Giải SGK Toán 8 Bài 21 (Kết nối tri thức): Phân thức đại số

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 21: Phân thức đại số

Mở đầu trang 4 Toán 8 Tập 2: Trong một cuộc đua xe đạp, các vận động viên phải hoàn thành ba chặng đường đua bao gồm 9 km leo dốc; 5 km xuống dốc và 36 km đường bằng phẳng. Vận tốc của một vận động viên trên chặng đường bằng phẳng hơn vận tốc leo dốc 5 km/h và kém vận tốc xuống dốc 10 km/h. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì có tính được thời gian hoàn thành cuộc đua của vận động viên đó không?

Lời giải:

Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì sẽ tính được thời gian hoàn thành cuộc đua của vận động viên đó.

Vì giả sử x (km/h) là vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì vận tốc leo dốc là x – 5 (km/h) và vận tốc khi xuống dốc là x + 10 (km/h). Quãng đường đã biết từ đó tính được thời gian của từng chặng và thời gian hoàn thành cuộc đua của vận động viên.

1. Phân thức đại số

HĐ1 trang 5 Toán 8 Tập 2: Trong tình huống mở đầu, giả sử vận tốc trung bình của một vận động viên đi xe đạp trên 36 km đường bằng phẳng là x (km/h). Hãy viết biểu thức biểu thị thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng leo dốc, chặng xuống dốc, chặng đường bằng phẳng.

Lời giải:

Giả sử x (km/h) là vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng thì vận tốc leo dốc là x – 5 (km/h) và vận tốc khi xuống dốc là x + 10 (km/h).

+ Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng leo dốc là: $t_1=\frac{9}{x-5}$  (h)

+ Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng xuống dốc là: $t_2=\frac{5}{x+10}$  (h)

+ Thời gian vận động viên đó hoàn thành chặng đường bằng phẳng là: $t_3=\frac{36}{x}$  (h).

HĐ2 trang 5 Toán 8 Tập 2: Viết biểu thức biểu thị tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài của một hình chữ nhật có chiều rộng là x (cm) và chiều dài là y (cm)

Lời giải:

Biểu thức biểu thị tỉ số giữa chiều rộng và chiều dài là: $\frac{x}{y}$ .

Luyện tập 1 trang 5 Toán 8 Tập 2: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có cùng mẫu thức?

a) $\frac{-20x}{3y^2}$  và $\frac{4x^3}{5y^2}$ ;               

b) $\frac{5x-10}{x^2+1}$  và $\frac{5x-20}{x^2-1}$ ;       

c) $\frac{5x+10}{4x-8}$  và $\frac{4-2x}{4(x-2)}$ .

Lời giải:

Cặp phân thức có cùng mẫu thức là $\frac{5x+10}{4x-8}$  và $\frac{4-2x}{4(x-2)}$  vì $\frac{4-2x}{4(x-2)}=\frac{4-2x}{4x-8}$ .

Tranh luận trang 6 Toán 8 Tập 2: Tròn: $\frac{3-2x}{3+\frac{1}{x}}$  không phải là phân thức. Vuông: $\frac{3-2x}{3+\frac{1}{x}}$  là phân thức đại số. Theo em, bạn nào đúng?

Lời giải:

Tròn đúng, vuông sai vì $3+\frac{1}{x}$  không phải là đa thức.

2. Hai phân thức bằng nhau

Luyện tập 2 trang 6 Toán 8 Tập 2: Khẳng định sau đúng hay sai? Vì sao?

$\frac{1}{x^2+x+1}=\frac{1-x}{1-x^3}$.

Lời giải:

Đây là khẳng định đúng vì 1 – x³ = (1 – x)(x² + x + 1).

3. Điều kiện xác định và giá trị của phân thức

Luyện tập 3 trang 7 Toán 8 Tập 2: Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{x+1}{x-1}$  và tính giá trị của phân thức tại x = 2.

Lời giải:

Điều kiện xác định của phân thức là x – 1 ≠ 0 hay x ≠ 1.

Thay x = 2 vào $\frac{x+1}{x-1}$ , ta có: $\frac{2+1}{2-1}=3$

Vậy giá trị của phân thức là 3 tại x = 2.

Vận dụng trang 7 Toán 8 Tập 2: Trở lại tình huống mở đầu. Nếu biết vận tốc của vận động viên trên chặng đường bằng phẳng là 30 km/h, hãy tính thời gian vận động viên đó hoàn thành mỗi chặng đua và tính tổng thời gian để hoàn thành cuộc đua.

Lời giải:

+ Thời gian vận động viên hoàn thành chặng leo dốc là:

$t_1=\frac{9}{x-5}=\frac{9}{30-5}=\frac{9}{25}$ (h)

+ Thời gian vận động viên hoàn thành chặng xuống dốc là:

 $t_2=\frac{5}{x+10}=\frac{5}{30+10}=\frac{1}{8}$  (h)

+ Thời gian vận động viên hoàn thành chặng đường bằng phẳng là:

 $t_3=\frac{36}{x}=\frac{36}{30}=\frac{6}{5}$ (h)

+ Tổng thời gian hoàn thành chặng đua là: $t_1+t_2+t_3=\frac{9}{25}+\frac{1}{8}+\frac{6}{5}=\mathrm{1,685}$ (h).

Bài tập

Bài 6.1 trang 7 Toán 8 Tập 2: Viết tử thức và mẫu thức của phân thức $\frac{5x-2}{3}$ .

Lời giải:

Tử thức: 5x – 2

Mẫu thức: 3.

Bài 6.2 trang 7 Toán 8 Tập 2: Trong các cặp phân thức sau, cặp phân thức nào có mẫu giống nhau?

a) $\frac{-20x}{3y^2}$  và $\frac{4x}{5y^2}$ ;           

b) $\frac{3x-1}{x^2+1}$  và $\frac{3x-1}{x+1}$ ;                 

c) $\frac{x-1}{3x+6}$  và $\frac{x+1}{3(x+2)}$ .

Lời giải:

Cặp phân thức có mẫu giống nhau là $\frac{x-1}{3x+6}$  và $\frac{x+1}{3(x+2)}$  vì $\frac{x+1}{3(x+2)}=\frac{x+1}{3x+6}$ .

Bài 6.3 trang 7 Toán 8 Tập 2: Các kết luận sau đây đúng hay sai? Vì sao?

a) $\frac{-6}{-4y}=\frac{3y}{2y^2}$ ;               

b) $\frac{x+3}{5}=\frac{x^2+3x}{5x}$ ;                  

c) $\frac{3x\left(4x+1\right)}{16x^2-1}=\frac{-3x}{1-4x}$ .

Lời giải:

a) Kết luận đúng vì –6.2y² = –4y.3y = –12y².

b) Kết luận đúng vì 5x.(x + 3) = 5.(x² + 3x) = 5x² + 15x.

c) Kết luận đúng vì 3x(4x + 1)(1 – 4x) = –3x(16x² – 1) = –48x³ + 3x.

Bài 6.4 trang 7 Toán 8 Tập 2: Viết điều kiện xác định của phân thức $\frac{x^2+x-2}{x+2}$ . Tính giá trị của phân thức lần lượt tại x = 0; x = 1; x = 2.

Lời giải:

Điều kiện xác định: x + 2 ≠ 0 hay x ≠ –2.

Với x = 0, giá trị của phân thức là: $\frac{0^2+0-2}{0+2}=-1$ .

Với x = 1, giá trị của phân thức là: $\frac{1^2+1-2}{1+2}=0$ .

Với x = 2, giá trị của phân thức là: $\frac{2^2+2-2}{2+2}=1$ .

Bài 6.5 trang 7 Toán 8 Tập 2: Cho A là một đa thức khác 0 tùy ý. Hãy giải thích vì sao $\frac{0}{A}=0$  và $\frac{A}{A}=1$ .

Lời giải:

Vì mỗi đa thức được coi là phân thức với mẫu bằng 1, đặc biệt số 0 và số 1 cũng là phân thức bằng cách coi $0=\frac{0}{1}$  và $1=\frac{1}{1}$ . Vì vậy cần chứng tỏ $\frac{0}{A}=\frac{0}{1}$  và $\frac{A}{A}=\frac{1}{1}$ .

Ta có: A . 0 = 0 = 0 . 1 nên $\frac{0}{A}=\frac{0}{1}$ .

Tương tự, A . 1 = 1 . A nên $\frac{A}{A}=\frac{1}{1}$ .

Vậy $\frac{0}{A}=0$  và $\frac{A}{A}=1$ .

Bài 6.6 trang 7 Toán 8 Tập 2: Một ô tô chạy với vận tốc là x (km/h).

a) Viết biểu thức biểu thị thời gian ô tô (tính bằng giờ) chạy hết quãng đường 120 km.

b) Tính thời gian ô tô đi được 120 km trong trường hợp vận tốc của ô tô là 60 km/h.

Lời giải:

a) Thời gian ô tô chạy hết quãng đường 120 km là: $t=\frac{120}{x}$  (giờ).

b) Thời gian ô tô đi được 120 km với vận tốc là 60 km/h: $t=\frac{120}{60}=2$  (giờ).