50 bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ tiếp (có đáp án) – Toán 8

Bài tập Toán 11 Chương 1 Bài 5: Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

A. Bài tập Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

I. Bài tập trắc nghiệm

Bài 1: Chọn câu sai.

A. A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)            

B. A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

C. (A + B)³ = (B + A)³                                   

D. (A – B)³ = (B – A)³

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có A³ + B³

= (A + B)(A² – AB + B²)

và A³ – B³

= (A – B)(A² + AB + B²) nên A, B đúng.

Vì A + B = B + A

=> (A + B)³ = (B + A)³ nên C đúng

Vì A – B = – (B – A)

=> (A – B)³ = -(B – A)³ nên D sai

Bài 2: Viết biểu thức

(x – 3y)(x² + 3xy + 9y²) dưới dạng hiệu hai lập phương

A. x³ + (3y)³          

B. x³ + (9y)³          

C. x³ – (3y)³          

D. x³ – (9y)³

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có (x – 3y)(x² + 3xy + 9y²)

= (x – 3y)(x + x.3y + (3y)²)

= x³ – (3y)³

Bài 3: Viết biểu thức

(3x – 4)(9x² + 12x + 16) dưới dạng hiệu hai lập phương

A. (3x)³ – 16³        

B. 9x³ – 64            

C. 3x³ – 4³                  

D. (3x)³ – 4³

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có (3x – 4)(9x² + 12x + 16)

= (3x – 4)((3x)² + 3x.4 + 4²)

= (3x)³ – 4³

Bài 4: Rút gọn biểu thức

M = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 4(2x³ – 3)

ta được giá trị của M là

A. Một số lẻ                                         

B. Một số chẵn     

C. Một số chính phương                      

D. Một số chia hết cho 5

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

M = (2x + 3)(4x² – 6x + 9) – 4(2x³ – 3)

= (2x + 3)[(2x)² – 2x.3 + 3²] – 8x³ + 12

= (2x)³ + 3³ – 8x³ + 12

= 8x³ + 27 – 8x³ + 12 = 39

Vậy giá trị của M là một số lẻ

Bài 5: Giá trị của biểu thức

E = (x + 1)(x² – x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1) là

A. 2                       

B. 3                       

C. 1                       

D. 4

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

E = (x + 1)(x² – x + 1) – (x – 1)(x² + x + 1)

= x³ + 1 – (x³ – 1)

= x³ + 1 – x³ + 1 = 2

Vậy E = 2

Bài 6: Cho M = 8(x – 1)(x² + x + 1) – (2x – 1)(4x² + 2x + 1) và N = x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)(x² – 3x + 9) – 4x.

Chọn câu đúng

A. M = N              

B. N = M + 2        

C. M = N – 20      

D. M = N + 20

Đáp án: D

Giải thích:

Ta có

M = 8(x – 1)(x² + x + 1) – (2x – 1)(4x² + 2x + 1)

= 8(x³ – 1) – ((2x)³ – 1)

= 8x³ – 8 – 8x³ + 1 = -7

nên M = -7

N = x(x + 2)(x – 2) – (x + 3)(x² – 3x + 9) – 4x

= x(x² – 4) – (x³ + 3³) + 4x

= x³ – 4x – x³ – 27 + 4x

= -27

=> N = -27

Vậy M = N + 20

Bài 7: Rút gọn biểu thức

H = (x + 5)(x² – 5x + 25) – (2x + 1)³ + 7(x – 1)³ – 3x(-11x + 5)

ta được giá trị của H là

A. Một số lẻ                                         

B. Một số chẵn     

C. Một số chính phương                      

D. Một số chia hết cho 12

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có

H = (x + 5)(x² – 5x + 25) – (2x + 1)³ + 7(x – 1)³ – 3x(-11x + 5)

= x³ + 5³ – (8x³ + 3.(2x)².1+ 3.2x.1² + 1) + 7(x³ – 3x² + 3x – 1) + 33x² – 15x

= x³ + 125 – 8x³ – 12x² – 6x – 1 + 7x³ – 21x² + 21x – 7 + 33x² – 15x

= (x³ – 8x³ + 7x³) + (-12x² – 21x² + 33x²) + (-6x + 21x – 15x) + 125 – 1 – 7

= 117

Vậy giá trị của M là một số lẻ

Bài 8: Giá trị của biểu thức

A = (x² – 3x + 9)(x + 3) – (54 + x³)

A. 54                     

B. -27                    

C. -54                    

D. 27

Đáp án: B

Giải thích:

Ta có A = (x² – 3x + 9)(x + 3) – (54 + x³)

A = (x² – 3x + 3²)(x + 3) – (54 + x³)

A = x³ + 3³ – 54 – x³

A = 27 – 54 = -27

Vậy A = -27

Bài 9: Viết biểu thức (x² + 3)(x⁴ – 3x² + 9)

dưới dạng tổng hai lập phương

A. (x²)³ + 3³          

B. (x²)³ – 3³           

C. (x²)³ + 9³          

D. (x²)³ – 9³

Đáp án: A

Giải thích:

Ta có (x² + 3)(x⁴ – 3x² + 9)

= (x² + 3)((x²)² – 3.x² + 3²)

= (x²)³ + 3³

Bài 10: Cho A = 1³+ 2³ + 3³ + 4³ + … + 10³.

Khi đó

A. A chia hết cho 11                            

B. A chia hết cho 5

C. Cả A, B đều đúng                           

D. Cả A, B đều sai

Đáp án: C

Giải thích:

Ta có A = 1³+ 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³

= (1³ + 10³) + (2³ + 9³) + (3³ + 8³) + (4³ + 7³) + (5³ + 6³)

= 11(1² – 10 + 10²) + 11(2² – 2.9 + 9²) + … + 11(5² – 5.6 + 6²)

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 11 nên A ⁝ 11.

Lại có A = 1³+ 2³ + 3³ + 4³ + 5³ + 6³ + 7³ + 8³ + 9³ + 10³

= (1³ + 9³) + (2³ + 8³) + (3³ + 7³) + (4³ + 6³) + (5³ + 10³)

= 10(1² – 9 + 9²) + 10(2² – 2.8 + 8²) + … + 5³ + 10³

Vì mỗi số hạng trong tổng đều chia hết cho 5 nên A ⁝ 5.

Vậy A chia hết cho cả 5 và 11

II. Bài tập tự luận

Bài 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng tích.

a) $x^3+\frac{y^3}{64}$;

b) 8u³ – v³ .

Lời giải:

a) $x^3+\frac{y^3}{64}=x^3+{\left(\frac{y}{4}\right)}^3$$=\left(x+\frac{y}{4}\right)\left(x^2-\frac{xy}{4}+\frac{y^2}{16}\right)$

b) 8u³ – v³ = (2u)³ – v³ = (2u – v)(4u² + 2uv + v²).

Bài 2: Viết các biểu thức sau dưới dạng tổng hoặc hiệu các lập phương.

Lời giải:

Bài 3: Tính giá trị biểu thức.

a) M = x³ + y³ + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²) khi x + y = 1;

b) $N={\left(\frac{x}{4}\right)}^3+{\left(\frac{y}{2}\right)}^2$ biết x + 2y = 0.

Lời giải:

a) M = x³ + y³ + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²)

M = (x + y)³ – 3xy(x + y) + 6x²y²(x + y) + 3xy(x² + y²)

M = 1³ – 3xy.1 + 6x²y². 1+ 3xy(x² + y²) (vì x + y = 1)

M = 1 – 3xy  + 3xy(2xy + x² + y²)

M = 1 – 3xy + 3xy(x + y)²

M = 1 – 3xy  + 3xy (vì x + y = 1)

M = 1.

Bài 4: Tìm x, biết:

x(x – 5)(x + 5) – (x + 2)(x² – 2x + 4) = 17.

Lời giải:

x(x – 5)(x + 5) – (x + 2)(x² – 2x + 4) = 17

x(x² – 25) – (x³ + 2³) = 17

x³ – 25x – x³ – 8 = 17

– 25x = 25

x = – 1

Vậy x = – 1.

B. Lý thuyết  Những hằng đẳng thức đáng nhớ (tiếp)

1. Tổng hai lập phương

Tổng của lập phương hai biểu thức bằng tích của tổng hai biểu thức và bình phương thiếu của hiệu hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ + B³ = (A + B)(A² – AB + B²)

Chú ý: A² – AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một hiệu.

Ví dụ 1:

x³ + 4³ = (x + 4)(x² – 4x + 4²) = (x + 4)(x² – 4x + 16)

$\frac{1}{27}+u^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3+u^3=\left(\frac{1}{3}+u\right)\left[{\left(\frac{1}{3}\right)}^2-\frac{1}{3}u+u^2\right]=\left(\frac{1}{3}+u\right)\left(\frac{1}{9}-\frac{u}{3}+u^2\right)$

2. Hiệu hai lập phương

Hiệu của lập phương hai biểu thức bằng tích của hiệu hai biểu thức và bình phương thiếu của tổng hai biểu thức đó.

Với A, B là các biểu thức tùy ý, ta có: A³ – B³ = (A – B)(A² + AB + B²)

Chú ý: A² + AB + B² được gọi là bình phương thiếu của một tổng.

Ví dụ 2:

x³ – (2y)³ = (x – 2y)[x² + 2xy + (2y)²] = (x – 2y)(x² + 2xy + 4y²)

27a³ – 1 = (3a)³ – 1³ = (3a – 1)[(3a)² + 3a.1 + 1²] = (3a – 1)(9a² + 3a + 1)