Tính giới hạn sau: lim−1n.cosnn2+1.  

Câu hỏi:

Tính giới hạn sau: $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}.$  

Trả lời:

Ÿ Nếu ta nhập $\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}$ , sau đó CALC như trên máy sẽ báo: MATH ERROR.
Hướng dẫn giải
Vận dụng định lí 1 nếu $\left|u_n\right|\le v_n$  với mọi n và $\lim v_n=0$  thì  $\lim u_n=0.$
Ta có đánh giá sau:$\left|\frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}\right|<\left|\frac{\cos n}{n^2+1}\right|<\frac{1}{n^2+1}$ , ta chỉ cần ghi $\frac{1}{n^2+1}$vào máy tính là sẽ tính được.
Cách bấm máy:
Ÿ Nhập vào máy tính biểu thức sau:
    

    
Ÿ Sau đó bấm CALC.
        

Ÿ Nhập:$x=9999999999$ , sau đó bấm “=”, ta được kết quả:
        

Kết quả: ${1.10}^{-20}$ là một giá trị rất rất nhỏ gần bằng 0. Vậy  $\lim \frac{{\left(-1\right)}^n.\cos n}{n^2+1}=0.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0. a, un=−1n3n+2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$  sau đây có giới hạn là 0.
   a, $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{3n+2}.$

   Trả lời:

   a) Với mỗi số dương  tùy ý cho trước, ta có
    $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{3n+2}\right|=\frac{1}{3n+2}<\frac{1}{3n}<\epsilon$
    $\iff n>\frac{1}{3}\left(\frac{1}{\epsilon }-2\right).$
   Đặt $n_0=1+\left[\frac{1}{3\epsilon }\right]$  thì $n_0\in {\mathbb{N}}^{*}$và  $\left|u_n\right|<\epsilon ,\forall n\ge n_0.$
   Vậy  $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh các dãy số un  sau đây có giới hạn là 0. b, un=sin4nn+3.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$  sau đây có giới hạn là 0.
   b, $u_n=\frac{\sin 4n}{n+3}.$

   Trả lời:

   b) Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$thì
    $\left|\sin 4n\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{\sin 4n}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n+3}\right|\le \left|\frac{1}{n}\right|=\frac{1}{n}.$
   Áp dụng cho định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước  thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$” ta được  $\lim \frac{1}{n}=0.$
   Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. un=1+sinn44n+5.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$ sau đây có giới hạn là 0.
   $u_n=\frac{1+\sin n^4}{4n+5}.$

   Trả lời:

   Ta có $\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$  thì $\left|\sin n^4\right|\le 1\Rightarrow \left|u_n\right|=\left|\frac{1+\sin n^4}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n+5}\right|\le \left|\frac{2}{4n}\right|=\frac{1}{2n}$  .
   Áp dụng định lí “Nếu k là một số thực dương cho trước thì $\lim \frac{1}{n^k}=0$ ” ta được $\lim \frac{1}{n}=0.$Từ đó suy ra  $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh các dãy số un sau đây có giới hạn là 0. un=−1n2n+1−15n−1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh các dãy số $\left(u_n\right)$sau đây có giới hạn là 0.
   $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n-1}}.$

   Trả lời:

   Ta có  $\left|u_n\right|=\left|\frac{{\left(-1\right)}^n}{2^{n+1}}-\frac{1}{5^{n+1}}\right|\le \frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{5^{n+1}}<\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}=\frac{1}{2^n},\forall n\in \mathbb{N}.$
   Vì  $\lim \frac{1}{2^n}=\lim {\left(\frac{1}{2}\right)}^n=0.$
   Từ đó suy ra $\lim u_n=0.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng: lim1n+1=0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng: $\lim \frac{1}{n+1}=0.$

   Trả lời:

   Ta có $0<\left|\frac{1}{n+1}\right|<\frac{1}{n}$ và  $\lim \frac{1}{n}=0.$
   Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====