Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d và d’ lần lượt có phương trình là 3x−2y=0  và 3x−2y+1=0 . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng d thành d’?

Câu hỏi:

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng song song d và d’ lần lượt có phương trình là $3x-2y=0$  và $3x-2y+1=0$ . Phép tịnh tiến theo vectơ nào sau đây biến đường thẳng d thành d’?

A. $\overrightarrow{v}=\left(1;-2\right)$

B. $\overrightarrow{v}=\left(-1;-2\right)$

C. $\overrightarrow{v}=\left(-1;-1\right)$

Đáp án chính xác

D. $\overrightarrow{v}=\left(1;-1\right)$

Trả lời:

Gọi $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$ là vectơ tịnh tiến biến d thành d’. Khi đó $M\left(x;y\right)\in d$ biến thành điểm $M‘\left(x‘;y‘\right)\in d‘$
Áp dụng công thức $\left\{\begin{array}{l}x‘=x+a\\ y‘=y+b\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x=x‘-a\\ y=y‘-b\end{array}\right.$
Thay vào phương trình d ta có $3\left(x‘-a\right)-2\left(y‘-b\right)=0\iff 3x‘-2y‘-3a+2b=0$
Để biến d thành d’ thì $-3a+2b=1$
Chọn $a=-1;b=-1$ hay $\overrightarrow{v}=\left(-1;-1\right)$ thỏa mãn

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v→=−2;3 . Hãy tìm ảnh của các điểm A1;−1,B4;3 qua phép tịnh tiến theo vectơ v→ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{v}=\left(-2;3\right)$ . Hãy tìm ảnh của các điểm $A\left(1;-1\right),B\left(4;3\right)$ qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$ .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến   $T_{\overrightarrow{v}}$là$\left\{\begin{array}{l}x‘=x-2\\ y‘=y+3\end{array}\right.$
   Ta có điểm$A\left(1;-1\right)$ .
   $\begin{array}{l}A‘\left(x‘;y‘\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(A\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x‘=1+\left(-2\right)\\ y‘=-1+3\end{array}\right.\\ \iff \left\{\begin{array}{l}x‘=-1\\ y‘=2\end{array}\right.\Rightarrow A‘\left(-1;2\right)\end{array}$

   Tương tự ta có ảnh của B là điểm $B‘\left(2;6\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho v→=1;−3  và đường thẳng d có phương trình 2x−3y+5=0 . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho $\overrightarrow{v}=\left(1;-3\right)$  và đường thẳng d có phương trình $2x-3y+5=0$ . Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Cách 1: Sử dụng biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến.
   Lấy điểm  tùy ý thuộc d, ta có: $2x-3y+5=0\left(*\right)$
   Gọi  $M‘\left(x‘;y‘\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x‘=x+1\\ y‘=y-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x‘-1\\ y=y‘+3\end{array}\right.$
   Thay vào (*) ta được phương trình: $2\left(x‘-1\right)-3\left(y‘+3\right)+5=0\iff 2x‘-3y‘-6=0$
   Vậy ảnh của d là đường thẳng $d‘:2x-3y-6=0$ .
   Cách 2: Sử dụng tính chất của phép tịnh tiến
   Do $d‘=T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)$  nên d’ song song hoặc trùng với d, vì vậy phương trình đường thẳng d’ có dạng $2x-3y+c=0\left(**\right)$
   Lấy điểm $M\left(-1;1\right)\in d$ . Khi đó $M‘=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)=\left(-1+1;1-3\right)=\left(0;-2\right)$
   Do$M‘\in d‘$  nên $2.0-3.\left(-2\right)+c=0\iff c=-6$
   Vậy ảnh của d là đường thẳng $d‘:2x-3y-6=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C)  có phương trình x2+y2+2x−4y−4=0 . Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ v→=2;−3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C)  có phương trình $x^2+y^2+2x-4y-4=0$ . Tìm ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}=\left(2;-3\right)$ .

   Trả lời:

   Sử dụng biểu thức tọa độ.
   Lấy điểm $M\left(x;y\right)$  tùy ý thuộc đường tròn (C) , ta có: $x^2+y^2+2x-4y-4=0\left(*\right)$
   Gọi $M‘\left(x‘;y‘\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x‘=x+2\\ y‘=y-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x‘-2\\ y=y‘+3\end{array}\right.$
   Thay vào phương trình (*), ta được: $\begin{array}{l}{\left(x‘-2\right)}^2+{\left(y‘+3\right)}^2+2\left(x‘-2\right)-4\left(y‘+3\right)-4=0\\ \iff x{‘}^2+y{‘}^2-2x‘+2y‘-7=0\end{array}$
   Vậy ảnh của (C)  là đường tròn $\left(C‘\right):x^2+y^2-2x+2y-7=0$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d:3x+y−9=0 . Tìm phép tịnh tiến theo vectơ v→  có giá song song với Oy biến d thành d’ đi qua điểm A1;1 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng $d:3x+y-9=0$ . Tìm phép tịnh tiến theo vectơ $\overrightarrow{v}$  có giá song song với Oy biến d thành d’ đi qua điểm $A\left(1;1\right)$ .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
    $\overrightarrow{v}$có giá song song với Oy nên $\overrightarrow{v}=\left(0;k\right)\left(k\ne 0\right)$
   Lấy $M\left(x;y\right)\in d\Rightarrow 3x+y-9=0\left(*\right)$
   Gọi $M‘\left(x‘;y‘\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}x‘=x\\ y‘=y+k\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=x‘\\ y=y‘-k\end{array}\right.$
   Thay vào (*), ta có $3x‘+y‘-k-9=0$  hay $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d‘:3x+y-k-9=0$
   Mà d’ đi qua $A\left(1;1\right)$  nên $k=-5$
   Vậy $\overrightarrow{v}=\left(0;-5\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d:2x−3y+3=0  và d’:2x−3y−5=0 . Tìm tọa độ  v→có phương vuông góc với d để Tv→d=d’ .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng $d:2x-3y+3=0$  và $d‘:2x-3y-5=0$ . Tìm tọa độ  $\overrightarrow{v}$có phương vuông góc với d để $T_{\overrightarrow{v}}\left(d\right)=d‘$ .

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Đặt $\overrightarrow{v}=\left(a;b\right)$ , lấy điểm $M\left(0;1\right)\in d$  .
   Giả sử $M‘\left(x‘;y‘\right)=T_{\overrightarrow{v}}\left(M\right)$ .
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}x‘=a\\ y‘=1+b\end{array}\right.$  thay vào d’ ta được phương trình $2a-3b=8$ .
   Vectơ pháp tuyến của đường thẳng d là $\overrightarrow{n}=\left(2;-3\right)$
   Suy ra vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=\left(3;2\right)$
   Do  $\overrightarrow{v}\perp \overrightarrow{u}$nên $\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}=0\Rightarrow 3a+2b=0$
   Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2a-3b=8\\ 3a+2b=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{16}{13}\\ b=-\frac{24}{13}\end{array}\right.$
   Vậy $\overrightarrow{v}=\left(\frac{16}{13};-\frac{24}{13}\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====