Giải SGK Toán 7 Bài 2 (Chân trời sáng tạo): Đại lượng tỉ lệ thuận

Giải bài tập Toán lớp 7 Bài 2: Đại lượng tỉ lệ thuận

1. Đại lượng tỉ lệ thuận

Giải Toán 7 trang 11 Tập 2

Khởi động 1 trang 11 Toán lớp 7: Cho biết dây điện có giá 10 nghìn đồng một mét. Gọi y (nghìn đồng) là giá tiền của x (mét) dây điện. Hãy tính y theo x.

Phương pháp giải:

Tiền = giá tiền một mét . số mét

Lời giải:

Ta có 1 mét dây 10 nghìn đồng nên x mét dây có giá 10.x nghìn đồng.

Mà theo đề bài ta có y nghìn đồng là giá của x mét dây nên ta có công thức : y = 10.x 

Khám phá 1 trang 11 Toán lớp 7: a) Học sinh trường Nguyễn Huệ tham gia phong trào “Trồng cây xanh bảo vệ môi trường”, mỗi em đều trồng được 4 cây. Gọi c là số cây trồng được, h là số học sinh đã tham gia. Em hãy viết công thức tính c theo h.

b) Tìm điểm giống nhau giữa hai công thức y = 10x và c = 4h.

Phương pháp giải:

a) Tổng số cây = số cây mỗi học sinh trồng được . số học sinh 

b) Tìm điểm giống nhau giữa hai công thức

Lời giải:

a) Mỗi học sinh trồng được 4 cây và số học sinh là h nên ta có số cây trồng được là 4.h

Mà số cây trồng được là c nên ta có

Do đó c = 4h

b) 2 công thức đều có dạng: Đại lượng này bằng k lần đại lượng kia (k là hằng số)

Thực hành 1 trang 11 Toán lớp 7: a) Cho hai đại lượng f và x liên hệ với nhau theo công thức f = 5x. Hãy cho biết đại lượng x có tỉ lệ thuận với đại lượng f hay không. Hệ số tỉ lệ là bao nhiêu?

b) Cho đại lượng P tỉ lệ thuận với đại lượng m theo hệ số tỉ lệ g = 9,8. Hãy viết công thức tính P theo m

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức $y=kx(k\ne 0)\Rightarrow x=\frac{1}{k}y$

Lời giải:

a) Đại lượng x tỉ lệ thuận với đại lượng f do f và x liên hệ với nhau theo công thức f = 5x .

$\Rightarrow x=\frac{1}{5}y$

$\Rightarrow$ Hệ số tỉ lệ là : $\frac{1}{5}$

b) Theo đề bài ta có P tỉ lệ thuận với đại lượng m theo hệ số tỉ lệ g = 9,8 nên ta có công thức :

P = 9,8m ( hệ số k = g = 9,8 )

Vận dụng 1 trang 11 Toán lớp 7: Cho biết khối lượng mỗi mét khối của một số kim loại như sau:

Đồng: 8900 kg                        Vàng: 19300 kg                      Bạc: 10500 kg

Hãy viết công thức tính khối lượng m (kg) theo thể tích V ($m^3$) của mỗi kim loại và cho biết m tỉ lệ thuận với V theo hệ số tỉ lệ là bao nhiêu.

Phương pháp giải:

Nếu đại lượng y liên hệ với đại lượng x theo công thức $y=kx(k\ne 0)$ thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ k

Lời giải:

Vì mỗi mét khối của đồng, vàng, bạc lần lượt là 8900kg, 19300kg, 10500kg, nên ta có công thức tính khối lượng m (kg) theo thể tích V ($m^3$) của mỗi kim loại lần lượt là : $m=8900.V$, $m=19300.V$,$m=V.m=10500.V$.

Xét kim loại đồng: m= 8 900. V nên m tỉ lệ thuận với V theo hệ số tỉ lệ 8 900.

Xét kim loại vàng: m= 19 300. V nên m tỉ lệ thuận với V theo hệ số tỉ lệ 19 300.

Xét kim loại bạc: m= 10 500. V nên m tỉ lệ thuận với V theo hệ số tỉ lệ 10 500.

2. Tính chất của các đại lượng tỉ lệ thuận

Giải Toán 7 trang 12 Tập 2

Khám phá 2 trang 12 Toán lớp 7: Cho biết giá trị tương ứng của hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau trong bảng sau:

x	$x_1$ = 1	$x_2$ = 2	$x_3$ = 6	$x_4$ = 100
y	$y_1$= 5	$y_2$= ?	$y_3$= ?	$y_4$ = ?

a) Hãy xác định hệ số tỉ lệ của y đối với x

b) Tính các giá trị tương ứng chưa biết của y

c) So sánh các tỉ số giữa hai giá trị tương ứng của y và x

$\frac{y_1}{x_1},\frac{y_2}{x_2},\frac{y_3}{x_3},\frac{y_4}{x_4}$

Phương pháp giải:

Dựa vào công thức $y=kx(k\ne 0)\Rightarrow x=\frac{1}{k}y$

Lời giải:

a) Tỉ lệ của y đối với x là : $\frac{x_1}{y_1}=\frac{1}{5}$

$\Rightarrow$ Hệ số tỉ lệ của y đối với x là : $\frac{1}{5}$

b) Dựa vào hệ số tỉ lệ của y đối với x vừa tính được

$\Rightarrow$ $x_2=\frac{1}{5}{y}_2$

$\Rightarrow y_2$= 10

Xét $x_3=\frac{1}{5}{y}_3\Rightarrow y_3=30$

Xét $x_4=\frac{1}{5}{y}_4\Rightarrow y_4=500$

c) Ta có: $\frac{y_1}{x_1},\frac{y_2}{x_2},\frac{y_3}{x_3},\frac{y_4}{x_4}$ lần lượt bằng : $\frac{5}{1},\frac{10}{2},\frac{30}{6},\frac{500}{100}$

Các tỉ số giữa y và x tương ứng đều bằng nhau (cùng = 5)

Thực hành 2 trang 12 Toán lớp 7: Trong các trường hợp sau, hãy kiểm tra xem hai đại lượng m và n có tỉ lệ thuận với nhau hay không.

a)

m	2	4	6	8	10
n	4	16	36	64	100

 

b)

m	1	2	3	4	5
n	-5	-10	-15	-20	-25

Phương pháp giải:

Xác định tỉ lệ của m và n lập nên các tỉ số tương ứng và xét nếu m tăng thì n cũng phải tăng hoặc m giảm thì n cũng phải giảm 

Lời giải:

a)

Ta thấy : $\frac{2}{4}\ne \frac{4}{16}\ne \frac{6}{36}\ne \frac{8}{64}\ne \frac{10}{100}$

Nên m và n sẽ không tỉ lệ thuận với nhau .

b)

Ta thấy $\frac{1}{-5}=\frac{2}{-10}=\frac{3}{-15}=\frac{4}{-20}=\frac{5}{-25}$ ( = $-\frac{1}{5}$) nên m tỉ lệ thuận với n

3. Một số bài toán về đại lượng tỉ lệ thuận

Giải Toán 7 trang 13 Tập 2

Vận dụng 2 trang 13 Toán lớp 7: Cho biết hai đại lượng m và n tỉ lệ thuận với nhau. Hãy tìm giá trị của a và b.

 

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất tỉ lệ thuận : $\frac{x_1}{y_1}={\frac{x_2}{y_2}}_{}$

Lời giải:

Vì m và n là hai đại lượng tỉ lệ nên $\frac{2}{-6}=\frac{3}{-9}=\frac{4}{a}=\frac{b}{-18}$ 

 Ta được: $\frac{2}{-6}=\frac{3}{-9}=\frac{4}{a}=\frac{b}{-18}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{4}{a}=-\frac{1}{3}$ và $\frac{b}{-18}=-\frac{1}{3}$

$\Rightarrow a=-3.4=-12$ và $3b=18\Rightarrow b=6$

Giải Toán 7 trang 14 Tập 2

Vận dụng 3 trang 14 Toán lớp 7: Hai lớp 7A và 7B quyên góp được một số sách tỉ lệ thuận với số học sinh của lớp, biết số học sinh của hai lớp lần lượt là 32 và 36. Lớp 7A quyên góp được ít hơn lớp 7B 8 quyển sách. Hỏi mỗi lớp quyên góp được bao nhiêu quyển sách?

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{c-a}{d-b}$

Lời giải:

Gọi số quyển sách 2 lớp 7A và 7B quyên góp được lần lượt là a,b ( quyển) (a,b $\in N$)

Vì số sách của lớp 7A và 7B tỉ lệ thuận với số học sinh 2 lớp lần lượt là 32 và 36 nên ta có :

$\Rightarrow \frac{a}{32}=\frac{b}{36}$

Theo đề bài số sách lớp 7A ít hơn 7B 8 quyển nên ta có : b – a = 8 ( quyển sách )

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{a}{32}=\frac{b}{36}\Rightarrow \frac{b-a}{36-32}=\frac{8}{4}=2$

Xét $\frac{a}{32}=2\Rightarrow a=32.2$ $\Rightarrow a=64$( quyển sách )

Vậy số sách lớp 7A quyên góp được là: 64 quyển sách

Số sách lớp 7B = 64 + 8 = 72 ( quyển sách )

Bài tập (trang 14, 15)

Bài 1 trang 14 Toán lớp 7: Cho hai đại lượng a và b tỉ lệ thuận với nhau. Biết rằng khi a = 2 thì b = 18.

a) Tìm hệ số tỉ lệ k của a đối với b.

b) Tính giá trị của b khi a = 5.

Phương pháp giải:

a) Biểu diễn a theo b

b) Thay a = 5 vào công thức liên hệ giữa a và b, tìm b

Lời giải:

a) Vì a và b là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên a = k.b

Khi a = 2 thì b = 18 nên 2 = k . 18 $\Rightarrow k=\frac{2}{18}=\frac{1}{9}$

Vậy hệ số tỉ lệ của a đối với b là $\frac{1}{9}$

b) Từ công thức : $a=\frac{1}{9}b$

Thay a = 5 vào công thức sẽ được :

$5=\frac{1}{9}b\Rightarrow 5:\frac{1}{9}=b\Rightarrow b=45$

Vậy b = 45 tại a = 5.

Bài 2 trang 14 Toán lớp 7: Cho hai đại lượng x và y tỉ lệ thuận với nhau. Biết rằng khi x = 7 thì y = 21.

a) Tìm hệ số tỉ lệ của y đối với x và biểu diễn y theo x

b) Tìm hệ số tỉ lệ của x đối với y và biểu diễn x theo y

Phương pháp giải:

Nếu x tỉ lệ thuận với y theo hệ số tỉ lệ k thì y tỉ lệ thuận với x theo hệ số tỉ lệ $\frac{1}{k}$

Lời giải:

a)      Theo đề bài ta có x tỉ lệ thuận với y mà tại x = 7 thì y = 21 ta có tỉ lệ sau :

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{7}{21}=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow \frac{x}{y}=\frac{1}{3}\Rightarrow 3x=y$

Vậy hệ số tỉ lệ của y đối với x là 3 và y = 3x

b)      Ta có x = $\frac{1}{3}y$ nên hệ số tỉ lệ của x đối với y là : $\frac{1}{3}$

Vì 3x = y $\Rightarrow x=\frac{1}{3}y$

Bài 3 trang 14 Toán lớp 7: Cho m và n là hai đại lượng tỉ lệ thuận với nhau. Hãy viết công thức tính m theo n và tìm các giá trị chưa biết trong bảng sau:

n	-2	-1	0	1	2
m	?	?	?	-5	?

Phương pháp giải:

Biểu diễn m theo n.

Thay giá trị của n vào công thức để tìm m tương ứng.

Lời giải:

Ta có : $\frac{n}{m}=\frac{-2}{?}=\frac{-1}{?}=\frac{0}{?}=\frac{1}{-5}=\frac{2}{?}$ $\Rightarrow \frac{n}{m}=\frac{1}{-5}$ $\Rightarrow m=-5n$

Thay $n=-2\Rightarrow m=(-2).(-5)=10$ $\Rightarrow ?=10$

Thay $n=-1\Rightarrow m=(-1).(-5)\Rightarrow ?=5$

Thay $n=0\Rightarrow m=0.(-5)\Rightarrow ?=0$ nhưng ? là mẫu số nên $?\ne 0$ $\Rightarrow ?\in \mathrm{\varnothing }$

Thay $n=2\Rightarrow m=2.(-5)\Rightarrow ?=-10$

Bài 4 trang 14 Toán lớp 7: Cho biết hai đại lượng S và t tỉ lệ thuận với nhau:

a) Tính các giá trị chưa biết trong bảng trên

b) Viết công thức tính t theo S

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của đại lượng tỉ lệ thuận:$\frac{S_1}{t_1}=\frac{S_2}{t_2}=\frac{S_3}{t_3}=...$

Lời giải:

a) Vì S và t là hai đại lượng tỉ lệ thuận nên $\frac{1}{-3}=\frac{2}{?}=\frac{3}{?}=\frac{4}{?}=\frac{5}{?}$ ( tính chất đại lượng tỉ lệ thuận)

$\Rightarrow t=-3S$

Thay S = 2 ta có : t= -3.2 = -6

Thay S = 3 ta có : t= -3.3 = -9

Thay S = 4 ta có : t= -3.4 = -12

Thay S = 5 ta có : t= -3.5 = -15

b) Từ câu a ta có công thức tính t theo S là : $t=-3S$

Bài 5 trang 14 Toán lớp 7: Trong các trường hợp sau, hãy kiểm tra đại lượng x có tỉ lệ thuận với đại lượng y hay không:

a)

x	2	4	6	-8
y	1,2	2,4	3,6	– 4,8

b)

x	1	2	3	4	5
y	3	6	9	12	25

Phương pháp giải:

Kiểm tra các tỉ lệ x và y tương ứng.

+ Nếu các tỉ lệ bằng nhau thì 2 đại lượng x và y tỉ lệ thuận.

+ Nếu có tỉ lệ không bằng nhau thì 2 đại lượng x và y không tỉ lệ thuận.

Lời giải:

a) Ta có : $\frac{2}{1,2}=\frac{4}{2,4}=\frac{6}{3,6}=\frac{-8}{-4,8}$ nên x tỉ lệ thuận với y

b) Ta thấy : $\frac{1}{3}=\frac{2}{6}=\frac{3}{9}=\frac{4}{12}\ne \frac{5}{25}$nên x không tỉ lệ thuận với y 

Giải Toán 7 trang 15 Tập 2

Bài 6 trang 15 Toán lớp 7: Hai chiếc nhẫn bằng kim loại đồng chất có thể tích là $3c{m}^3$ và $2c{m}^3$. Hỏi mỗi chiếc nhẫn nặng bao nhiêu gam, biết rằng hai chiếc nhẫn nặng 96,5 g? (Cho biết khối lượng và thể tích là hai đại lượng ti lệ thuận với nhau)

Phương pháp giải:

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{a+c}{b+d}$

Lời giải:

Gọi trọng lượng chiếc nhẫn $3c{m}^3$ là A (g) và chiếc còn lại là B (g) ( A,B > 0)

Theo đề bài ta có A tỉ lệ thuận với B theo thể tích nên ta có A : B = 3 : 2 $\Rightarrow \frac{A}{B}=\frac{3}{2}\Rightarrow \frac{A}{3}=\frac{B}{2}$

Theo đề bài 2 chiếc nhẫn nặng 96,5g nên A+B =96,5

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có : $\Rightarrow \frac{A}{3}=\frac{B}{2}=\frac{A+B}{5}=\frac{96,5}{5}$

$\Rightarrow 5A=3.96,5\Rightarrow A=57,9$

$\Rightarrow B=96,5-57,9=38,6$

Vậy chiếc nhẫn có thể tích $3c{m}^3$ có khối lượng là 57,9 g và chiếc còn lại có khối lượng là 38,6 g

Bài 7 trang 15 Toán lớp 7: Bốn cuộn dây điện cùng loại có tổng khối lượng là 26 kg.

a) Tính khối lượng từng cuộn, biết cuộn thứ nhất nặng bằng $\frac{1}{2}$ cuộn thứ hai , bằng $\frac{1}{4}$cuộn thứ ba và bằng  $\frac{1}{6}$ cuộn thứ tư.

b) Biết cuộn thứ nhất dài 100m, hãy tính xem một mét dây điện nặng bao nhiêu gam.

Phương pháp giải:

Gọi khối lượng cuộn 1 là x và biểu diễn khối lượng các cuộn còn lại theo x

Lời giải:

a) Gọi khối lượng cuộn thứ nhất là x kg

Vì khối lượng cuộn thứ nhất bằng $\frac{1}{2}$ cuộn thứ 2 nên ta có khối lượng cuộn thứ 2 = 2x kg

Vì khối lượng cuộn thứ nhất bằng $\frac{1}{4}$cuộn thứ 3 nên ta có khối lượng cuộn thứ 3 = 4x kg

Vì khối lượng cuộn thứ nhất bằng  $\frac{1}{6}$ cuộn thứ 4 nên ta có khối lượng cuộn thứ 4 bằng 6x kg

Theo đề bài khối lượng của 4 cuộn là 26kg nên ta có : $x+2x+4x+6x=26$ $\Rightarrow 13x=26$

$\Rightarrow x=2$kg

Vậy khối lượng các cuộn dây lần lượt là : 2kg, 4kg, 8kg, 12kg

b) Theo đề bài ta có cuộn 1 dài 100m và ở câu a ta tính được cuộn 1 nặng 2kg

Nên ta có 1 mét dây điện nặng : $\frac{2}{100}$= $0,02$ kg

Bài 8 trang 15 Toán lớp 7: Một tam giác có độ dài ba cạnh tỉ lệ với 3; 4; 5 và có chu vi là 60 cm. Tính độ dài các cạnh của tam giác đó.

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$

Lời giải:

Gọi 3 cạnh của tam giác lần lượt là a, b, c ( cm) (a,b,c > 0)

Theo đề bài 3 cạnh của tam giác tỉ lệ với 3, 4, 5 nên ta có tỉ số a : b : c = 3 : 4 : 5

Và chu vi tam giác là 60cm nên ta có : a + b + c = 60

$\Rightarrow \frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{5}=\frac{a+b+c}{12}=\frac{60}{12}=5$

$\Rightarrow$ a = 15 ; b = 20 ; c = 25

Vậy 3 cạnh của tam giác có độ dài là 15cm, 20cm, 25cm

Bài 9 trang 15 Toán lớp 7: Tiến, Hùng và Mạnh cùng đi câu cá trong dịp hè. Tiến câu được 12 con, Hùng câu được 8 con và Mạnh câu được 10 con. Số tiền bán cá thu được tổng cộng là 180 nghìn đồng. Hỏi nếu đem số tiền trên chia cho các bạn theo tỉ lệ với số cá từng người câu được thì mỗi bạn nhận được bao nhiêu tiền?

Phương pháp giải:

Sử dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau: $\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{a+c+e}{b+d+f}$

Lời giải:

Gọi số tiền 3 bạn Tiến, Hùng, Mạnh câu được lần lượt là T,H,M ( nghìn đồng) (T,H,M > 0)

Theo đề bài 3 bạn bán tổng cộng được 180 nghìn nên ta có :

T + H + M = 180

Đem số tiền chia cho các bạn tỉ lệ với số cá từng người câu được, ta sẽ có : $\frac{T}{12}=\frac{H}{8}=\frac{M}{10}$

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có:

$\frac{T}{12}=\frac{H}{8}=\frac{M}{10}=\frac{T+H+M}{12+8+10}=\frac{180}{30}=6$

$\Rightarrow T=6.12=72;H=6.8=48;M=6.10=60$

Vậy số tiền Tiến, Hùng, Mạnh bán được lần lượt là : 72 nghìn, 48 nghìn và 60 nghìn đồng.

Xem thêm các bài giải SGK Toán lớp 7 Chân trời sáng tạo hay, chi tiết:

Bài 1: Tỉ lệ thức – Dãy tỉ số bằng nhau

Bài 3: Đại lượng tỉ lệ nghịch

Bài tập cuối chương 6

Bài 1: Biểu thức số và biểu thức đại số

====== ****&**** =====