Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.a) Tứ giác MNPQ là hình gì?b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD. Qua điểm M nằm trên AC ta dựng một mặt phẳng (α) song song với AB và CD. Mặt phẳng này lần lượt cắt các cạnh BC, BD và AD tại N, P và Q.a) Tứ giác MNPQ là hình gì?b) Gọi O là giao điểm hai đường chéo của tứ giác MNPQ. Tìm tập hợp các điểm O khi M di động trên đoạn AC.

Trả lời:

a) ⇒ (α) ∩ (ABC) = MN và MN // ABTa có N ∈ (BCD) và Nên ⇒ (α) ∩ (BCD) = NP và NP // CDTa có P ∈ (ABD)Và  nên ⇒ (α) ∩ (ABD) = PQ và PQ // AB nên ⇒ (α) ∩ (ACD) = MQ và MQ // CDDo đó MN // PQ và NP // MQ, Vậy tứ giác MNPQ là hình bình hành.b) Ta có: MP ∩ NQ = O. Gọi I là trung điểm của CD.Trong tam giác ACD có : MQ // CD ⇒ AI cắt MQ tại trung điểm E của MQ.Trong tam giác ACD có : NP // CD ⇒ BI cắt NP tại trung điểm F của NP.Vì MNPQ là hình bình hành nên ta cóEF // MN ⇒ EF // ABTrong ΔABI ta có EF // AB suy ra : IO cắt AB tại trung điểm J⇒ I, O, J thẳng hàng⇒ O ∈ IJ cố định. Vì M di động trên đoạn AC nên Ochạy trong đoạn IJ . Vậy tập hợp các điểm O là đoạn IJ.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tứ diện ABCD. Gọi G1 và G2 lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng G1G2 song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Gọi $G_1$ và $G_2$ lần lượt là trọng tâm của tam giác ACD và BCD. Chứng minh rằng $G_1{G}_2$ song song với các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

   Trả lời:

   Gọi I là trung điểm của CD.Vì $G_1$ là trọng tâm của tam giác ACD nên $G_1 \in AI$Vì $G_2$ là trọng tâm của tam giác BCD nên $G_2 \in BI$Ta có :$AB \subset \left(ABC\right) \Rightarrow G_1{G}_2 // \left(ABC\right)$Và $AB \subset \left(ABD\right) \Rightarrow G_1{G}_2 // \left(ABD\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt .Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABDvà ABE. Chứng minh rằng .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trong hai mặt phẳng phân biệt .Gọi O là giao điểm của AC và BD, O’ là giao điểm của AE và BF.a) Chứng minh rằng OO’ song song với hai mặt phẳng (ADF) và (BCE)b) Gọi M và N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABDvà ABE. Chứng minh rằng .

   Trả lời:

   a) Ta có : OO′ // DF ( đường trung bình của tam giác BDF).Vì DF ⊂ (ADF) ⇒ OO′ // (ADF).Tương tự OO’ // EC (đường trung bình của tam giác AEC).Vì EC ⊂ (BCE) nên OO′ // (BCE).b) Gọi I là trung điểm AB;Vì M là trọng tâm của tam giác ABD nên M ∈ DIVì N là trọng tâm của tam giác ABE nên N ∈ EITa có :MàNên CD // EF và CD = EF, suy ra tứ giác CDFE là hình bình hành.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AMa) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD).c) Chứng minh rằng MG // (SCD).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác SAB và I là trung điểm của AB. Lấy điểm M trong đoạn AD sao cho AD = 3AMa) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).b) Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI tại N. Chứng minh rằng NG // (SCD).c) Chứng minh rằng MG // (SCD).

   Trả lời:

   a) Dễ thấy S là một điểm chung của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).Ta có:⇒ (SAD) ∩ (SBC) = SxVà Sx // AD // BC.b) Ta có: MN // IA // CDMà  (G là trọng tâm của ∆SAB) nên  ⇒ GN // SCSC ⊂ (SCD) ⇒ GN // (SCD)c) Giả sử IM cắt CD tại K ⇒ SK ⊂ (SCD)MN // CD ⇒Ta có:

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.a) Chứng minh rằng OG // (SBC)b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB).c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SC = 3SI/2. Chứng minh rằng SA // (BID).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn là AD và AD = 2BC. Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là trọng tâm của tam giác SCD.a) Chứng minh rằng OG // (SBC)b) Cho M là trung điểm của SD. Chứng minh rằng CM // (SAB).c) Giả sử điểm I nằm trong đoạn SC sao cho SC = 3SI/2. Chứng minh rằng SA // (BID).

   Trả lời:

   a) Gọi H là trung điểm của SCTa có:b) Gọi M’ là trung điểm của SA ⇒ MM′ // AD và MM′ = AD/2. Mặt khác vì BC // AD và BC = AD/2 nên BC // MM′ và BC = MM′.Do đó tứ giác BCMM’ là hình bình hành ⇒ CM // BM′ mà BM′ ⊂ (SAB)⇒ CM // (SAB)c) Ta có: Mặt khác vì OI ⊂ (BID) ⇒ SA // (BID)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Qa) Tứ giác MNPQ là hình gì?b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. M là một điểm di động trên đoạn AB. Một mặt phẳng (α) đi qua M và song song với SA và BC; (α) cắt SB, SC và CD lần lượt tại N, P và Qa) Tứ giác MNPQ là hình gì?b) Gọi I là giao điểm của MN và PQ. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định.

   Trả lời:

   a) Vì M ∈ (SAB)Và  nên (α) ∩ (SAB) = MNvà MN // SAVì N ∈ (SBC)Và  nên (α) ∩ (SBC) = NPvà NP // BC (1) ⇒ (α) ∩ (SCD) = PQQ ∈ CD ⇒ Q ∈ (ABCD)Và  nên (α) ∩ (ABCD) = QMvà QM // BC (2)Từ (1) và (2) suy ra tứ giác MNPQ là hình thang.b) Ta có: ⇒ (SAB) ∩ (SCD) = Sx và Sx // AB // CDMN ∩ PQ = I ⇒ MN ⊂ (SAB) ⇒ I ∈ (SAB), PQ ⊂ (SCD) ⇒ I ∈ (SCD)⇒ I ∈ (SAB) ∩ (SCD) ⇒ I ∈ Sx(SAB) và (SCD) cố định ⇒ Sx cố định ⇒ I thuộc Sx cố định.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====