Cho Sn=11.2+12.3+13.4+…+1nn+1 với n∈ℕ*. Mệnh đề nào sau đây đúng?

Câu hỏi:

Cho $S_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\frac{1}{3.4}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)} \mathrm{với} \mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $S_n=\frac{n-1}{n}.$

B. $S_n=\frac{n}{n\mathit{+}\mathit{1}}.$

Đáp án chính xác

C. $S_n=\frac{n\mathit{+}1}{n\mathit{+}\mathit{2}}.$

D. $S_n=\frac{n+2}{n+3}.$

Trả lời:

Chọn B
Ta có $S_1=\frac{1}{2},S_2=\frac{2}{3},S_3=\frac{3}{4}\Rightarrow$dự đoán $S_n=\frac{n}{n+1}$
Với n=1 ta được $S_1=\frac{1}{1.2}=\frac{1}{1+1}$ (đúng)
Giả sử mệnh đề đúng khi $n=k\left(k\ge 1\right)\mathit{ }tức\mathit{ }là\mathit{ }\frac{\mathit{1}}{\mathit{1.2}}+\frac{\mathit{1}}{\mathit{2.3}}+\mathrm{\dots }+\frac{\mathit{1}}{\mathit{k}(k\mathrm{+}\mathrm{1})}=\frac{\mathit{k}}{\mathit{k}\mathit{+}\mathit{1}}$
Ta có:
$\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}=\frac{k}{k+1}\begin{array}{l}\iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k}{k+1}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ \iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k^2+2k+1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}\\ \iff \frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{k\left(k+1\right)}+\frac{1}{\left(k+1\right)\left(k+2\right)}=\frac{k+1}{k+2}\end{array}$
Suy ra mệnh đề đúng với n=k+1

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có 2n+1>2n+3        (*)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge 2$, ta luôn có $2^{n+1}>2n+3(*)$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+…+n(3n+1)=nn+12        (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{\dots }+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 , ta có 1.22+2.33+3.44+…+n−1n2=nn2−13n+212      (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ , ta có ${1.2}^2+{2.3}^3+{3.4}^4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)n^2=\frac{n\left(n^2-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11.2.3+12.3.4+…+1nn+1n+2=nn+34n+1n+2     (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2  ta có 1n+1+1n+2+…+1n+n>1324     (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====