằng 1.

Ví dụ: $\sqrt{4}=2$ ; $\sqrt{81}=9$ ; $\sqrt{0}=0$.

4. Tính căn bậc hai số học bằng máy tính cầm tay

Ta có thể tính giá trị (đúng hoặc gần đúng) căn bậc hai số học của một số nguyên dương bằng máy tính cầm tay.

Ví dụ: Dùng máy tính cầm tay ta tính $\sqrt{8}$ và $\sqrt{2250}$ như sau:

Phép tính	Nút ấn	Kết quả
$\sqrt{8}$	$\sqrt{}8=$	2,828427125
$\sqrt{2250}$	$\sqrt{}2250=$	47,4341649

Vậy $\sqrt{8}$ ≈ 2,828427125; $\sqrt{2250}$ ≈ 47,4341649.

5. Số thực và tập hợp các số thực

– Ta gọi chung số hữu tỉ và số vô tỉ là số thực.

– Tập hợp số thực được kí hiệu ℝ.

Cách viết x ∈ ℝ cho ta biết x là một số thực.

– Mỗi số thực chỉ có một trong hai dạng biểu diễn thập phân sau:

+ Dạng thập phân hữu hạn hay vô hạn tuần hoàn nếu số đó là số hữu tỉ.

+ Dạng thập phân vô hạn không tuần hoàn nếu số đó là số vô tỉ.

Ví dụ: Ta có các số 5; –3 ; 0,14 ; $-\frac{8}{7}$ ; $3\frac{1}{8}$ ; $\sqrt{11}$ ; π ; ….là các số thực.

Ta viết 5 ∈ ℝ ; –3 ∈ ℝ ; 0,14 ∈ ℝ ; $-\frac{8}{7}$ ∈ ℝ ; $3\frac{1}{8}$ ∈ ℝ; $\sqrt{11}$ ∈ ℝ ; π ∈ ℝ ; …

Chú ý: Trong các tập hợp đã học, tập hợp số thực là “rộng lớn” nhất bao gồm tất cả các số tự nhiên, số nguyên, số hữu tỉ và cả số vô tỉ.

– Trong tập hợp các số thực, ta cũng có các phép tính với các tính chất tương tự như các phép tính trong tập hợp các số hữu tỉ mà ta đã biết.

6. Thứ tự trong tập hợp các số thực

– Các số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn đều có thể so sánh tương tự như so sánh hai số thập phân hữu hạn, đó là so sánh phần số nguyên, rồi đến phần thập phân thứ nhất, phần thập phân thứ hai, …

– Ta có thể so sánh hai số thực bằng cách so sánh hai số thập phân (hữu hạn hoặc vô hạn) biểu diễn chúng.

Do vậy: Với hai số thực x, y bất kì, ta luôn có hoặc x < y hoặc x > y hoặc x = y.

Chú ý: Với hai số thực dương a và b, ta có:

Nếu a > b thì $\sqrt{a}>\sqrt{b}$.

Ví dụ: So sánh hai số thực:

a) 5,(56) và 5,566;

b) $\sqrt{3}$ và 1,733;

c) –1,024 và –1,025;

d) $\sqrt{8}$ và 3.

Hướng dẫn giải

a) Số 5,(56) = 5,565656… < 5,566 (do phần thập phân thứ ba của hai số ta thấy 5 < 6).

Vậy 5,(56) < 5,566.

b) Ta có: $\sqrt{3}$ = 1,73205… < 1,733 (do phần thập phân thứ ba của hai số ta thấy 2 < 3).

Vậy $\sqrt{3}$ < 1,733.

c) Ta có: 1,024 < 1,025 (do phần thập phân thứ ba của hai số ta thấy 4 < 5)

Suy ra: –1,024 > –1,025.

Vậy –1,024 > –1,025.

d) Do 8 < 9 nên ta có $\sqrt{8}<\sqrt{9}$, tức là $\sqrt{8}$ < 3 (vì $\sqrt{9}$ = 3).

Vậy $\sqrt{8}$ < 3.

7. Trục số thực

Ta đã biết một hình vuông có cạnh bằng 1 có độ dài đường chéo là $\sqrt{2}.$

– Trên trục số ta biểu diễn được số vô tỉ $\sqrt{2}.$. Vì vậy, không phải mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số hữu tỉ, nghĩa là các điểm biểu diễn số hữu tỉ không lấp đầy trục số.

Người ta chứng minh được rằng:

+  Mỗi số thực được biểu diễn bởi một điểm trên trục số

+ Ngược lại, mỗi điểm trên trục số biểu diễn một số thực.

Vì vậy, ta gọi trục số là trục số thực.

Chú ý:

– Điểm biểu diễn số thực x trên trục số được gọi là điểm x. 

– Nếu x < y thì trên trục số nằm ngang, điểm x ở bên trái điểm y.

Ví dụ: Ta có: $\sqrt{2}.$ = 1,414213562… < 1,5.

Vậy điểm $\sqrt{2}.$ nằm bên trái điểm 1,5 trên trục số nằm ngang.

8. Số đối của một số thực

– Hai số thực có điểm biểu diễn trên trục số cách đều điểm gốc O và nằm về hai phía ngược nhau là hai số đối nhau, số này gọi là số đối của số kia.

– Số đối của số thực x kí hiệu là –x.

– Ta có x + (– x) = 0.

Ví dụ:  Số đối của số $\sqrt{2}$ là $–\sqrt{2}$, số đối của $–\sqrt{2}$ là $\sqrt{2}$.

9. Giá trị tuyệt đối của một số thực

Giá trị tuyệt đối của một số thực x là khoảng cách từ điểm x đến điểm 0 trên trục số.

Giá trị tuyệt đối của một số thực x được kí hiệu là |x|.

Nhận xét: Ta có$\left|x\right|\text{ = }\left\{\begin{array}{c}x\text{ khi x > 0}\\ -x\text{ \hspace{0.17em}khi x < 0}\\ 0\text{ \hspace{0.17em}khi x =\hspace{0.17em} 0}\end{array}\right.$

Vậy giá trị tuyệt đối của một số thực x luôn là số không âm:

|x| ≥ 0 với mọi số thực x.

Ví dụ:

a)

– Khoảng cách từ điểm –3 đến điểm 0 là 3 nên |–3| = 3.

– Khoảng cách từ điểm 3 đến gốc 0 là 3 nên |3| = 3.

b) Vì –2 < 0 nên |–2| = –(–2) = 2.

10. Làm tròn số

– Khi làm tròn một số thập phân đến hàng nào thì hàng đó gọi là hàng quy tròn.

– Muốn làm tròn số thập phân đến một hàng quy tròn nào đó, ta thực hiện các bước sau:

+ Gạch dưới chữ số thập phân của hàng quy tròn.

+ Nhìn sang chữ số ngay bên phải:

• Nếu chữ số đó lớn hơn hoặc bằng 5 thì tăng chữ số gạch dưới lên một đơn vị rồi thay tất cả các chữ số bên phải bằng số 0 hoặc bỏ đi nếu chúng ở phần thập phân.

• Nếu chữ số đó nhỏ hơn 5 thì giữ nguyên chữ số gạch dưới và thay tất cả các chữ số bên phải bằng số 0 hoặc bỏ đi nếu chúng ở phần thập phân.

Ví dụ : 

a) Làm tròn số 32,506 đến hàng chục.

b) Làm tròn số –1,4257 đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn giải

a) Làm tròn 32,506 đến hàng chục, ta có hàng quy tròn là chữ số 3.

Ta gạch dưới số 3: 32,506; nhìn sang chữ số ngay bên phải là chữ số 2 ở hàng đơn vị.

Mà 2 < 5.

Do đó ta giữ nguyên chữ số 3 đã gạch chân; thay chữ số 2 bởi số 0 và bỏ đi các chữ số 5, 0, 6 ở phần thập phân.

Vậy số 32,506 được làm tròn đến hàng chục là 30.

b) Làm tròn –1,4257 đến hàng phần trăm, ta có hàng quy tròn là chữ số 2.

Ta gạch dưới số 2: –1,4257; nhìn sang chữ số ngay bên phải là chữ số 5 ở hàng phần nghìn.

Mà 5 = 5.

Do đó ta tăng thêm 1 đơn vị vào chữ số 2 đã gạch chân; bỏ đi các chữ số 5, 7 ở phần thập phân.

Vậy số –1,4257 được làm tròn đến hàng phần trăm là –1,43.

– Do mọi số thực đều có thể viết dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn nên để dễ nhớ, dễ ước lượng, dễ tính toán với các số thực có nhiều chữ số, người ta thường làm tròn số.

– Chú ý:

+ Ta phải viết một số dưới dạng thập phân trước khi làm tròn.

+ Khi làm tròn số thập phân ta không quan tâm đến dấu của nó.

Ví dụ:

a) Làm tròn số $\sqrt{2}$ đến hàng phần nghìn.

Ta viết biểu diễn thập phân của số $\sqrt{2}$là $\sqrt{2}$ = 1,414213562… 

Áp dụng quy tắc làm tròn số ta có:

Số $\sqrt{2}$ = 1,414213562… được làm tròn đến hàng phần nghìn là 1,414.

b) Làm tròn số $-\frac{3}{11}$ đến hàng phần mười.

Ta viết biểu diễn thập phân của $-\frac{3}{11}$ là $-\frac{3}{11}=-0,\mathrm{272727\dots }$

Áp dụng quy tắc làm tròn số ta được:

Số $-\frac{3}{11}=-0,\mathrm{272727\dots }$ được làm tròn đến hàng phần mười là –0,3.

11. Làm tròn số căn cứ vào độ chính xác cho trước

– Cho số thực d, nếu khi làm tròn số a ta thu được số x thỏa mãn |a – x| ≤ d thì ta nói x là số làm tròn của số a với độ chính xác d.

– Chú ý:

+ Nếu độ chính xác d là số chục thì ta thường làm tròn a đến hàng trăm.

+ Nếu độ chính xác d là số phần nghìn thì ta thường làm tròn a đến hàng phần trăm, …

Ví dụ: Hãy làm tròn số:

a) Số 2,541 với độ chính xác d = 0,006;

b) Số –24 661 với độ chính xác d = 50;

c) Số $\sqrt{2}$ với độ chính xác d = 0,0005.

Hướng dẫn giải

a) Do độ chính xác đến hàng phần nghìn nên ta làm tròn số 2,541 đến hàng phần trăm và có kết quả là 2,54.

b) Do độ chính xác đến hàng chục nên ta làm tròn số –24 661 đến hàng trăm và có kết quả là –24 700.

c) Do độ chính xác đến hàng phần chục nghìn nên ta làm tròn số $\sqrt{2}$ đến hàng phần nghìn. Số $\sqrt{2}$ =1,414213562…  được làm tròn đến hàng phần nghìn là 1,414.

12. Ước lượng các phép tính

Ta có thể áp dụng quy tắc làm tròn số để ước lượng kết quả các phép tính. Nhờ đó có thể dễ dàng phát hiện ra những đáp số không hợp lí, đặc biệt là những sai sót do bấm nhầm nút khi sử dụng máy tính cầm tay.

Ví dụ: Áp dụng quy tắc làm tròn để ước lượng kết quả của các phép tính sau:

a) 6,23 + 5,76;

b) 50,1 . 49,8.

Hướng dẫn giải

a) Làm tròn đến hàng phần mười của mỗi số hạng ta được:

6,23 ≈ 6,2;  5,76 ≈ 5,8.

Khi đó 6,23 + 5,76 ≈ 6,2 + 5,8 = 12.

Vậy 6,23 + 5,76 ≈ 12.

b) Làm tròn đến hàng đơn vị mỗi thừa số ta có: 

50,1 ≈ 50;  49,8 ≈ 50.

Khi đó 50,1 . 49,8 ≈ 50 . 50 = 2500.

Vậy 50,1 . 49,8 ≈ 2500.