Giải Toán 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 4: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

Trả lời câu hỏi giữa bài

Trả lời câu hỏi 1 trang 42 sgk Toán 8 Tập 1:Cho hai phân thức $\frac{2}{6x^{2}yz}$ và $\frac{5}{4x{y}^3}$. Có thể chọn mẫu thức chung là $12x^2{y}^{3}z$ hoặc $24x^3{y}^{4}z$ hay không ? Nếu được thì mẫu thức chung nào đơn giản hơn?

Phương pháp giải: Mẫu thức chung là một tích chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Lời giải:

$12x^2{y}^{3}z$ chia hết cho $6x^{2}yz$ và $4x{y}^3$

$24x^3{y}^{4}z$ chia hết cho $6x^{2}yz$ và $4x{y}^3$

Do đó có thể chọn mẫu thức chung là $12x^2{y}^{3}z$ hoặc $24x^3{y}^{4}z$.

Chọn mẫu thức chung là $12x^2{y}^{3}z$ đơn giản hơn vì $24x^3{y}^{4}z$ chia hết cho $12x^2{y}^{3}z$.

Trả lời câu hỏi 2 trang 42 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{3}{x^2-5x}$ và $\frac{5}{2x-10}$

Phương pháp giải: Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

Ta có: 

$x^2-5x=x\left(x-5\right)$

$2x-10=2\left(x-5\right)$

Mẫu thức chung là: $2x(x-5)$

Vì $2x(x-5)=2.x(x-5)=2.(x^2-5x)$ nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với $2$:

$\frac{3}{x^2-5x}=\frac{3}{x(x-5)}$

$=\frac{3.2}{2x(x-5)}=\frac{6}{2x(x-5)}$

Vì $2x(x-5)=x.2(x-5)=x.(2x-10)$ nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với $x$:

$\frac{5}{2x-10}=\frac{5}{2(x-5)}=\frac{5x}{2x(x-5)}$

Trả lời câu hỏi 3 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức: $\frac{3}{x^2-5x};\frac{-5}{10-2x}$

Phương pháp giải: Muốn qui đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

Ta có:

$\frac{-5}{10-2x}=\frac{5}{2x-10}$

Xét các mẫu thức: 

$x^2-5x=x\left(x-5\right)$

$2x-10=2(x-5)$

Mẫu thức chung là: $2x(x-5)$

Vì $2x(x-5)=2.x(x-5)=2.(x^2-5x)$ nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ nhất với $2$:

$\frac{3}{x^2-5x}=\frac{3}{x(x-5)}=\frac{3.2}{2x\left(x-5\right)}$$=\frac{6}{2x(x-5)}$

Vì $2x(x-5)=x.2(x-5)=x.(2x-10)$ nên phải nhân cả tử và mẫu của phân thức thứ hai với $x$:

$\frac{-5}{10-2x}=\frac{5}{2x-10}=\frac{5}{2\left(x-5\right)}$$=\frac{5x}{2x\left(x-5\right)}$

Câu hỏi và bài tập (trang 43, 44 sgk Toán 8 Tập 1)

Bài 14 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a) $\frac{5}{x^5{y}^3},\frac{7}{12x^3{y}^4}$;     b) $\frac{4}{15x^3{y}^5},\frac{11}{12x^4{y}^2}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức: 

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

a) $\frac{5}{x^5{y}^3},\frac{7}{12x^3{y}^4}$;

Mẫu thức chung là $12x^5{y}^4$

Nhân tử phụ là

($12x^5{y}^4):(x^5{y}^3)=12y$

$(12x^5{y}^4):(12x^3{y}^4)=x^2$

Quy đồng:

$\frac{5}{x^5{y}^3}=\frac{5.12y}{x^5{y}^3.12y}=\frac{60y}{12x^5{y}^4}$

$\frac{7}{12x^3{y}^4}=\frac{7x^2}{12x^3{y}^4.x^2}=\frac{7x^2}{12x^5{y}^4}$

b) $\frac{4}{15x^3{y}^5},\frac{11}{12x^4{y}^2}$

Mẫu thức chung là $60x^4{y}^5$

Nhân tử phụ là

$(60x^4{y}^5):(15x^3{y}^5)=4x$

$(60x^4{y}^5):(12x^4{y}^2)=5y^3$

Quy đồng:

$\frac{4}{15x^3{y}^5}=\frac{4.4x}{15x^3{y}^5.4x}=\frac{16x}{60x^4{y}^5}$

$\frac{11}{12x^4{y}^2}=\frac{11.5y^3}{12x^4{y}^2.5y^3}=\frac{55y^3}{60x^4{y}^5}$

Bài 15 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu các phân thức sau:

a) $\frac{5}{2x+6};\frac{3}{x^2-9}$;

b) $\frac{2x}{x^2-8x+16};\frac{x}{3x^2-12x}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức: 

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

a) Tìm mẫu thức chung:

$2x+6=2(x+3)$

$x^2-9=(x-3)(x+3)$

Mẫu thức chung là: $2(x-3)(x+3)$

Nhân tử phụ thứ nhất là: $(x-3)$

Nhân tử phụ thứ hai là: $2$

Quy đồng:

$\frac{5}{2x+6}=\frac{5}{2(x+3)}$$=\frac{5(x-3)}{2(x-3)(x+3)}$

$\frac{3}{x^2-9}=\frac{3}{(x-3)(x+3)}$$=\frac{3.2}{2(x-3)(x+3)}$$=\frac{6}{2(x-3)(x+3)}$

b) Tìm mẫu thức chung:

$x^2-8x+16=x^2-2.x.4+4^2$$={\left(x-4\right)}^2$

$3x^2–12x=3x(x-4)$

Mẫu thức chung là: $3x(x-4{)}^2$

Nhân tử phụ thứ nhất là: $3x$

Nhân tử phụ thứ hai là: $(x-4)$

Quy đồng:

$\frac{2x}{x^2-8x+16}=\frac{2x}{(x-4{)}^2}$$=\frac{2x.3x}{3x(x-4{)}^2}=\frac{6x^2}{3x(x-4{)}^2}$

$\frac{x}{3x^2-12}=\frac{x}{3x(x-4)}=\frac{x(x-4)}{3x(x-4{)}^2}$

Bài 16 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau (có thể áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức để tìm mẫu thức chung thuận tiện hơn):

a)$\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1},\frac{1-2x}{x^2+x+1},-2$,    

b) $\frac{10}{x+2},\frac{5}{2x-4},\frac{1}{6-3x}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc đổi dấu.

– Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

+ Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

+ Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

+ Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

a) Tìm mẫu thức chung:

$x^3-1=\left(x-1\right)(x^2+x+1)$

Nên mẫu thức chung là: $\left(x-1\right)(x^2+x+1)$

Nhân tử phụ thứ nhất là $1$

Nhân tử phụ thứ hai là $(x-1)$

Nhân tử phụ thứ ba là $\left(x-1\right)(x^2+x+1)$

Quy đồng:

$\frac{4x^2-3x+5}{x^3-1}=\frac{4x^2-3x+5}{(x-1)(x^2+x+1)}$

$\frac{1-2x}{x^2+x+1}=\frac{(x-1)(1-2x)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

$-2=\frac{-2(x^3-1)}{(x-1)(x^2+x+1)}$

b) Tìm mẫu thức chung:

$x+2=x+2$

$2x-4=2(x-2)$

$6-3x=3(2-x)=-3(x-2)$

Mẫu thức chung là: $6(x-2)(x+2)$

Nhân tử phụ thứ nhất là $6(x-2)$

Nhân tử phụ thứ hai là $3(x+2)$

Nhân tử phụ thứ ba là $-2(x+2)$

Quy đồng:

$\frac{10}{x+2}=\frac{\mathrm{10.6.}(x-2)}{6(x-2)(x+2)}$$=\frac{60(x-2)}{6(x-2)(x+2)}$

$\frac{5}{2x-4}=\frac{5}{2(x-2)}$$=\frac{5.3(x+2)}{2(x-2).3(x+2)}$$=\frac{15(x+2)}{6(x-2)(x+2)}$

$\frac{1}{6-3x}=\frac{1}{-3(x-2)}$$=\frac{-2(x+2)}{-3(x-2).[-2(x+2)]}$$=\frac{-2(x+2)}{6(x-2)(x+2)}$

Bài 17 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Đố. Cho hai phân thức: $\frac{5x^2}{x^3-6x^2},\frac{3x^2+18x}{x^2-36}$

Khi quy đồng mẫu thức, bạn Tuấn đã chọn $MTC=x^2\left(x-6\right)\left(x+6\right)$, còn bạn Lan bảo rằng: “Quá đơn giản! $MTC=x-6$“. Đố em biết bạn nào chọn đúng?

Phương pháp giải: Áp dụng qui tắc qui đồng mẫu thức các phân thức.

Lời giải:

Cách làm của bạn Tuấn: Bạn Tuấn trực tiếp đi tìm mẫu thức chung theo quy tắc: 

$\begin{array}{l}{x}^3-6{\mathrm{x}}^2=x^2\left(x-6\right)\\ x^2-36=x^2-6^2=\left(x-6\right)\left(x+6\right)\\ MTC=x^2\left(x-6\right)\left(x+6\right)\end{array}$

Do đó bạn Tuấn làm đúng.

Cách làm của bạn Lan: Bạn Lan rút gọn phân thức trước khi đi tìm mẫu thức chung:

$\begin{array}{l}\frac{5{\mathrm{x}}^2}{x^3-6{\mathrm{x}}^2}=\frac{5{\mathrm{x}}^2}{x^2\left(x-6\right)}=\frac{5}{x-6}\\ \frac{3{\mathrm{x}}^2+18\mathrm{x}}{x^2-36}=\frac{3\mathrm{x}\left(x+6\right)}{\left(x-6\right)\left(x+6\right)}=\frac{3\mathrm{x}}{x-6}\end{array}$

Do đó $MTC=x-6$. Vậy bạn Lan làm đúng.

Vậy cả hai bạn đều làm đúng. Bạn Tuấn đã tìm MTC theo đúng qui tắc. Bạn Lan thì rút gọn các phân thức trước khi tìm MTC. 

* Nhận xét: Ta nên rút gọn hoàn toàn các phân thức trước khi quy đồng để việc quy đồng ngắn gọn hơn. 

Bài 18 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức hai phân thức:

a) $\frac{3x}{2x+4}$ và $\frac{x+3}{x^2-4}$;

b) $\frac{x+5}{x^2+4x+4}$ và $\frac{x}{3x+6}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

a) Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung 

$2x+4=2(x+2)$

$x^2-4=\left(x-2\right)\left(x+2\right)$

$\Rightarrow MTC=2\left(x-2\right)\left(x+2\right)=2\left(x^2-4\right)$

+ Nhân tử phụ:

$2\left(x-2\right)\left(x+2\right):[2(x+2)]=x-2$

$2\left(x-2\right)\left(x+2\right):[(x-2)(x+2)]=2$

+ Quy đồng:

$\frac{3x}{2x+4}=\frac{3x\left(x-2\right)}{2\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=\frac{3x\left(x-2\right)}{2\left(x^2-4\right)}$

$\frac{x+3}{x^2-4}=\frac{\left(x+3\right).2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right).2}=\frac{2\left(x+3\right)}{2\left(x^2-4\right)}$

b) Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm mẫu thức chung

$x^2+4x+4=x^2+2.x.2+2^2={\left(x+2\right)}^2$

$3x+6=3\left(x+2\right)$

Nên MTC = $3{\left(x+2\right)}^2$

+ Nhân tử phụ:

$3{\left(x+2\right)}^2:(x+2{)}^2=3$

$3{\left(x+2\right)}^2:[3(x+2)]=x+2$

+ Quy đồng:

 $\frac{x+5}{x^2+4x+4}=\frac{\left(x+5\right).3}{{\left(x+2\right)}^2.3}=\frac{3\left(x+5\right)}{3{\left(x+2\right)}^2}$

$\frac{x}{3x+6}=\frac{x.\left(x+2\right)}{3\left(x+2\right).\left(x+2\right)}=\frac{x\left(x+2\right)}{3{\left(x+2\right)}^2}$

Bài 19 trang 43 sgk Toán 8 Tập 1: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:

a)$\frac{1}{x+2},\frac{8}{2x-x^2}$;

b) $x^2+1,\frac{x^4}{x^2-1}$;

c) $\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3},\frac{x}{y^2-xy}$

Phương pháp giải: Áp dụng quy tắc quy đồng mẫu thức:

Muốn quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta có thể làm như sau:

– Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung.

– Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức.

– Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.

Lời giải:

a)$\frac{1}{x+2},\frac{8}{2x-x^2}$;

Phân tích mẫu thức thành nhân tử để tìm MTC 

 $2x–x^2=x.(2–x)$

MTC = $x\left(2-x\right)\left(2+x\right)$

+ Nhân tử phụ :

$x.(2-x)(x+2):(x+2)=x.(2–x)$

 $x(2-x)(x+2):[x(2–x)]=x+2$

+ Quy đồng:

$\frac{1}{x+2}=\frac{1}{2+x}=\frac{x\left(2-x\right)}{x\left(2-x\right)\left(2+x\right)}$$=\frac{2x-x^2}{x(2-x)(2+x)}$

$\frac{8}{2x-x^2}=\frac{8.(2+x)}{x(2-x)(2+x)}$$=\frac{16+8x}{x(2-x)(2+x)}$

b) $x^2+1,\frac{x^4}{x^2-1}$;

MTC = $x^2-1$

Quy đồng: 

$x^2+1=\frac{x^2+1}{1}=\frac{\left(x^2+1\right)\left(x^2-1\right)}{x^2-1}=\frac{x^4-1}{x^2-1}$

$\frac{x^4}{x^2-1}$ giữ nguyên.

c) $\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3},\frac{x}{y^2-xy}$

Ta có: $\frac{x}{y^2-xy}=\frac{-x}{xy-y^2}$ 

+ Phân tích mẫu thức thành nhân tử: 

$x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3={\left(x-y\right)}^3$

$xy-y^2=y\left(x-y\right)$

 MTC = $y{\left(x-y\right)}^3$

+ Nhân tử phụ :

 $y(x–y{)}^3:(x–y{)}^3=y$

 $y(x–y{)}^3:[y(x–y)]=(x–y{)}^2$

+ Quy đồng mẫu thức :

$\frac{x^3}{x^3-3x^{2}y+3x{y}^2-y^3}=\frac{x^3}{{\left(x-y\right)}^3}$$=\frac{x^{3}y}{y{\left(x-y\right)}^3}$

$\frac{x}{y^2-xy}=\frac{-x}{xy-y^2}$$=\frac{-x}{y\left(x-y\right)}=\frac{-x{\left(x-y\right)}^2}{y(x-y).{(x-y)}^2}$$=\frac{-x{\left(x-y\right)}^2}{y{(x-y)}^3}$

Bài 20 trang 44 sgk Toán 8 Tập 1: Cho hai phân thức:

$\frac{1}{x^2+3x-10},\frac{x}{x^2+7x+10}$

Không dùng cách phân tích các mẫu thức thành nhân tử, hãy chứng tỏ rằng có thể quy đồng mẫu thức hai phân thức này với mẫu thức chung là $x^3+5x^2-4x-20$

Phương pháp giải: Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  $x^3+5x^2-4x-20$ làm mẫu thức chung ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Lời giải:

Để chứng tỏ rằng có thể chọn đa thức  $x^3+5x^2-4x-20$ làm mẫu thức chung, ta chỉ cần chứng tỏ rằng nó chia hết cho mẫu thức của mỗi phân thức đã cho.

Ta xét các phép chia:

Do đó:

$\begin{array}{l}{x}^3+5{\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}-20\\ =\left(x^2+3\mathrm{x}-10\right)\left(x+2\right)\\ =\left(x^2+7\mathrm{x}+10\right)\left(x-2\right)\end{array}$

+) MTC = $x^3+5x^2-4x-20$

Nhân tử phụ của phân số thứ nhất là: $(x+2)$

Nhân tử phụ của phân số thứ hai là: $(x-2)$

+) Quy đồng mẫu thức:

$\frac{1}{x^2+3x-10}$$=\frac{1.\left(x+2\right)}{\left(x^2+3x-10\right)\left(x+2\right)}$$=\frac{x+2}{x^3+5x^2-4x-20}$

$\frac{x}{x^2+7x+10}$$=\frac{x\left(x-2\right)}{\left(x^2+7x+10\right)\left(x-2\right)}$$=\frac{x^2-2x}{x^3+5x^2-4x-20}$

Lý thuyết quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

1. Các kiến thức cần nhớ: Quy đồng mẫu thức

Định nghĩa: Quy đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đã cho thành những phân thức mới có cùng mẫu thức và lần lượt các phân thức đã cho.

Phương pháp quy đồng mẫu thức nhiều phân thức

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng

Ví dụ: Quy đồng mẫu thức các phân thức $\frac{1}{x^3+1};\frac{2}{3x+3};\frac{x}{2x^2-2x+2}$

Lời giải:

Ta có: $x^3+1=\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)$; $3x+3=3\left(x+1\right);$$2x^2-2x+2=2\left(x^2-x+1\right)$  và BCNN$\left(2;3\right)=6$  nên các phân thức   $\frac{1}{x^3+1};\frac{2}{3x+3};\frac{x}{2x^2-2x+2}$ có mẫu chung là $6\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)=6\left(x^3+1\right).$

* Nên nhân tử phụ của $\frac{1}{x^3+1}$ là $6$  $\Rightarrow \frac{1}{x^3+1}=\frac{6}{6\left(x^3+1\right)}$

* Nhân tử phụ của $\frac{2}{3x+3}$ là $2\left(x^2-x+1\right)$ $\Rightarrow \frac{2}{3x+3}=\frac{2.2\left(x^2-x+1\right)}{3\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\frac{4x^2-4x+4}{6\left(x^3+1\right)}.$

* Nhân tử phụ của $\frac{x}{2x^2-2x+2}$ là $3\left(x+1\right)$ $\Rightarrow \frac{x}{2x^2-2x+2}=\frac{x.3\left(x+1\right)}{2\left(x^2-x+1\right).3\left(x+1\right)}=\frac{3x^2+3x}{6\left(x^3+1\right)}.$

Vậy ta được 3 phân thức sau khi qui đồng là:

$\frac{6}{6\left(x^3+1\right)};\frac{4x^2-4x+4}{6\left(x^3+1\right)};\frac{3x^2+3x}{6\left(x^3+1\right)}$

2. Các dạng toán thường gặp:

Dạng 1: Tìm mẫu thức chung của các phân thức

Phương pháp giải: Để quy đồng mẫu thức nhiều phân thức ta thực hiện các bước sau:

* Tìm mẫu chung

+ Phân tích phần hệ số thành thừa số nguyên tố và phần biến thành nhân tử

+ Mẫu chung bao gồm: phần hệ số là BCNN của các hệ số của mẫu và phần biến là tích giữa các nhân tử chung và riêng mỗi nhân tử lấy số mũ lớn nhất.

* Tìm nhân tử phụ mỗi phân thức: Lấy mẫu chung chia cho từng mẫu (đã phân tích thành nhân tử).

* Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tương ứng.