Giá trị của m để bất phương trình  3sin2x+cos2xsin2x+4cos2x+1≤m+1là

Câu hỏi:

Giá trị của m để bất phương trình  $\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1}\le m+1$là

A. $m\ge \frac{3\sqrt{5}}{4}$ .

B. $m\ge \frac{3\sqrt{5}+9}{4}$

C.$m\ge \frac{3\sqrt{5}-9}{2}$ .

D. $m\ge \frac{3\sqrt{5}-9}{4}$  .

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án D
Ta có    $\sin 2x+4{\cos }^{2}x+1=\sin 2x+4\frac{1+\cos 2x}{2}+1=\sin 2x+2\cos 2x+3>0$ $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$

$\frac{3\sin 2x+\cos 2x}{\sin 2x+2\cos 2x+3}\le m+1\iff \left(3-y\right)\sin 2x+\left(1-2y\right)\cos 2x=3y$
$\iff 9y^2={\left[\left(3-y\right)\sin 2x+\left(1-2y\right)\cos 2x\right]}^2$
Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có
${\left(3-y\right)}^2+{\left(1-2y\right)}^2\ge 9y^2\iff 2y^2+5y-5\le 0\iff \frac{-5-3\sqrt{5}}{4}\le y\le \frac{-5+3\sqrt{5}}{4}$.
Vậy $\max y=\frac{-5+3\sqrt{5}}{4}\Rightarrow \frac{-5+3\sqrt{5}}{4}\le m+1\iff m\ge \frac{3\sqrt{5}-9}{4}$ .

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin6x+cos6x .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x$ .

   Trả lời:

   Ta có $y={\sin }^{6}x+{\cos }^{6}x=1-\frac{\text{3}}{\text{4}}{\sin }^{2}2x$ .
   Do $0\le {\sin }^{2}2x\le 1$  nên $-\frac{\text{3}}{\text{4}}.0\ge -\frac{\text{3}}{\text{4}}{\sin }^{2}2x\ge -\frac{\text{3}}{\text{4}}$
   $1\ge 1-\frac{\text{3}}{\text{4}}{\sin }^{2}2x\ge 1-\frac{\text{3}}{\text{4}}\iff 1\ge y\ge \frac{1}{4}$.
   Vậy  $\min y=\frac{1}{4}\text{ khi }{\sin }^{2}2x=1\iff \cos 2x=0\iff x=\frac{\pi }{4}+\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.
   $\max y=1\text{ khi }{\sin }^{2}2x=0\iff \sin 2x=0\iff x=\frac{k\pi }{2},k\in \mathbb{Z}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y=tan2x−tanx+2020 trên đoạn −π4;π4 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\tan }^{2}x-\tan x+2020$
   trên đoạn $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$ .

   Trả lời:

   Ta có $y={\tan }^{2}x-\tan x+2020={\left(\tan x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8079}{4}$ .
   Hàm số $\tan x$  đồng biến và xác định trên khoảng $\left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$
   Mà $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]\subset \left(-\frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}\right)$  nên hàm số đồng biến và xác định trên $\left[-\frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}\right]$  .
   Do đó $\tan \left(-\frac{\pi }{4}\right)\le \tan x\le \tan \frac{\pi }{4}\iff -1\le \tan x\le 1$

   $\Rightarrow -1-\frac{1}{2}\le \tan x-\frac{1}{2}\le 1-\frac{1}{2}\iff -\frac{3}{2}\le \tan x-\frac{1}{2}\le \frac{1}{2}\Rightarrow 0\le {\left(\tan x-\frac{1}{2}\right)}^2\le \frac{9}{4}$.
   $\iff \frac{8079}{4}\le {\left(\tan x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{8079}{4}\le \frac{9}{4}+\frac{8079}{4}\iff \frac{8079}{4}\le y\le 2022$
   Vậy $\min y=\frac{8079}{4}\text{khi }\tan x=\frac{1}{2}\iff x=\arctan \frac{1}{2}$ ;

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=7−2cosx+π4  lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=7-2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$  lần lượt là

   A. -2 và 7.

   B. -2 và 2.

   C. 5 và 9.

   Đáp án chính xác

   D. 4 và 7.

   Trả lời:

   Đáp án C
   Hàm số $y=7-2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .
   Ta có $-1\le \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1\iff -2\le 2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 2\iff 5\le 7-2\cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 9$ .
   Vậy $\min y=5\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=1\iff x+\frac{\pi }{4}=k2\pi \iff x=\frac{-\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ ;
   $\max y=9\iff \cos \left(x+\frac{\pi }{4}\right)=-1\iff x+\frac{\pi }{4}=-\pi +k2\pi \iff x=\frac{-5\pi }{4}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$
   .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số y=4sinx+3−1  lần lượt là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số $y=4\sqrt{\sin x+3}-1$  lần lượt là

   A. $\sqrt{2}$  và 2.

   B. 2 và 4

   C. $4\sqrt{2}$ và 8.

   D. $4\sqrt{2}-1$  và 7.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án D
   Hàm số $y=4\sqrt{\sin x+3}-1$  có nghĩa $\iff \sin x+3\ge 0\iff \sin x\ge -3\iff \forall x\in ℝ\iff D=ℝ$ .
   Ta có $-1\le \sin x\le 1\iff 2\le \sin x+3\le 4\iff \sqrt{2}\le \sqrt{\sin x+3}\le 2$
   $\iff 4\sqrt{2}\le 4\sqrt{\sin x+3}\le 8\iff 4\sqrt{2}-1\le 4\sqrt{\sin x+3}-1\le 7$.
   Vậy $\min y=4\sqrt{2}-1\iff \sin x=-1\iff x=\frac{-\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ ;
   $\max y=7\iff \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y=sin2x−4sinx−5 là
   
   

   Câu hỏi:
   

   Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y={\sin }^{2}x-4\sin x-5$ là

   A. -20.

   B. -8.

   Đáp án chính xác

   C. 0

   D. 9.

   Trả lời:

   Đáp án B
   Hàm số $y={\sin }^{2}x-4\sin x-5$  có nghĩa $\forall x\in ℝ\iff D=ℝ$
   Ta có $y={\sin }^{2}x-4\sin x-5={\left(\sin x-2\right)}^2-9$ .
    $-1\le \sin x\le 1\iff -3\le \sin x-2\le -1\iff 1\le {\left(\sin x-2\right)}^2\le 9\iff -8\le {\left(\sin x-2\right)}^2-9\le 0$ .
   Vậy $\min y=-8\iff \sin x-2=-1\iff \sin x=1\iff x=\frac{\pi }{2}+k2\pi ,k\in \mathbb{Z}$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====