Giải SGK Toán 8 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Giải bài tập Toán lớp 8 Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

1. Hằng đẳng thức

Luyện tập 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào là hằng đẳng thức?

a) $a (a + 2 b) = a^{2} + 2 a b$

b) $a + 1 = 3 a - 1$

Phương pháp giải:

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Lời giải:

a) $a (a + 2 b) = a^{2} + 2 a b$ là hằng đẳng thức.

b) $a + 1 = 3 a - 1$ không là hằng đẳng thức vì khi ta thay $a = 2$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

2. Hiệu hai bình phương

HĐ 1 trang 30 Toán 8 Tập 1: Quan sát Hình 2.1

Giải SGK Toán 8 Bài 6 (Kết nối tri thức): Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu (ảnh 1)

a) Tính diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a.

b) Tính diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b.

c) Có nhận xét gì về diện tích của hai hình ở câu a và câu b?

Phương pháp giải:

Diện tích hình chữ nhật = chiều dài . chiều rộng

Lời giải:

a) Diện tích của phần hình màu xanh ở Hình 2.1a là: $a^{2} - b^{2}$ .

b) Diện tích hình chữ nhật màu xanh ở Hình 2.1b là: $(a + b) (a - b)$ .

c) Diện tích hai hình ở câu a và b bằng nhau.

HĐ 2 trang 31 Toán 8 Tập 1: Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) (a - b)$ .

Từ đó rút ra liên hệ giữa $a^{2} - b^{2}$ và $(a + b) (a - b)$ .

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải:

$(a + b) (a - b) = a . a - a b + b . a - b . b = a^{2} - b^{2} + (- a b + b a) = a^{2} - b^{2}$

Từ đó ta được $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Luyện tập 2 trang 31 Toán 8 Tập 1: a) Tính nhanh $99^{2} - 1$

b) Viết $x^{2} - 9$ dưới dạng tích.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Lời giải:

a) $99^{2} - 1 = 99^{2} - 1^{2} = (99 + 1) . (99 - 1) = 100.98 = 9800.$

b) $x^{2} - 9 = x^{2} - 3^{2} = (x + 3) . (x - 3)$

Vận dụng trang 31 Toán 8 Tập 1: Ở bài toán mở đầu, em hãy giải thích xem bạn đó tính nhanh như thế nào.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Lời giải:

$198.202 = (200 - 2) . (200 + 2) = 200^{2} - 2^{2} = 400 - 4 = 396.$

3. Bình phương của một tổng

HĐ 3 trang 31 Toán 8 Tập 1: Với hai số a,b bất kì, thực hiện phép tính $(a + b) . (a + b)$ .

Từ đó rút ra liên hệ giữa ${(a + b)}^{2}$ và $a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Phương pháp giải:

Muốn nhân hai đa thức ta nhân mỗi hạng tử của đa thức này với từng hạng tử của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải:

$(a + b) . (a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b = a^{2} + (a b + a b) + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Từ đó ta được ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Luyện tập 3 trang 32 Toán 8 Tập 1: 1. Khai triển ${(2 b + 1)}^{2}$

2. Viết biểu thức $9 y^{2} + 6 y x + x^{2}$ dưới dạng bình phương của một tổng.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Lời giải:

1. ${(2 b + 1)}^{2} = {(2 b)}^{2} + 2.2 b .1 + 1^{2} = 4 b^{2} + 4 b + 1$

2. $9 y^{2} + 6 y x + x^{2} = {(3 y)}^{2} + 2.3 y . x + x^{2} = {(3 y + x)}^{2}$

4. Bình phương của một hiệu

HĐ 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Với hai số a, b bất kì, viết $a - b = a + (- b)$ và áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng để tính ${(a - b)}^{2}$ .

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Lời giải:

${(a - b)}^{2} = {[a + (- b)]}^{2} = a^{2} + 2. a . (- b) + {(- b)}^{2} = a^{2} - 2. a b + b^{2}$

Luyện tập 4 trang 32 Toán 8 Tập 1: Khai triển ${(3 x - 2 y)}^{2}$

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2}$

Lời giải:

${(3 x - 2 y)}^{2} = {(3 x)}^{2} - 2.3 x .2 y + {(2 y)}^{2} = 9 x^{2} - 12 x y + 4 y^{2}$

Vận dụng trang 32 Toán 8 Tập 1: Trong trò chơi “Ai thông minh hơn học sinh lớp 8”, người dẫn chương trình yêu cầu các bạn học sinh cho biết kết quả của phép tính $1002^{2}$ . Chỉ vài giây sau, Nam đã tính ra kết quả chính xác và giành được điểm. Em hãy giải thích xem Nam đã tính nhanh như thế nào.

Phương pháp giải:

Sử dụng hằng đẳng thức ${(a + b)}^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Lời giải:

$1002^{2} = {(1000 + 2)}^{2} = 1000^{2} + 2.1000.2 + 2^{2} = 1000000 + 4000 + 4 = 1004004$

Bài tập

Bài 2.1 trang 33 Toán 8 Tập 1: Những đẳng thức nào sau đây là hằng đẳng thức?

a) $x + 2 = 3 x + 1$

b) $2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x$

c) $(a + b) a = a^{2} + b a$

d) $a - 2 = 2 a + 1$

Phương pháp giải

Hằng đẳng thức là đẳng thức mà hai vế luôn cùng nhận một giá trị khi thay các chữ trong đẳng thức bằng các số tùy ý.

Lời giải:

a) $x + 2 = 3 x + 1$ không là hằng đẳng thức vì khi ta thay $x = 0$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

b) $2 x (x + 1) = 2 x^{2} + 2 x$ là hằng đẳng thức.

c) $(a + b) a = a^{2} + b a$ là hằng đẳng thức.

d) $a - 2 = 2 a + 1$ không là hằng đẳng thức vì khi ta thay $a = 0$ thì hai vế của đẳng thức không bằng nhau.

Bài 2.2 trang 33 Toán 8 Tập 1: Thay bằng biểu thức thích hợp.

a) $(x - 3 y) (x + 3 y) = x^{2} - ?$ ;

b) $(2 x - y) (2 x + y) = 4 ? - y^{2}$ ;

c) $x^{2} + 8 x y + ? = {(? + 4 y)}^{2}$ ;

d) $? - 12 x y + 9 y^{2} = {(2 x - ?)}^{2}$ .

Phương pháp giải

Sử dụng ba hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} +) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B) \\ +) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} \\ +) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2} \end{array}$

Lời giải:

a) $(x - 3 y) (x + 3 y) = x^{2} - 9 y^{2}$ ;

b) $(2 x - y) (2 x + y) = 4 x^{2} - y^{2}$ ;

c) $x^{2} + 8 x y + 16 y^{2} = {(x + 4 y)}^{2}$ ;

d) $4 x^{2} - 12 x y + 9 y^{2} = {(2 x - 3 y)}^{2}$ .

Bài 2.3 trang 33 Toán 8 Tập 1: Tính nhanh:

a) $54.66$ ;

b) $203^{2}$ .

Phương pháp giải

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} +) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B) \\ +) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} \end{array}$

Lời giải:

a) $54.66 = (60 - 6) . (60 + 6) = 60^{2} - 6^{2} = 3600 - 36 = 3564$

b) $203^{2} = {(200 + 3)}^{2} = 200^{2} + 2.200.3 + 3^{2} = 40000 + 600 + 9 = 40609$

Bài 2.4 trang 33 Toán 8 Tập 1: Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) $x^{2} + 4 x + 4$

b) $16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2}$

Phương pháp giải

Sử dụng 2 hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} +) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} \\ +) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2} \end{array}$

Lời giải:

a) $x^{2} + 4 x + 4 = x^{2} + 2. x .2 + 2^{2} = {(x + 2)}^{2}$

b) $16 a^{2} - 16 a b + 4 b^{2} = {(4 a)}^{2} - 2.4 a .2 b + {(2 b)}^{2} = {(4 a - 2 b)}^{2}$

Bài 2.5 trang 33 Toán 8 Tập 1: Rút gọn các biểu thức sau:

a) ${(x - 3 y)}^{2} - {(x + 3 y)}^{2}$

b) ${(3 x + 4 y)}^{2} + {(4 x - 3 y)}^{2}$

Phương pháp giải

Sử dụng ba hằng đẳng thức:

$\begin{array}{l} +) A^{2} - B^{2} = (A + B) (A - B) \\ +) {(A + B)}^{2} = A^{2} + 2 A B + B^{2} \\ +) {(A - B)}^{2} = A^{2} - 2 A B + B^{2} \end{array}$

Lời giải:

a) ${(x - 3 y)}^{2} - {(x + 3 y)}^{2} = (x - 3 y + x + 3 y) . (x - 3 y - x - 3 y) = (2 x) . (- 6 y) = - 12 x y$

$\begin{array}{l} {(3 x + 4 y)}^{2} + {(4 x - 3 y)}^{2} = {(3 x)}^{2} + 2.3 x .4 y + {(4 y)}^{2} + {(4 x)}^{2} - 2.4 x .3 y + {(3 y)}^{2} \\ = 9 x^{2} + 24 x y + 16 y^{2} + 16 x^{2} - 24 x y + 9 y^{2} \\ = (9 x^{2} + 16 x^{2}) + (24 x y - 24 x y) + (16 y^{2} + 9 y^{2}) \\ = 25 x^{2} + 25 y^{2} \end{array}$

Bài 2.6 trang 33 Toán 8 Tập 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n, ta có: ${(n + 2)}^{2} - n^{2}$ chia hết cho 4.

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$

Nếu 2 số nguyên a, b thỏa mãn a chia hết cho 4 thì a.b chia hết cho 4.

Lời giải:

Ta có:

${(n + 2)}^{2} - n^{2} = (n + 2 - n) . (n + 2 + n) = 2. (2 n + 2) = 2.2. (n + 1) = 4. (n + 1)$ .

Vì $4 ⋮ 4$ nên $4 (n + 1) ⋮ 4$ với mọi số tự nhiên n.

Video bài giảng Toán 8 Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu – Kết nối tri thức

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 8 Kết nối tri thức hay, chi tiết khác:

Bài tập cuối chương 1

Bài 6: Hiệu hai bình phương. Bình phương của một tổng hay một hiệu

Bài 7: Lập phương của một tổng. Lập phương của một hiệu

Bài 8: Tổng và hiệu hai lập phương

Luyện tập chung trang 40

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy