Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Lý thuyết Toán lớp 8

Lý thuyết Toán lớp 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

A. Lý thuyết Hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng

${\left(A+B\right)}^2=A^2+2AB+B^2$

Ví dụ: ${101}^2=(100+1{)}^2={100}^2+\mathrm{2.100.1}+1^2=10201$

2. Bình phương của một hiệu

${\left(A-B\right)}^2=A^2-2AB+B^2$

Ví dụ: ${99}^2=(100-1{)}^2={100}^2-\mathrm{2.100.1}+1^2=9801$

3. Hiệu hai bình phương

$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$

Ví dụ: ${101}^2-{99}^2=(101-99)(101+99)=2.200=400$

4. Lập phương của một tổng

${\left(A+B\right)}^3=A^3+3A^{2}B+3A{B}^2+B^3$

Ví dụ: ${\left(x+3\right)}^3=x^3+3x^2.3+3x{.3}^2+3^3=x^3+9x^2+27x+27$

5. Lập phương của một hiệu

${\left(A-B\right)}^3=A^3-3A^{2}B+3A{B}^2-B^3$

Ví dụ: ${\left(x-3\right)}^3=x^3-3x^2.3+3x{.3}^2-3^3=x^3-9x^2+27x-27$

6. Tổng hai lập phương

$A^3+B^3=(A+B)\left(A^2-AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3+8=x^3+2^3=(x+2)(x^2-2x+4)$

7. Hiệu hai lập phương

$A^3-B^3=(A-B)\left(A^2+AB+B^2\right)$

Ví dụ: $x^3-8=\left(x-2\right)\left(x^2+2x+4\right)$

 

B. Bài tập Hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 1.Viết các biểu thức sau thành đa thức

a) (3x + 7y)²;

b) (x – 5y)²;

c) (x – 3y)(x + 3y);

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²);

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2);

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²);

g) (–x + y)³;

h) (–x – xy)³.

Hướng dẫn giải

a) (3x + 7y)²

= (3x)² + 2 . 3x . 7y + (7y)²

= 9x² + 42xy + 49y²;

b) (x – 5y)²

= x² – 2 . x . 5 y + (5y)²

= x² – 10xy + 25y²;

c) (x – 3y)(x + 3y)

= x² – (3y)²

= x² – 9y².

d) (2a – b)(4a² + 2ab + b²)

= (2a – b)[(2a)² + 2a . b + b²]

= (2a – b)³;

e) (a – 2)(a² + 4)(a + 2)

= [(a – 2)(a + 2)](a² + 4)

= (a² – 4)(a² + 4)

= (a²)² – 4²

= a⁴ – 16;

f) (a + 5b)(a² + 5ab + 25b²)

= (a + 5b)[a² + a . 5b + (5b)²]

= (a + 5b)³.

g) (–x + y)³

= (–x)³ + 3.(–x)²y + 3(–x).y² + y³

= –x³ + 3x²y – 3xy² + y³.

h) (–x – xy)³

= (–x)³ – 3.(–x)²xy + 3.(–x).(xy)² – (xy)³

= –x³ – 3x³y – 3x³y² – x³y³.

Bài 2.Viết các biểu thức sau thành bình phương hoặc lập phương của một tổng hay một hiệu:

a) 9x² + 6x + 1;

b) $\frac{1}{4}{x}^2+xy+y^2$

c) x³ – 3x² + 3x – 1;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³.

Hướng dẫn giải

a) 9x² + 6x + 1

= (3x)² + 2 . 3x . 1 + 1²

= (3x + 1)²;

c) x³ – 3x² + 3x – 1

= (x – 1)³;

d) x³ + 9x²y + 27xy² + 27y³

= x³ + 3.x².3y + 3.x.(3y)² + (3y)³

= (x + 3y)³.

Bài 3.Tính nhanh:

a) 98²;

b) 45 . 55;

c) 67² – 33².

Hướng dẫn giải

a) 98²

= (100 – 2)²

= 100² – 2 . 100 . 2 + 2²

= 10 000 – 400 + 4

= 9 604;

b) 45 . 55

= (50 – 5)(50 + 5)

= 50² – 5²

= 2 500 – 25

= 2 475;

c) 67² – 33²

= (67 – 33)(67 + 33)

= 34 . 100

= 3 400.

Bài 4.Cho x + y = 3, xy = 10. Tính:

a) A = x³ + y³;

b) B = (x – y)².

Hướng dẫn giải

a) A = x³ + y³

= (x + y)(x² – xy + y²)

= (x + y)(x² + 2xy + y² – 3xy)

= (x + y)[(x + y)² – 3xy]

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức A ta có

A = 3 . (3² – 3 . 10) = 3 . (9 – 30) = 3 . (–21) = –63.

b) B = (x – y)²

= x² – 2xy + y²

= x² + 2xy + y² – 4xy

= (x + y)² – 4xy

Thay x + y = 3, xy = 10 vào biểu thức B ta có

B = 3² – 4 . 10 = 9 – 40 = –31.

Bài 5.Cho hình lập phương có cạnh bằng 3 cm. Thể tích hình lập phương sẽ tăng bao nhiêu nếu các cạnh đều tăng a cm?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình lập phương là

V = 3 . 3 . 3 = 27 (cm³)

Khi các cạnh đều tăng thêm a cm thì độ dài các cạnh của hình lập phương là3 + a (cm)

Thể tích hình lập phương mới là

V = (3 + a)(3 + a)(3 + a)

= (3 + a)³

= 3³ + 3 . 3² . a + 3 . 3 . a² + a³

= a³ + 9a² + 27a + 27 (cm³)

Thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm là

a³ + 9a² + 27a + 27 – 27 = a³ + 9a² + 27a (cm³)

Vậy thể tích hình lập phương sẽ tăng thêm a³ + 9a² + 27a cm³.

Video bài giảng Toán 8 Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ – Chân trời sáng tạo

Xem thêm các bài tóm tắt Lý thuyết Toán lớp 8 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết khác:

Lý thuyết Bài 2: Các phép toán với đa thức nhiều biến

Lý thuyết Bài 3: Hằng đẳng thức đáng nhớ

Lý thuyết Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử

Lý thuyết Bài 5: Phân thức đại số

Lý thuyết Bài 6: Cộng, trừ phân thức

Lý thuyết Bài 7: Nhân, chia phân thức