20 Bài tập Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến (sách mới) có đáp án – Toán 8

Bài tập Toán 8 Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

A. Bài tập Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

Bài 1. Trong các biểu thức sau, biểu thức nào là đơn thức?

–2y; (1 + $\sqrt{5}$ )xy; x² $\frac{1}{y}$; 0; 3$\sqrt{x}$ ; $\frac{1}{2}$ x³y²; (y – 1)x².

Hướng dẫn giải

–2y là đơn thức vì là tích của số và biến.

(1 + $\sqrt{5}$ )xy là đơn thức vì là tích của số với các biến.

x² $\frac{1}{y}$ không là đơn thức vì có phép chia cho biến y.

0 là đơn thức.

3$\sqrt{x}$  không là đơn thức vì có căn bậc hai của biến.

$\frac{1}{2}$x³y² là đơn thức vì lũy thừa của biến cũng là tích của các biến.

(y – 1)x² không là đơn thức vì có phép trừ của biến.

Bài 2. Cho các đơn thức.

A = 5x(–2)x²y$\frac{1}{10}$y; B = 2$\sqrt{3}$x²yz; C = $-\frac{1}{2}$ xy²(1 + 2.1,5)x²z; D = (2023 + $\sqrt{3}$ )x.

a) Liệt kê các đơn thức thu gọn trong các đơn thức trên và thu gọn các đơn thức còn lại.

b) Xác định hệ số, phần biến và bậc của mỗi đa thức trên.

Hướng dẫn giải

a) Các đơn thức thu gọn là: B = 2$\sqrt{3}$x²yz và D = (2023 + $\sqrt{3}$ )x.

Thu gọn đa thức A và C ta được:

A = 5x(–2)x²y$\frac{1}{10}$y = 5. (–2).$\frac{1}{10}$ .(x.x²).(y.y) = – x³y²

C =$-\frac{1}{2}$ xy²(1 + 2.1,5)x²z =$-\frac{1}{2}$ (1 + 2.1,5).(x.x²).y².z = –2x³y²z.

b)

Đơn thức A khi thu gọn là – x³y² có hệ số là – 1, phần biến là x³y² và bậc là 3 + 2 = 5.

Đơn thức B = 2$\sqrt{3}$ x²yz có hệ số là 2$\sqrt{3}$ , phần biến là x²yz và bậc là 2 + 1 + 1 = 4.

Đơn thức C khi thu gọn là –2x³y²z có hệ số là – 2, phần biến là x³y²z và bậc là 3 + 2 + 1 = 6.

Đơn thức D = (2023 +$\sqrt{3}$ )x có hệ số là 2023 + $\sqrt{3}$ , phần biến là x, bậc là 1.

Bài 3. Cho các đơn thức: 4xy²; $-\frac{1}{2}$ yxy; – 3x²y; 4y² $\frac{1}{2}$x; 5yxy².

a) Liệt kê các đơn thức đồng dạng trong các đơn thức trên.

b) Tính tổng S của các đơn thức đồng dạng ở trên.

c) Tính giá trị của tổng S tại x = 1; y = – 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn các đơn thức chưa thu gọn, ta được:

$-\frac{1}{2}$yxy = $-\frac{1}{2}$ xy²

4y² $\frac{1}{2}$x = 2xy²

5yxy² = 5xy³

Vậy các đơn thức đồng dạng là: 4xy²; $-\frac{1}{2}$ yxy; 4y² $\frac{1}{2}x$ vì có cùng phần biến là xy².

b)

S = 4xy² + ( $–\frac{1}{2}$yxy) +  4y²  $\frac{1}{2}x$

  = 4xy² + ($-\frac{1}{2}$ xy²) + 2xy²

   = [4 + ($-\frac{1}{2}$ ) + 2]xy²

   = $\frac{11}{2}$ xy²

c) Thay x = 1; y = – 2, ta có:

S = $\frac{11}{2}$ .1.( – 2)² =$\frac{11}{2}$ .4 = 22.

Vậy S = 22 tại x = 1; y = – 2.

Bài 4. Cho các biểu thức sau:

x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023;

a) Trong các biểu thức trên, biểu thức nào là đa thức?

b) Xác định hệ số và bậc của từng hạng tử trong các đa thức tìm được.

Hướng dẫn giải

a) Các đa thức là: x³ – x² + 2x + 3;  xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$ ; 2x²y² – 5xyz + 2023.

Biểu thức x³y²z + xyz – $\frac{1}{y^2}$  không là đa thức vì hạng tử – $\frac{1}{y^2}$  không là đơn thức.

b) Đa thức x³ – x² + 2x + 3 có:

Hạng tử x³ có hệ số là 1, bậc 3;

Hạng tử – x² có hệ số là – 1, bậc 2;

Hạng tử 2x có hệ số là 2, bậc 1;

Hạng tử 3 có hệ số là 3, bậc 0.

+ Đa thức xy⁴ + 2x³ – x²y + $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có:

Hạng tử xy⁴ có hệ số là 1, bậc 5;

Hạng tử 2x³ có hệ số là 2, bậc 3;

Hạng tử – x²y có hệ số là – 1, bậc 3;

Hạng tử $\frac{x}{\sqrt{2}}$  có hệ số là $\frac{1}{\sqrt{2}}$ , bậc 1.

+ Đa thức 2x²y² – 5xyz + 2023 có:

Hạng tử 2x²y² có hệ số là 2, bậc 4;

Hạng tử – 5xyz có hệ số là – 5, bậc 3;

Hạng tử 2023 có hệ số là 2023, bậc 0.

Bài 5. Thu gọn (nếu cần) và tìm bậc của mỗi đa thức sau:

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$ x +$\frac{1}{2}$+ $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$ ;

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$x³y – $\frac{3}{4}$xy²  + 3;

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1.

Hướng dẫn giải

A = 3x²y – 5xy + $\frac{1}{2}$x²y – xy + 3xy – $\frac{2}{3}$x + $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$x – $\frac{3}{2}$

    = (3x²y + $\frac{1}{2}$x²y) + (– 5xy – xy + 3xy) + (– $\frac{2}{3}$ x + $\frac{1}{3}$ x ) + ( $\frac{1}{2}$ – $\frac{3}{2}$ )

    = $\frac{7}{2}$ x²y – 3xy – $\frac{1}{3}$ x – 1

Hạng tử $\frac{7}{2}$ x²y có bậc 3; hạng tử – 3xy có bậc 2; hạng tử – $\frac{1}{3}$ x có bậc 1; – 1 có bậc 0.

Nên đa thức A có bậc là 3.

B = 7x⁵ – $\frac{1}{2}$ x³y – $\frac{3}{4}$ xy²  + 3 là đa thức đa thu gọn có:

Hạng tử 7x⁵ có bậc 5; hạng tử – $\frac{1}{2}$ x³y có bậc 4; hạng tử –$\frac{3}{4}$ xy² có bậc 3; hạng tử 3 có bậc 0.

Nên đa thức B có bậc là 5.

C = 5x²y + xy² – xy + 3 + 2xy² – 5xy – 5x²y + 1

    = (5x²y – 5x²y) + (xy² + 2xy²)  + (– xy – 5xy) + (3 + 1)

    = 3xy² – 6xy + 4

Hạng tử 3xy² có bậc 3; hạng tử – 6xy có bậc 2; hạng tử 4 có bậc 0.

Nên đa thức C có bậc 3.

Bài 6. Cho đa thức M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z.

a) Thu gọn và tìm bậc của đa thức M;

b) Tính giá trị của đa thức M tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Hướng dẫn giải

a) Thu gọn đa thức M:

M = 9x²y²z – 3xyz + 5y²z – 6x²y²z + x²y² – 3x²y²z

     = (9x²y²z – 6x²y²z  – 3x²y²z)  – 3xyz + 5y²z + x²y²

     = – 3xyz + 5y²z + x²y²

Hạng tử – 3xyz có bậc 3; hạng tử 5y²z có bậc 3; hạng tử x²y² có bậc 4.

Vậy đa thức M có bậc 4.

b)  Thay x = 1; y = – 1 và z = 2 vào đa thức M thu gọn, ta được:

M = – 3.1.( – 1).2 + 5.(– 1)².2 + 1².( – 1)²

     =          6          +      10       +      1

     =                           17

Vậy M = 17 tại x = 1; y = – 1 và z = 2.

Bài 7. Chỉ ra các đơn thức, đa thức trong các biểu thức sau:

$1+\frac{x}{y};2-x;3\text{x}yz;5\sqrt{x};x^{2}y;\frac{1}{3}+x^2+y.$

Hướng dẫn giải

Các đơn thức là: 3xyz; x²y.

Các đa thức gồm:

+ Các đơn thức 3xyz; x²y;

+ Đa thức $\frac{1}{3}+x^2+y$ và 2 – x.

Bài 8. Thu gọn các đơn thức sau, chỉ ra phần biến, hệ số của mỗi đơn thức đó.

$\frac{1}{3}x\frac{2}{3}y\frac{4}{3}x\text{z;}–5a^{3}b3cb.$

Hướng dẫn giải

•Ta có 

Đơn thức trên có hệ số là , bậc bằng 2 + 1 + 1 = 4;

•Ta có – 5a³b3cb = (–5 . 3)a³(b . b)c = – 15a³b²c

Đơn thức trên có hệ số là –15, bậc bằng 3 + 2 + 1 = 6.

Bài 9. Thu gọn và tìm bậc của mỗi đa thức:

a) A = 2x⁵y + 7xy² – x⁵ + x⁵y – 10.

b) B = x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y.

Hướng dẫn giải

a) A = 2x⁵y + 7xy² – x⁵ + x⁵y – 10

= (2x⁵y + x⁵y) + 7xy² – x⁵ – 10

= 3x⁵y + 7xy² – x⁵ – 10

Các hạng tử của A lần lượt có bậc là 6; 3; 5; 0

Do đó bậc của A bằng 6.

b) B = x²y² – 3xy² + 2x²y² + 5x²y

= (x²y² + 2x²y²) – 3xy² + 5x²y

= 3x²y² – 3xy² + 5x²y

Các hạng tử của B lần lượt có bậc là 4; 3; 3

Do đó bậc của A bằng 4.

Bài 10. Tính giá trị của biểu thức A = x – y + z + y³ + x²y – z⁵ tại x = 5, y = 2, z = –1.

Hướng dẫn giải

Thay x = 5, y = 2, z = – 1 vào đa thức A = x – y + z + y³ + x²y – z⁵ ta được

A = 5 – 2 + (–1) + 2³ + 5² . 2 – (–1)⁵

= 5 – 2 – 1 + 8 + 25 . 2 + 1

= 61

Vậy A = 61.

Bài 11. Có hai bể hình hộp chữ nhật A (đầy nước) và B (bể rỗng) có các kích thước (đơn vị: mét) như hình vẽ.

a) Viết biểu thức biểu thị phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B (coi phần nước bị đổ ra ngoài khi đổ từ bể A sang bể B không đáng kể).

b) Khi x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) thì trong bể A còn lại khoảng bao nhiêu lít nước (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)?

Hướng dẫn giải

a) Thể tích bể A là:

3x . 2y . 2x = (3 . 2 . 2)(x . x)y = 12x²y (m³).

Thể tích bể B là:

Phần nước còn lại ở bể A sau khi đổ nước từ bể A sang bể B là:

$12{\text{x}}^{2}y-\frac{8}{3}{\text{x}}^{2}y=\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$ (m³).

b) Thay x = 0,2 (m) và y = 0,5 (m) vào biểu thức $\frac{28}{3}{\text{x}}^{2}y$ta được:

Vậy trong bể A còn lại khoảng 186,7 lít nước.

Bài 12. Thu gọn các đơn thức sau:

a) 12xy⁵x³y²z;

b) $\frac{1}{2}$x²y³y³z.

Hướng dẫn giải

a) 12xy⁵x³y²z = 12 . (x . x³) . (y⁵.y²) . z

= 12x⁴y⁷z

b) $\frac{1}{2}$x²y³y³z = $\frac{1}{2}$. x² . ( y³ . y³) . z

= $\frac{1}{2}$x²y⁵z

Bài 13. Thu gọn các đa thức sau:

a) 15xy + 3 + 2xy +5;

b) 2,7x²y + 1,3xy² – 1,7x²y + 4,7xy² – 15.

Hướng dẫn giải

a) 15xy + 3 + 2xy +5 = (15xy + 2xy) + (3 + 5)

= 17xy + 8.

b) 2,7x²y + 1,3xy² – 1,7x²y + 4,7xy² – 15

= (2,7x²y – 1,7x²y) + (1,3xy² + 4,7xy²) – 15

= x²y + 6xy² – 15.

Bài 14. Tính giá trị của đa thức sau:

P = x²y – 12x³y + xy – 27 tại x = 1; y = 2.

Hướng dẫn giải

Thay x = 1; y = 2 vào biểu thức P, ta được:

P = 1² . 2 – 12 . 1³ . 2 + 1 . 2 – 27

= 2 – 24 + 2 – 27 = – 47.

Vậy với x = 1; y = 2 thì giá trị của biểu thức P = – 47.

B. Lý thuyết Đơn thức nhiều biến. Đa thức nhiều biến

1. Đơn thức nhiều biến

1.1. Khái niệm

Đơn thức nhiều biến (hay đơn thức) là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến.

Ví dụ: Các biểu thức $\frac{1}{2}$; x, x²y, –3x²y là các đơn thức.

1.2. Đơn thức thu gọn

Đơn thức thu gọn là đơn thức chỉ gồm tích của một số với các biến, mà mỗi biến đã được nâng lên lũy thừa với số mũ nguyên dương và chỉ được viết một lần

Số nói trên gọi là hệ số, phần còn lại là phần biến của đơn thức thu gọn.

Ví dụ: Đơn thức –2xy²z là đơn thức thu gọn có hệ số là –2 và phần biến là xy²z.

Chú ý: Ta cũng coi một số là đơn thức thu gọn.

Khi nói đến đơn thức, nếu không nói gì thêm, ta hiểu đó là đơn thức thu gọn.

1.3. Đơn thức đồng dạng

Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến.

Ví dụ: Đơn thức xy đồng dạng với đơn thức 3xy vì chúng có hệ số khác 0 và có cùng phần biến là xy.

1.4. Cộng trừ các đơn thức đồng dạng

Để cộng (hay trừ) các đơn thức đồng dạng, ta cộng (hay trừ) các hệ số với nhau và giữ nguyên phần biến.

Ví dụ: 2xy² + 3xy² = 5xy²

2. Đa thức nhiều biến

2.1. Khái niệm

Đa thức nhiều biến (hay đa thức) là một tổng của những đơn thức.

Ví dụ: biều thức 2x + y – xy là một đa thức của hai biến x, y.

Chú ý: Mỗi đơn thức được coi là một đa thức.

Ví dụ: Đơn thức x²y cũng là một đa thức.

2.2. Thu gọn đa thức

Thu gọn đa thức là làm cho trong đa thức đó không còn hai đơn thức nào đồng dạng.

Ví dụ: Thu gọn đa thức: A = x² + 2y² + xy + 3x² + 3xy + 2y².

Hướng dẫn giải

Ta có A = x² + 2y² + xy + 3x² + 3xy + 2y²

= (x² + 3x²) + (2y² + 2y²) + (xy + 3xy)

= 4x² + 4y² + 4xy.

2.3. Giá trị của đa thức

Để tính giá trị của một đa thức tại những giá trị cho trước của các biến, ta thay những giá trị cho trước đó vào biểu thức xác định đa thức rồi thực hiện các phép tính.

Ví dụ: Giá trị của đa thức A = x² – 3xy tại x = 2; y = 1 là:

A = 2² – 3. 2.1 = 4 – 6 = –2.