TínhS=C20110+22C20112+…+22010C20112010

Câu hỏi:

Tính$S=C_{2011}^0+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{\dots }+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}$

A. $\frac{3^{2011}+1}{2}$

B. $\frac{3^{2012}-1}{2}$

C. $3^{2011} – 1$

D. $\frac{3^{2011}-1}{2}$

Đáp án chính xác

Trả lời:

* Xét khai triển:${(1+x)}^{2011}=C_{2011}^0+x{C}_{2011}^1+x^2{C}_{2011}^2+\mathrm{\dots }+x^{2010}{C}_{2011}^{2010}+x^{2011}{C}_{2011}^{2011}$* Cho x= 2  ta có được:$3^{2011}=C_{2011}^0+2.C_{2011}^1+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{\dots }+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}+2^{2011}{C}_{2011}^{2011}$ (1)* Cho x= -2 ta có được:$-1=C_{2011}^0-2.C_{2011}^1+2^2{C}_{2011}^2-\mathrm{\dots }+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}-2^{2011}{C}_{2011}^{2011}$  (2)* Lấy (1) + (2) ta có:$2\left(C_{2011}^0+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{\dots }+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}\right)=3^{2011}-1$Suy ra:$S=C_{2011}^0+2^2{C}_{2011}^2+\mathrm{\dots }+2^{2010}{C}_{2011}^{2010}=\frac{3^{2011}-1}{2}$. Chọn đáp án D

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong khai triển nhị thức a+2n+6,n∈ℕ. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong khai triển nhị thức ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$. Có tất cả 17 số hạng. Vậy n bằng:

   A. 17

   B. 11

   C. 10

   Đáp án chính xác

   D. 12

   Trả lời:

   Trong khai triển ${\left(a+2\right)}^{n+6},\left(n\in \mathbb{N}\right)$ có tất cả n+6 +1 = n +7 số hạng.Do đó $n+7=17\iff n=10$. Chọn đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm hệ số của x12 trong khai triển 2x−x210.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm hệ số của $x^{12}$ trong khai triển ${\left(2x-x^2\right)}^{10}.$

   A. $C_{10}^8.$

   B. $C_{10}^2{2}^8.$

   Đáp án chính xác

   C. $C_{10}^2.$

   D. $-C_{10}^2{2}^8.$

   Trả lời:

   Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có$\begin{array}{l}{\left(2x-x^2\right)}^{10}=\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2x\right)}^{10-k}.{\left(-x^2\right)}^k\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10-k+2k}\\ =\sum _{k=0}^{10}{C}_{10}^k.{\left(2\right)}^{10-k}.{(-1)}^k.x^{10+k}.\end{array}$Hệ số của $x^{12}$ ứng với $10+k=12\iff k=2$ Hệ số cần tìm $C_{10}^2{2}^8.$Chọn đáp án B

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm số hạng chứa x3 trong khai triển x+12×9.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng chứa $x^3$ trong khai triển ${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9.$

   A. $-\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$

   B. $\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$

   Đáp án chính xác

   C. $-C_9^3{x}^3.$

   D. $C_9^3{x}^3.$

   Trả lời:

   Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có${\left(x+\frac{1}{2x}\right)}^9=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.x^{9-k}.{\left(\frac{1}{2x}\right)}^k=\sum _{k=0}^9{C}_9^k.{\left(\frac{1}{2}\right)}^k.x^{9-2k}.$Hệ số của $x^3$ ứng với $9-2k=3\iff k=3$ Vậy số hạng cần tìm $\frac{1}{8}{C}_9^3{x}^3.$ Chọn đáp án B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển x3+xy21.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số hạng đứng giữa trong khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}.$

   A. $C_{21}^{10}{x}^{40}{y}^{10}.$

   B. $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}.$

   C. $C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}.$

   D. $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}; C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}.$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có${\left(x^3+xy\right)}^{21}=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.{\left(x^3\right)}^{21-k}.{\left(xy\right)}^k=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-3k}.x^k.y^k=\sum _{k=0}^{21}{C}_{21}^k.x^{63-2k}.y^k.$Suy ra khai triển ${\left(x^3+xy\right)}^{21}$ có 22 số hạng nên có hai số hạng đứng giữa là số hạng thứ 11 (ứng với k= 10) và số hạng thứ 12 (ứng với k =11).Vậy hai số hạng đứng giữa cần tìm là $C_{21}^{10}{x}^{43}{y}^{10}; C_{21}^{11}{x}^{41}{y}^{11}$.Chọn đáp án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm hệ số của x5 trong khai triển Px=x1−2×5+x21+3×10.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm hệ số của $x^5$ trong khai triển $P\left(x\right)=x{\left(1-2x\right)}^5+x^2{\left(1+3x\right)}^{10}.$

   A. 80

   B. 3240

   C. 3320

   Đáp án chính xác

   D. 259200

   Trả lời:

   * Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có
   $x{\left(1-2x\right)}^5=x.\sum _{k=0}^5{C}_5^k.1^{5– k}{\left(-2x\right)}^k=\sum _{k=0}^5{C}_5^k.{\left(-2\right)}^k.x^{k+\hspace{0.17em}1}.$
   Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $k+ 1=5\iff k=4$.
   * Tương tự, ta có $x^2{\left(1+3x\right)}^{10}=x^2.\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l.1^{10– l}.{\left(3x\right)}^l=\sum _{l=0}^{10}{C}_{10}^l{.3}^l.x^{l+\hspace{0.17em}2}$.
   Suy ra, số hạng chứa $x^5$ tương ứng với $l+\hspace{0.17em}2=5\iff l=3$.
   Vậy hệ số của $x^5$ cần tìm P(x)  là $C_5^4.{\left(-2\right)}^4+C_{10}^3{.3}^3=3320$.
   Chọn đáp án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====