Lý thuyết Luỹ thừa của một số hữu tỉ (Chân trời sáng tạo 2023) hay, chi tiết | Toán lớp 7

Lý thuyết Toán lớp 7 Bài 3: Luỹ thừa của một số hữu tỉ

Video giải Toán 7 Bài 3: Lũy thừa của một số hữu tỉ – Chân trời sáng tạo

A. Lý thuyết Luỹ thừa của một số hữu tỉ

1. Luỹ thừa với số mũ tự nhiên

– Luỹ thừa bậc n của một số hữu tỉ x, kí hiệu xⁿ , là tích của n thừa số x.

xⁿ =  (x ∈ ℚ, n ∈ ℕ, n >1).

– Ta đọc xⁿ là “x mũ n” hoặc “x luỹ thừa n” hoặc “luỹ thừa bậc n của x”.

– Số x được gọi là cơ số, n gọi là số mũ.

– Quy ước:

• x¹ = x;

• x⁰ = 1 (x ≠ 0).

Ví dụ: Viết các luỹ thừa sau dưới dạng tích các số:

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2;$

b) (0,8)⁴.

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{-3}{4}\right)}^2$ = $\left(\frac{-3}{4}\right).\left(\frac{-3}{4}\right);$                        

b) (0,8)⁴ = 0,8 . 0,8 . 0,8 . 0,8.

– Chú ý:

Khi viết số hữu tỉ x dưới dạng $\frac{a}{b}$ (a, b ∈ ℤ, b ≠ 0) ta có:

 ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}.\mathrm{\dots }.\frac{a}{b}⏟nthuaso=\stackrel{nthuaso}{\overbrace{\frac{a.a.\mathrm{\dots }.a}{b.b.\mathrm{\dots }.b}}}⏟nthuaso=\frac{a^n}{b^n}$

Vậy ${\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}.$

Ví dụ: Tính:

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3$ ;

b) (−0,125)².

Hướng dẫn giải

a) ${\left(\frac{1}{4}\right)}^3=\frac{1^3}{4^3}=\frac{1}{64}$ ;                            

b) ${\left(-0,125\right)}^2={\left(\frac{-1}{8}\right)}^2=\frac{{(-1)}^2}{8^2}=\frac{1}{64}$ .

2. Tích và thương của hai luỹ thừa cùng cơ số

– Khi nhân hai luỹ thừa cùng cơ số, ta giữ nguyên cơ số và cộng hai số mũ.

x^m . xⁿ = x^m+n

– Khi chia hai luỹ thừa cùng cơ số khác 0, ta giữ nguyên cơ số và lấy số mũ của luỹ thừa bị chia trừ đi số mũ của luỹ thừa chia.

x^m : xⁿ = x^{m – n}  (x ¹ 0, m ³ n)

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³;         

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4.$

Hướng dẫn giải

a) (−4,1)⁵ : (−4,1)³ = (−4,1)^{5 – 3} = (−4,1)² ;

b) ${\left(\frac{3}{5}\right)}^3.{\left(\frac{3}{5}\right)}^4={\left(\frac{3}{5}\right)}^{3+4}={\left(\frac{3}{5}\right)}^7$ .

3. Luỹ thừa của luỹ thừa

– Khi tính luỹ thừa của một luỹ thừa, ta giữ nguyên cơ số và nhân hai số mũ.

(x^m )ⁿ = x^m.n

Ví dụ: Viết các biểu thức sau dưới dạng luỹ thừa của một số hữu tỉ:

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3;$

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4.$

Hướng dẫn giải

a) ${\left[{\left(-\frac{1}{5}\right)}^2\right]}^3={\left(-\frac{1}{5}\right)}^{2.3}={\left(-\frac{1}{5}\right)}^6$ ;

b) ${\left[{\left(0,9\right)}^2\right]}^4={\left(0,9\right)}^{2.4}={\left(0,9\right)}^8$ .

B. Bài tập tự luyện

1. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim bằng khoảng 3,82.10⁷ km. Khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh bằng khoảng 5,88.10⁸ km. Chọn khẳng định đúng.

A. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.10⁷ km;

B. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.10⁷ km;

C. Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh và gần hơn khoảng 54,98.10⁸ km;

D. Mộc Tinh gần Trái Đất hơn Sao Kim và gần hơn khoảng 54,98.10⁶ km.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có 5,88.10⁸ = 58,8.10⁷.

Vì 3,82 < 58,8 nên 3,82.10⁷ < 58,8.10⁷.

Do đó khoảng cách từ Trái Đất đến Sao Kim gần hơn khoảng cách từ Trái Đất đến Mộc Tinh, tức là Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh.

Ta có: 58,8.10⁷ – 3,82.10⁷ = (58,8 – 3,82). 10⁷ = 54,98. 10⁷.

Do đó Sao Kim gần Trái Đất hơn Mộc Tinh khoảng 54,98.10⁷ km.

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 2. Sản lượng gạo năm 2008 của Việt Nam bằng khoảng 3,6.10⁷ tấn. Biết sản lượng của Việt Nam ít hơn sản lượng của Indonesia khoảng 2,1.10⁷ tấn. Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

A. 0,57.10⁶ tấn;

B. 5,7.10⁸ tấn;

C. 57.10⁷ tấn;

D. 5,7.10⁷ tấn.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng:

3,6.10⁷ + 2,1.10⁷ = (3,6 + 2,1).10⁷ = 5,7.10⁷ (tấn).

Vậy sản lượng gạo năm 2008 của Indonesia bằng khoảng 5,7.10⁷ tấn.

Ta chọn đáp án D.

Câu 3. Rút gọn biểu thức A = $\frac{2^{10}{.3}^{10}-2^{10}{.3}^9}{2^9{.3}^{10}}$  ta được kết quả:

A. A = $\frac{-5}{4}$;

B. A = $\frac{3}{4}$;

C. A = $\frac{4}{3}$;

D. A = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có : A = $\frac{2^{10}{.3}^{10}-2^{10}{.3}^9}{2^9{.3}^{10}}$

$=\frac{2^{10}{.3}^9.(3-1)}{2^9{.3}^{10}}$$=\frac{2^9{\mathrm{.2.3}}^9.2}{2^9{.3}^9.3}=\frac{4}{3}$.

Vậy A = $\frac{4}{3}.$

Ta chọn phương án C.

2. Bài tập tự luận

Bài 1. Viết các số sau dưới dạng luỹ thừa số mũ lớn hơn 1: $0,36;\frac{1}{9};\frac{-27}{216};\frac{144}{225}$ .

Hướng dẫn giải

Ta có:

• 0,36 = 0,6 . 0,6 = (0,6)²;

• $\frac{1}{9}=\frac{1}{3}.\frac{1}{3}={\left(\frac{1}{3}\right)}^2$ ;

• $\frac{-27}{216}=\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}.\frac{-3}{6}={\left(\frac{-3}{6}\right)}^3$ ;

• $\frac{144}{225}=\frac{12}{15}.\frac{12}{15}={\left(\frac{12}{15}\right)}^2$ .

Bài 2. Tìm x:

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9;$

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4};$

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.$      

Hướng dẫn giải

a) $x.{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^9:{\left(\frac{-2}{5}\right)}^7$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^{9-7}$

$x={\left(\frac{-2}{5}\right)}^2$

$x=\frac{{\left(-2\right)}^2}{5^2}$

$x=\frac{4}{25}$

Vậy $x=\frac{4}{25}$ .

b) $x:{\left(\frac{3}{4}\right)}^2=\frac{3}{4}$

$x=\frac{3}{4}.{\left(\frac{3}{4}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x={\left(\frac{3}{4}\right)}^{1+2}\\ x={\left(\frac{3}{4}\right)}^3\\ x=\frac{3^3}{4^3}\\ x=\frac{27}{64}\end{array}$

Vậy $x=\frac{27}{64}$.

c) $x:{\left(0,5\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2$

$\begin{array}{l}x:{\left(\frac{1}{2}\right)}^3={\left(\frac{1}{2}\right)}^2\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^2.{\left(\frac{1}{2}\right)}^3\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+3}\\ x={\left(\frac{1}{2}\right)}^5\\ x=\frac{1^5}{2^5}\\ x=\frac{1}{32}\end{array}$

Vậy $x=\frac{1}{32}$ .

Bài 3. Tính:

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3;$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2;$

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2.$

Hướng dẫn giải

a) $\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^4.{\left(\frac{2}{3}\right)}^5\right]:{\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^2\right]}^3$

$\begin{array}{l}=\left[{\left(\frac{2}{3}\right)}^{4+5}\right]:{\left(\frac{2}{3}\right)}^{2.3}\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^9:{\left(\frac{2}{3}\right)}^6\\ ={\left(\frac{2}{3}\right)}^{9-6}={\left(\frac{2}{3}\right)}^3\end{array}$

$=\frac{2^3}{3^3}=\frac{8}{27}$

b) $3-{\left(-\frac{6}{7}\right)}^0+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2:2$  

=  $3-1+{\left(\frac{1}{2}\right)}^2.\frac{1}{2}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^{2+1}$

=  $2+{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$

= $2+\frac{1^3}{2^3}$

= $2+\frac{1}{8}$

= $\frac{16}{8}+\frac{1}{8}=\frac{17}{8}$ ;

c) $\left(1+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}^2$

= $\left(\frac{1}{1}+\frac{2}{3}-\frac{1}{4}\right).{\left(\frac{16}{20}-\frac{15}{20}\right)}^2$

= $\left(\frac{12}{12}+\frac{8}{12}-\frac{3}{12}\right).{\left(\frac{1}{20}\right)}^2$

=  $\frac{12+8-3}{12}.\frac{1^2}{{20}^2}$

=  $\frac{17}{12}.\frac{1}{400}$

= $\frac{17.1}{12.400}=\frac{17}{4800}$ .

Bài 4. Diện tích của các đại dương được cho trong bảng sau:

Đại dương	Diện tích (km2)
Thái Bình Dương	16,525.107
Bắc Băng Dương	14,09.106
Nam Băng Dương	219,6.105
Đại Tây Dương	106,46.106
Ấn Độ Dương	75.106

Đại dương nào có diện tích nhỏ nhất?

Hướng dẫn giải:

Ta có:

+) 16,525.10⁷ = 165,25.10⁶.

+) 219,6.10⁵ = 21,96.10⁶.

Vì 14,09 < 21,96 < 75 < 106,46 < 165,25.

Suy ra 14,09.10⁶ < 21,96.10⁶ < 75.10⁶ < 106,46.10⁶ < 165,25.10⁶.

Khi sắp xếp tên các đại dương theo độ lớn của diện tích từ nhỏ đến lớn, ta được: Bắc Băng Dương, Nam Băng Dương, Ấn Độ Dương, Đại Tây Dương, Thái Bình Dương.

Vậy Bắc Băng Dương có diện tích nhỏ nhất.

====== ****&**** =====