Giải SGK Toán 7 Bài 9 (Chân trời sáng tạo): Tính chất ba đường phân giác

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 9: Tính chất ba đường phân giác

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 79 Tập 2

Khởi động trang 79 Toán lớp 7 Tập 2: Điểm nào nằm bên trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác?

Lời giải:

Giao điểm ba đường phân giác trong tam giác cách đều ba cạnh của tam giác.

1. Đường phân giác của tam giác

Khám phá 1 trang 79 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ và cắt hình tam giác ABC rồi gấp hình sao cho cạnh AB trùng với cạnh AC ta được nếp gấp AD (Hình 1). Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc nào của tam giác ABC?

Lời giải:

Đoạn thẳng AD nằm trên tia phân giác của góc A của tam giác ABC.

Thực hành trang 79 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 3, hãy vẽ các đường phân giác GM, EN và FP của tam giác EFG.

Lời giải:

Ta có hình vẽ sau:

2. Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Giải Toán 7 trang 80 Tập 2

Khám phá 2 trang 80 Toán lớp 7 Tập 2: Vẽ một tam giác trên giấy. Cắt rời tam giác ra khỏi tờ giấy rồi gấp hình tam giác đó để xác định ba đường phân giác của tam giác (Hình 4). Em hãy quan sát và nhận xét xem ba đường phân giác có cùng đi qua một điểm không.

Lời giải:

Thực hiện theo hướng dẫn ta thu được hình như sau:

Ta thấy ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm.

Giải Toán 7 trang 81 Tập 2

Vận dụng trang 81 Toán lớp 7 Tập 2: Một nông trại nằm trên mảnh đất hình tam giác có ba cạnh tường rào tiếp giáp với ba con đường (Hình 7). Hỏi phải đặt trạm quan sát ở đâu để nó cách đều ba cạnh tường rào?

Lời giải:

Ba cạnh tường rào tạo thành ba cạnh của một tam giác.

Để trạm quan sát cách đều ba cạnh tường rào thì trạm quan sát là giao điểm ba đường phân giác của tam giác tạo bởi ba cạnh tường rào.

Bài tập (trang 81, 82)

Bài 1 trang 81 Toán lớp 7 Tập 2: Trong Hình 8, I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

a) Cho biết IM = 6 (Hình 8a). Tính IK và IN.

b) Cho biết IN = x + 3, IM = 2x – 3 (Hình 8b). Tìm x.

Lời giải:

a) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK = 6 cm.

Vậy IK = IN = 6 cm.

b) Ta có I là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC nên I cách đều ba cạnh của tam giác ABC.

Do đó IM = IN = IK.

Suy ra 2x – 3 = x + 3

Suy ra 2x – x = 3 + 3

Do đó x = 6.

Giải Toán 7 trang 82 Tập 2

Bài 2 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ đường trung tuyến AM. Tia phân giác của góc B cắt AM tại I. Chứng minh rằng CI là tia phân giác của góc C.

Lời giải:

Do $△$ABC cân tại A nên AB = AC.

Do AM là đường trung tuyến của $△$ABC nên M là trung điểm của BC.

Xét $△$AMB và $△$AMC có:

AB = AC (chứng minh trên).

AM chung.

MB = MC (do M là trung điểm của BC).

Suy ra $△$AMB = $△$AMC (c.c.c).

Do đó $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$(2 góc tương ứng).

Mà AM nằm giữa AB và AC nên AM là đường phân giác của $\widehat{BAC}.$

Tam giác ABC có hai đường phân giác AM và BI cắt nhau tại I.

Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên CI là tia phân giác của góc C.

Vậy CI là tia phân giác của góc C.

Bài 3 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của các góc B và C cắt nhau tại M. Tia AM cắt BC tại H. Chứng minh rằng H là trung điểm của BC.

Lời giải:

Do DABC cân tại A nên AB = AC.

Tam giác ABC có M là giao điểm hai đường phân giác.

Mà ba đường phân giác của tam giác ABC đồng quy nên AM là đường phân giác của tam giác ABC.

Suy ra $\widehat{MAB}=\widehat{MAC}$hay $\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$.

Xét $△$AHB và $△$AHC có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\widehat{HAB}=\widehat{HAC}$(chứng minh trên).

AH chung.

Suy ra $△$AHB = $△$AHC (c.g.c).

Do đó HB = HC (2 cạnh tương ứng).

Mà H nằm giữa B và C nên H là trung điểm của BC.

Vậy H là trung điểm của BC.

Bài 4 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác DEF. Tia phân giác của góc D và E cắt nhau tại I. Qua I kẻ đường thẳng song song với EF, đường thẳng này cắt DE tại M, cắt DF tại N. Chứng minh rằng ME + NF = MN.

Lời giải:

Tam giác DEF có I là giao điểm hai đường phân giác.

Mà ba đường phân giác của tam giác DEF đồng quy nên IF là đường phân giác của $\hat{F}$.

EI là đường phân giác của $\hat{E}$nên $\widehat{MEI}=\widehat{IEF}$.

Do IM // EF nên $\widehat{MIE}=\widehat{IEF}$(2 góc so le trong).

Suy ra $\widehat{MEI}=\widehat{MIE}$.

Tam giác MIE có $\widehat{MEI}=\widehat{MIE}$nên tam giác MIE cân tại M.

Do đó ME = MI (1).

FI là đường phân giác của $\hat{F}$nên $\widehat{NFI}=\widehat{IFE}$.

Do IN // EF nên $\widehat{NIF}=\widehat{IFE}$(2 góc so le trong).

Suy ra $\widehat{NFI}=\widehat{NIF}$.

Tam giác NIF có $\widehat{NFI}=\widehat{NIF}$nên tam giác NIF cân tại N.

Do đó NI = NF (2).

Từ (1) và (2) ta có ME + NF = MI + NI = MN.

Vậy ME + NF = MN.

Bài 5 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2: debCho tam giác AMN vuông tại A. Tia phân giác của góc M và N cắt nhau tại I. Tia MI cắt AN tại R. Kẻ RT vuông góc với AI tại T. Chứng minh rằng AT = RT.

Lời giải:

Tam giác AMN có hai đường phân giác của góc M và N cắt nhau tại I.

Mà ba đường phân giác của tam giác AMN đồng quy nên AI là đường phân giác của $\hat{A}$.

Do đó $\widehat{IAR}=\frac{1}{2}\widehat{MAN}=\frac{1}{2}.90°=45°$.

Trong tam giác TAR vuông tại T: $\widehat{TAR}+\widehat{TRA}=90°$(trong tam giác vuông, tổng hai góc nhọn bằng $90°$).

Suy ra $\widehat{TRA}=90°-\widehat{TAR}=90°-45°=45°$.

Tam giác TAR có $\widehat{TAR}=\widehat{TRA}=45°$nên tam giác TAR cân tại T.

Do đó AT = RT.

Bài 6 trang 82 Toán lớp 7 Tập 2: Ba thành phố A, B, C được nối với nhau bởi ba xa lộ (Hình 9). Người ta muốn tìm một địa điểm để làm một sân bay sao cho địa điểm này phải cách đều ba xa lộ đó. Hãy xác định vị trí của sân bay thỏa mãn điều kiện trên và giải thích cách thực hiện.

Lời giải:

Ba xa lộ tạo thành ba cạnh của tam giác ABC.

Sân bay cách đều ba xa lộ AB, BC, CA nên địa điểm làm sân bay là giao điểm ba đường phân giác của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

====== ****&**** =====