Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: IJ // CD.

Câu hỏi:

Cho tứ diện ABCD có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng: IJ // CD.

Trả lời:

Gọi K là trung điểm của AB. Vì I là trọng tâm của tam giác ABC nên I ∈ KC và vì J là trọng tâm của tam giác ABD nên J ∈ KD. Từ đó suy ra 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:a) (SAC) và (SBD);b) (SAB) và (SCD);c) (SAD) và (SBC).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình hình hành ABCD. Tìm giao tuyến của các cặp mặt phẳng sau đây:a) (SAC) và (SBD);b) (SAB) và (SCD);c) (SAD) và (SBC).

   Trả lời:

   a)Ta có:Giả sử:⇒ O ∈ (SAC) ∩ (SBD)⇒ (SAC) ∩ (SBD) = SOb) Ta có:Ta lại cóc) Lập luận tương tự câu b) ta có ⇒ (SAD) ∩ (SBC) = Sy và Sy // AD // BC.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AMAB = ANAC . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Trên các cạnh AB và AC lần lượt lấy các điểm M và N sao cho $\frac{AM}{AB} = \frac{AN}{AC}$ . Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (DBC) và (DMN).

   Trả lời:

   Trong tam giác ABC ta có:Hiển nhiên D ∈ (DBC) ∩ (DMN)⇒ (DBC) ∩ (DMN) = Dx ⇒ (DBC) ∩ (DMN) = Dx và DC // BC // MN

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC , M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và IM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Cho I và J tương ứng là trung điểm của BC và AC , M là một điểm tùy ý trên cạnh AD.a) Tìm giao tuyến d của hai mặt phẳng (MIJ) và (ABD)b) Gọi N là giao điểm của BD với giao tuyến d, K là giao điểm của IN và IM. Tìm tập hợp điểm K khi M di động trên đoạn AD (M không là trung điểm của AD).c) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (ABK) và (MIJ).

   Trả lời:

   a)Ta cũng có:⇒ (MIJ) ∩ (ABD) = d = Mt và Mt // AB // IJb) Ta có: Mt // AB ⇒ Mt ∩ BD = NVì K ∈ IN ⇒ K ∈ (BCD)Và K ∈ JM ⇒ K ∈ (ACD)Mặt khác (BCD) ∩ (ACD) = CD do đó K ∈ CD. Do vậy K nằm trên hai nửa đường thẳng Cm và Dn thuộc đường thẳng CD. ( Để ý rằng nếu M là trung điểm của AD thì sẽ không có điểm K.)c) Ta có:Mà

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P, Q, R và S lần lượt trung điểm của AB, CD, BC, AD, AC và BD. Chứng minh rằng tứ giác MNPQ là hình bình hành. Từ đó suy ra ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

   Trả lời:

   Trong tam giác ABC ta có:MP // AC và MP = AC/2.Trong tam giác ACD ta có:QN // AC và QN = AC/2.Từ đó suy ra {MP // QN}⇒ Tứ giác MNPQ là hình bình hành.Do vậy hai đường chéo MN và PQ cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường.Tương tự: PR // QS và PR = QS = AB/2. Do đó tứ giác PQRS là hình bình hành.Suy ra hai đường chéo RS và PQ cắt nhau tại trung điểm O của PQ và OR = OSVậy ba đoạn thẳng MN, PQ và RS cắt nhau tại trung điểm mỗi đoạn.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q.a) Chứng minh MN song song với PQ.b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD với đáy là AD và BC. Biết AD = a, BC = b. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAD và SBC. Mặt phẳng (ADJ) cắt SB, SC lần lượt tại M, N. Mặt phẳng (BCI) cắt SA, SD lần lượt tại P, Q.a) Chứng minh MN song song với PQ.b) Giả sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F. Chứng minh rằng EF song song với MN và PQ. Tính EF theo a và b.

   Trả lời:

   a) Ta có: I ∈ (SAD) ⇒ I ∈ (SAD) ∩ (IBC)VậyVà PQ //AD // BC (1)Tương tự: J ∈ (SBC) ⇒ J ∈ (SBC) ∩ (JAD)VậyTừ (1) và (2) suy ra PQ // MN.b) Ta có:Do đó: EF = (AMND) ∩ (PBCQ)MàTínhEF: CP ∩ EF = K ⇒ EF = EK + KFTừ (∗) suy raTương tự ta tính được KF = 2a/5Vậy: 

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====