Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD thì AD ⊥ BC.

Câu hỏi:

Chứng minh rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD thì AD ⊥ BC.

Trả lời:

Vẽ AH ⊥ (BCD) tại H, ta có CD ⊥ AH và vì CD ⊥ AB ta suy ra CD ⊥ BH. Tương tự vì BD ⊥ AC ta suy ra BD ⊥ CHVậy H là trực tâm của tam giác BCD tức là DH ⊥ BCVì AH ⊥ BC nên ta suy ra BC ⊥ ADCách khác: Trước hết ta hãy chứng minh hệ thức: với bốn điểm A, B, C, D bất kì.Thực vậy , ta có:Do đó nếu AB ⊥ CD nghĩa làTừ hệ thức (4) ta suy ra  , do đó AD ⊥ BC.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ⊥ B'D', AB' ⊥ CD' và AD' ⊥ CB'. Khi mặt phẳng (AA'C'C) vuông góc với mặt phẳng (BB'D'D)?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có tất cả các cạnh đều bằng nhau. Chứng minh rằng AC ⊥ B’D’, AB’ ⊥ CD’ và AD’ ⊥ CB’. Khi mặt phẳng (AA’C’C) vuông góc với mặt phẳng (BB’D’D)?

   Trả lời:

   Theo giả thiết các mặt của hình hộp đều là hình thoi.Ta có ABCD là hình thoi nên AC ⊥ BDTheo tính chất của hình hộp: BD // B’D’, do đó AC ⊥ B’D’.Chứng minh tương tự ta được AB’ ⊥ CD’, AD’ ⊥ CB’Hai mặt phẳng (AA’C’C) và (BB’D’D) vuông góc với nhau khi hình hộp ABCD.A’B’C’D’là hình lập phương.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD và AD = BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh MN ⊥ AB và MN ⊥ CD. Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD có ba cặp cạnh đối diện bằng nhau là AB = CD, AC = BD và AD = BC. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh MN ⊥ AB và MN ⊥ CD. Mặt phẳng (CDM) có vuông góc với mặt phẳng (ABN) không? Vì sao?

   Trả lời:

   Hai tam giác ABC và BAD bằng nhau ( c.c.c) nên có các đường trung tuyến tương ứng bằng nhau: CM = DMTa có tam giác MCD cân tại M, do đó MN ⊥ CD vì N là trung điểm của CD. Tương tự ta chứng minh được NA = NB và suy ra MN ⊥ AB. Mặt phẳng (CDM) không vuông góc với mặt phẳng (ABN) vì (CDM) chứa MN vuông góc với chỉ một đường thẳng AB thuộc (ABN) mà thôi.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC vuông tại B. Một đoạn thẳng AD vuông góc với mặt phẳng (ABC). Chứng minh rằng mặt phẳng (ABD) vuông góc với mặt phẳng (BCD). Từ điểm A trong mặt phẳng (ABD) ta vẽ AH vuông góc với BD, chứng minh rằng AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

   Trả lời:

    Vì AD ⊥ (ABC) nên AD ⊥ BC Ngoài ra BC ⊥ AB nên ta có BC ⊥ (ABD) Vì mặt phẳng (BCD) chứa BC mà BC ⊥ (ABD) nên ta suy ra mặt phẳng (BCD) vuông góc với mặt phẳng (ABD). Hai mặt phẳng (BCD) và (ABD) vuông góc với nhau và có giao tuyến là BD. Đường thẳng AH thuộc mặt phẳng (ABD) và vuông góc với giao tuyến BD nên AH vuông góc với mặt phẳng (BCD).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD);b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại S.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD cạnh a và có SA = SB = SC = a. Chứng minh:a) Mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD);b) Tam giác SBD là tam giác vuông tại S.

   Trả lời:

   a) Gọi O là tâm của hình thoi, ta có AC ⊥ BD tại OVì SA = SC nên SO ⊥ AC.Do đó AC vuông góc với mặt phẳng (SBD)Ta suy ra mặt phẳng (ABCD) vuông góc với mặt phẳng (SBD).b) Ba tam giác SAC, BAC, DAC bằng nhau ( c.c.c) nên ta suy ra OS = OB = OD. Vậy tam giác SBD vuông tại S.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (A’BD).b) Tính đường chéo AC’ của hình lập phương đã cho.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ cạnh a. a) Chứng minh rằng đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD) và mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (A’BD).b) Tính đường chéo AC’ của hình lập phương đã cho.

   Trả lời:

   a) Ta có AB = AD = AA′ = avà $C\prime B = C\prime D = C\prime A\prime = a\sqrt{2}$Vì hai điểm A và C’ cách đều ba đỉnh của tam giác A’BD nên A và C’ thuộc trục đường tròn ngoại tiếp tam giác BDA’ . Vậy AC′ ⊥ (BDA′). Mặt khác vì mặt phẳng (ACC’A’) chứa đường thẳng AC’ mà AC′ ⊥ (BDA′) nên ta suy ra mặt phẳng (ACC’A’) vuông góc với mặt phẳng (BDA’)b) Ta có ACC’ là tam giác vuông có cạnh $AC = a\sqrt{2}$ và CC’ = a Vậy $AC\prime 2^{} = A{C}^2 + CC\prime 2^{}$ $\Rightarrow AC\prime 2^{} = 2a^2 + a^2 = 3a^2. Vậy AC\prime = a\sqrt{3}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====