Rút gọn phân thức và cách giải bài tập

Tài liệu Lý thuyết và bài tập Rút gọn phân thức (tiếp) có đáp án gồm các nội dung chính sau:

A. Lý thuyết

– tóm tắt lý thuyết ngắn gọn.

B. Một số ví dụ

– gồm 6 ví dụ minh họa có đáp án và lời giải chi tiết Lý thuyết và bài tập Rút gọn phân thức (tiếp).

C. Bài tập vận dụng

– gồm 14 bài tập tự luyện có đáp án và lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện cách giải các dạng Lý thuyết và bài tập Rút gọn phân thức (tiếp).

Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:

RÚT GỌN PHÂN THỨC

A.   LÝ THUYẾT

Muốn rút gọn phân thức ta có thể:

Phân tích tử và mẫu thành nhân tử ( nếu cần) để tìm nhân tử chung;

Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung.

Chú ý: Có khi cần đổi dấu ở tử hoặc mẫu để nhận ra nhân tử chung của tử và mẫu (lưu ý tới tính chất $A=-\left(-A\right)).$

B.      MỘT SỐ VÍ DỤ

Ví dụ 1. Rút gọn phân thức sau:

a) $A=\frac{x^2+2x-8}{x^2+x-12};$

b) $B=\frac{a^4-5a^2+4}{a^4-a^2+4a-4};$

c) $C=\frac{x^3+x^2-4x-4}{x^3+8x^2+17x+10}.$

Giải

a)   Ta có:

$\begin{array}{l}A=\frac{x^2+2x+1-9}{x^2+4x-3x-12}=\frac{{\left(x+1\right)}^2-9}{x\left(x+4\right)-3\left(x+4\right)}=\frac{\left(x+1-3\right)\left(x+1+3\right)}{\left(x+4\right)\left(x-3\right)}\\ A=\frac{\left(x-2\right)\left(x+4\right)}{\left(x+4\right)\left(x-3\right)}=\frac{x-2}{x-3}.\end{array}$

b)   Ta có: $B=\frac{a^4-a^2-4a^2+4}{a^4-(a^2-4a+4)}=\frac{a^2\left(a^2-1\right)-4\left(a^2-1\right)}{a^4-{\left(a-2\right)}^2}$

$\begin{array}{l}B=\frac{\left(a^2-1\right)\left(a^2-4\right)}{\left(a^2-a+2\right)\left(a^2+a-2\right)}=\frac{\left(a-1\right)\left(a+1\right)\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{\left(a^2-a+2\right)\left(a-1\right)\left(a+2\right)}\\ B=\frac{\left(a+1\right)\left(a-2\right)}{a^2-a+2}.\end{array}$

c)   Ta có: $C=\frac{x^2\left(x+1\right)-4\left(x+1\right)}{x^3+x^2+7x^2+7x+10x+10}=\frac{\left(x+1\right)\left(x^2-4\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2+7x+10\right)}$

$C=\frac{\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)\left(x+5\right)}=\frac{x-2}{x+5}.$

Ví dụ 2. Cho a, b, c đôi một khác nhau thỏa mãn $ab=bc+ca=1.$ Rút gọn biểu thức sau: $A=\frac{{\left(a+b\right)}^2{\left(b+c\right)}^2{\left(c+a\right)}^2}{\left(1+a^2\right)\left(1+b^2\right)\left(1+c^2\right)}.$

Giải

Tìm cách giải. Nhận thấy mẫu thức có thể phân tích thành nhân tử bằng cách sử dụng giả thiết. Do vậy nên thay $1=ab+bc+ca$ vào mẫu và phân tích đa thức thành nhân tử. Những bài toán rút gọn có điều kiện, chúng ta nên vận dụng và biến đổi khéo léo điều kiện.

Trình bày lời giải

Thay $1=ab+bc+ca$, ta được $1+a^2=a^2+ab+bc+ca$

$1=a^2=\left(a+b\right)\left(a+c\right)$

Tương tự: $1+b^2=\left(b+c\right)\left(c+a\right)$

$1+c^2=\left(c+a\right)\left(c+b\right)$

Vậy $A=\frac{{\left(a+b\right)}^2{\left(b+c\right)}^2{\left(c+a\right)}^2}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(b+a\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\left(c+b\right)}=1.$

Ví dụ 3. Cho biểu thức $P=\frac{a^3-4a^2-a+4}{a^3-7a^3+14a-8}$

a)     Rút gọn biểu thức P.

b)    Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên.

Giải

Tìm cách giải. Khi rút gọn biểu thức, chúng ta cần phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử.

Để tìm giá trị nguyên của a, chúng ta cần tách phần nguyên và cho phân thức có giá trị nguyên. Chẳng hạn $P=\frac{a+1}{a-2}$ thì ta viết $P=1+\frac{3}{a-2}$, vì 1 là số nguyên nên để P là số nguyên thì có giá trị nguyên. Do vậy $a-2$ phải là ước số của 3.

Trình bày lời giải

a)     Ta có:

$\begin{array}{l}P=\frac{a^3-4a^2-a+4}{a^3-7a^3+14a-8}=\frac{a^2\left(a-4\right)-\left(a-4\right)}{a^3-2a^2-5a^2+10a+4a-8}\\ =\frac{\left(a^2-1\right)\left(a-4\right)}{a^2\left(a-2\right)-5a\left(a-2\right)+4\left(a-2\right)}=\frac{\left(a+1\right)\left(a-1\right)\left(a-4\right)}{\left(a-1\right)\left(a-4\right)\left(a-2\right)}=\frac{a+1}{a-2}\end{array}$

b)    Ta có: $P=1+\frac{3}{a-2}(a\ne 2)$

Vậy $P\in Z\iff \frac{3}{a-2}\in Z\iff a-2\in \left\{\pm 1;\pm \left.3\right\}\right.\iff a\in \left\{-1;1;3;\left.5\right\}\right.$

Xem thêm