Tailieumoi.vn xin giới thiệu đến các quý thầy cô, các em học sinh đang trong quá trình ôn tập bộ bài tập Cách giải các hằng đẳng thức đáng nhớ lớp 8, tài liệu bao gồm 17 trang, tuyển chọn 11 ví dụ và 22 bài tập Cách giải các hằng đẳng thức đáng nhớ đầy đủ lý thuyết, phương pháp giải chi tiết, giúp các em học sinh có thêm tài liệu tham khảo trong quá trình ôn tập, củng cố kiến thức. Chúc các em học sinh ôn tập thật hiệu quả và đạt được kết quả như mong đợi.
Tài liệu Cách giải các hằng đẳng thức đáng nhớ – Đại số toán 8 gồm các nội dung sau:
I. Phương pháp giải
– Tóm tắt lý thuyết ngắn gọn
II. Một số ví dụ
– Gồm 11 ví dụ minh họa đa dạng cho dạng bài Cách giải các hằng đẳng thức đáng nhớ có lời giải chi tiết
III. Bài tập vận dụng
– Gồm 22 bài tập vận dụng có lời giải chi tiết giúp học sinh tự rèn luyện các bài tập Cách giải các hằng đẳng thức đáng nhớ
Mời các quý thầy cô và các em học sinh cùng tham khảo và tải về chi tiết tài liệu dưới đây:
CÁC HẰNG ĐẲNG THỨC ĐÁNG NHỚ
I. Phương pháp giải
Các hằng đẳng thức thức cần nhớ
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
II. Một số ví dụ
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức :
Giải
Tìm cách giải. Rút gọn biểu thức là biến đổi viết biểu thức ấy dưới dạng đơn giản hơn. Trong mỗi biểu thức đều ẩn chứa hẳng đẳng thức, vì vậy chúng ta dùng hằng đẳng thức để khai triển và thu gọn các đơn thức đồng dạng.
Trình bày lời giải
a) Ta có:
b) Ta có :
c) Ta có :
\[C = {\left( {{x^2} – 5x + 2} \right)^2} + 2.\left( {5x – 2} \right)\left( {{x^2} – 5x + 2} \right) + {\left( {5x – 2} \right)^2}\]
\[ = {\left[ {\left( {{x^2} – 5x + 2} \right) + \left( {5x – 2} \right)} \right]^2}\]
\[ = {\left( {{x^2}} \right)^2} = {x^4}\]
Ví dụ 2: Cho \[x + y = – 7\] và \[{x^2} + {y^2} = 11\]. Tính \[{x^3} + {y^3}?\]
Giải
Tìm cách giải. Sử dụng hằng đẳng thức (1) và giả thiết ta có thể tính được tích xy. Mặt khác phân tích kết luận bằng hằng đẳng thức (4), ta chỉ cần biết thêm tích xy là xong. Từ đó ta có lời giải sau.
Trình bày lời giải
Từ
\[\begin{array}{l}x + y = – 7\\ \Rightarrow {x^2} + 2xy + {y^2} = 49\end{array}\]
Mà
\[\begin{array}{l}{x^2} + {y^2} = 11 \Rightarrow 11 + 2xy = 49\\ \Rightarrow xy = 12\end{array}\]
Ta có :
\[\begin{array}{l}{x^3} + {y^3} = {\left( {x + y} \right)^3} – 3xy\left( {x + y} \right)\\ = {\left( { – 7} \right)^3} – 3.12\left( { – 7} \right)\end{array}\]
\[ \Rightarrow {x^3} + {y^3} = – 91\]
Ví dụ 3: Tính giá trị biểu thức :
\[a)A = {x^2} + 10x + 26\] tại \[x = 95\]
\[b)B = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1\] tại \[x = 21\]
Giải
Tìm cách giải.Quan sát kỹ biểu thức, ta nhận thấy có bóng dáng của hằng đẳng thức. Do vậy chúng ta nên vận dụng đưa về hằng đẳng thức. Sau đó thay số vào để tính, bài toán sẽ đơn giản hơn.
Trình bày lời giải
a) Ta có :
\[A = {x^2} + 10x + 26\]
\[ = {x^2} + 10x + 25 + 1 = {\left( {x + 5} \right)^2} + 1\]
b) Ta có :
\[B = {x^3} – 3{x^2} + 3x + 1\]
\[ = {x^3} – 3{x^2} + 3x – 1 + 2\]
\[ = {\left( {x – 1} \right)^3} + 2\]
Với \[x = 21\]
\[\begin{array}{l} \Rightarrow B = {\left( {21 – 1} \right)^3} + 2\\ = 8000 + 2 = 8002\end{array}\]
Ví dụ 4: Tính nhanh:
\[a)A = \frac{{{{2020}^3} + 1}}{{{{2020}^2} – 2019}}\]
\[b)B = \frac{{{{2020}^3} – 1}}{{{{2020}^2} + 2021}}\]
Giải
Tìm cách giải. Quan sat kỹ đề bài, ta nhận thấy mỗi phân số đều ẩn chứa hằng đẳng thức. Do vậy, việc dùng hằng đẳng thức để phân tích ra thừa số là suy luận tự nhiên.
Trình bày lời giải
\[\begin{array}{l}a)A = \frac{{{{2020}^3} + 1}}{{{{2020}^2} – 2019}}\\ = \frac{{\left( {2020 + 1} \right)\left( {{{2020}^2} – 2020 + 1} \right)}}{{{{2020}^2} – 2020 + 1}}\\ = 2021\end{array}\]
\[\begin{array}{l}b)B = \frac{{{{2020}^3} – 1}}{{{{2020}^2} + 2021}}\\ = \frac{{\left( {2020 – 1} \right)\left( {{{2020}^2} + 2020 + 1} \right)}}{{{{2020}^2} + 2020 + 1}}\\ = 2019\end{array}\]
Ví dụ 5: Cho \[x – y = 2\]. Tính giá trị \[A = 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) – 3.{\left( {x + y} \right)^2}\]
Giải
Tìm cách giải. Dựa vào giả thiết và kết luận ta nghĩ tới hai hướng sau:
· Biến đổi biểu thức A nhằm xuất hiện \[x – y\] để thay bằng số 2.
· Từ giả thiết, suy ra \[x = y + 2\]thay vào kết luận, ta được biểu thức chỉ chứa biến y. Sau đó rút gọn biểu thức.
Trình bày lời giải
Cách 1. Ta có :
\[A = 2\left( {{x^3} – {y^3}} \right) – 3{\left( {x + y} \right)^2}\]
\[ = 2\left( {x – y} \right)\left( {{x^2} + {y^2} + xy} \right) – 3\left[ {{{\left( {x – y} \right)}^2} + 4xy} \right]\]
\[ = 4\left( {{x^2} + {y^2} – 2xy + 3xy} \right) – 3{\left( {x – y} \right)^2} – 12xy\]
\[ = 4{\left( {x – y} \right)^2} – 3{\left( {x – y} \right)^2} + 12xy – 12xy = {\left( {x – y} \right)^2} = 4\]
Cách 2. Từ giả thiết, suy ra \[x = y + 2\] thay vào biểu thức A ta có :
\[A = 2\left( {{{\left( {y + 2} \right)}^3} – {y^3}} \right) – 3{\left( {y + 2 + y} \right)^2}\]
\[ = 2\left( {{y^3} + 6{y^2} + 12y + 8 – {y^3}} \right) – 3{\left( {2y + 2} \right)^2}\]
\[ = 12{y^2} + 24y + 16 – 12{y^2} – 12y – 12 = 4\]
Ví dụ 6: Tìm các số thực x, y thỏa mãn \[{x^2} + 26{y^2} – 10xy + 14x – 76y + 58 = 0\]
Giải
Tìm cách giải. Để tìm số thực x, y thỏa mãn đa thức hai biến bậc hai bằng 0, chúng ta định hướng biến đổi đưa đa thức đó thành tổng bình phương của hai biểu thức. Sau đó áp dụng \[{A^2} + {B^2} = 0\] khi và chỉ khi \[A = 0\] và \[B = 0\]. Từ đó tìm được x, y.
Trình bày lời giải
Ta có :
\[{x^2} + 26{y^2} – 10xy + 14x – 76y + 58 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {x^2} – 10xy + 25{y^2} + 14\left( {x – 5y} \right) + 49 + {y^2} – 6y + 9 = 0\]
\( \Leftrightarrow {(x – 5y)^2} – 14(x – 5y) + 49 + {(y – 3)^2} = 0\)\(\)
\[ \Leftrightarrow {\left( {x – 5y – 7} \right)^2} + {\left( {y – 3} \right)^2} = 0\]
\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x – 5y – 7 = 0\\y – 3 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 22\\y = 3\end{array} \right.\]
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : \[P = {x^2} + xy + {y^2} – 2x – 3y + 2015\]
Giải
Tìm cách giải. Để tìm giá trị nhỏ nhất của một đa thức bậc hai, chúng ta dùng hằng đẳng thức (1) và (2) để biến đổi đa thức thành tổng các bình phương cộng với một số. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức đạt được khi và chỉ khi tổng các bình phương bằng 0.
Trình bày lời giải
Ta có :
\[P = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} + \frac{{3{y^2}}}{4} – 2x – 3y + 2015\]
\[ = {\left( {x + \frac{y}{2}} \right)^2} – 2\left( {x + \frac{y}{2}} \right) + 1 + \frac{{3{y^2}}}{4} – 2y + 2014\]
\[ = {\left( {x + \frac{y}{2} – 1} \right)^2} + \frac{3}{4}\left( {{y^2} – \frac{8}{3}y + \frac{{16}}{9}} \right) + 2012\frac{2}{3}\]
\[\begin{array}{l} = {\left( {x + \frac{y}{2} – 1} \right)^2} + \frac{3}{4}{\left( {y – \frac{4}{3}} \right)^2} + 2012\frac{2}{3}\\ \ge 2012\frac{2}{3}\end{array}\]
\[\begin{array}{l} = 2012\frac{2}{3}\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x + \frac{y}{2} – 1 = 0\\y – \frac{4}{3} = 0\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{1}{3}\\y = \frac{4}{3}\end{array} \right.\end{array}\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của \[P = 2012\frac{2}{3}\] khi và chỉ khi \[x = \frac{1}{3};y = \frac{4}{3}\]
Ví dụ 8: Cho a, b, c thỏa mãn đồng thời \[a + b + c = 6\] và \[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12\]. Tính giá trị của biểu thức : \[P = {\left( {a – 3} \right)^{2020}} + {\left( {b – 3} \right)^{2020}} + {\left( {c – 3} \right)^{2020}}\]
Giải
Tìm cách giải. Giả thiết cho hai hằng đẳng thức mà lại có ba biến a, b, c có vai trò như nhau. Do vậy chúng ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi \[a = b = c\] và từ giả thiết suy ra \[a = b = c = 2\]. Để tìm ra được kết quả này, chúng ta vận dụng tổng các bình phương bằng 0. Do đó nên bắt đầu từ \[{\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 0\] và biến đổi tương đương để ra giả thiết. Khi trình bày thì lại bắt đầu từ giả thiết.
Trình bày lời giải
Ta có :
\[{a^2} + {b^2} + {c^2} = 12 \Rightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – 12 = 0\]
\[\begin{array}{l} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – 24 + 12 = 0\\ \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} + {c^2} – 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = 0\end{array}\]
\[ \Leftrightarrow {a^2} – 4a + 4 + {b^2} – 4b + 4 + {c^2} – 4c + 4 = 0\]
\[ \Leftrightarrow {\left( {a – 2} \right)^2} + {\left( {b – 2} \right)^2} + {\left( {c – 2} \right)^2} = 0\]
Dấu bằng xảy ra khi \[a = b = c = 2\]
\[ \Rightarrow P = {\left( { – 1} \right)^{2020}} + {\left( { – 1} \right)^{2020}} + {\left( { – 1} \right)^{2020}} = 3\]
Ví dụ 9: Cho \[{a^2} – {b^2} = 4{c^2}\]. Chứng minh rằng:
\[\left( {5a – 3b – 8c} \right)\left( {5a – 3b + 8c} \right) = {\left( {3a – 5b} \right)^2}\]
Giải
Tìm cách giải . Quan sát đẳng thức cần chứng minh, chúng ta nhận thấy vế trái có chứa c, vế phải không chứa c. Do vậy chúng ta cần biến đổi vế trái của đẳng thức, sau đó khử c bằng cách thay \[4{c^2} = {a^2} – {b^2}\] từ giả thiết. Để thực hiện nhanh và chính xác, chúng ta nhận thấy vế trái có dạng hằng đẳng thức (3).
Trình bày lời giải
Biến đổi vế trái :
\[\left( {5a – 3b – 8c} \right)\left( {5a – 3b + 8c} \right)\]
\[ = {\left( {5a – 3b} \right)^2} – 64{c^2} = \left( {25{a^2} – 30ab + 9{b^2}} \right) – 64{c^2}\]
\[ = \left( {25{a^2} – 30ab + 9{b^2}} \right) – 16\left( {{a^2} – {b^2}} \right)\left( {do{\rm{ }}4{c^2} = {a^2} – {b^2}} \right)\]
\[ = 9{a^2} – 30ab + 25{b^2} = {\left( {3a – 5b} \right)^2}\]
Vế trái bằng vế phải. Suy ra điều phải chứng minh.
Xem thêm