Cho n là số nguyên dương thỏa mãn An2=Cn2+Cn1+4n+6 . Hệ số của số hạng chứa x9  của khai triển biểu thức Px=x2+3xn,x≠0  bằng 

Câu hỏi:

Cho n là số nguyên dương thỏa mãn $A_n^2=C_n^2+C_n^1+4n+6$ . Hệ số của số hạng chứa $x^9$  của khai triển biểu thức $P\left(x\right)={\left(x^2+\frac{3}{x}\right)}^n,x\ne 0$  bằng 

A. 18564. 

B. 64152. 

C. 192456. 

Đáp án chính xác

D. 194265.

Trả lời:

Với $n\ge 2$, ta có:
$A_n^2=C_n^2+C_n^1+4n+6\iff n\left(n-1\right)=\frac{n\left(n-1\right)}{2}+n+4n+6$
$\iff n^2-11n-12=0\iff \left[\begin{array}{l}n=-1\\ n=12\end{array}\right.\Rightarrow n=12$
Với n=12 ta có khai triển:  $P\left(x\right)=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k.{\left(x^2\right)}^{12-k}.{\left(\frac{3}{x}\right)}^k=\sum _{k=0}^{12}{C}_{12}^k{.3}^k.x^{24-3k}$
Số hạng chứa $x^9$ ứng với  $24-3k=9\iff k=5$
Vậy hệ số cần tìm là  $3^5{C}_{12}^5=192456$
Đáp án C

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức x2+1×12  ta có hệ số của một số hạng chứa xm  bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho x là số thực dương. Khai triển Niu-tơn của biểu thức ${\left(x^2+\frac{1}{x}\right)}^{12}$  ta có hệ số của một số hạng chứa $x^m$  bằng 495. Tìm tất cả các giá trị m.

   Trả lời:

   Số hạng thứ $k+1$ trong khai triển là
   $C_{12}^k{\left(x^2\right)}^{12-k}.{\left(\frac{1}{x}\right)}^k=C_{12}^k.x^{24-2k}.x^{-k}=C_{12}^k.x^{24-3k}.$
   Hệ số của số hạng $x^m$ là 495 nên $C_{12}^k=495\iff \frac{12!}{k!\left(12-k\right)!}=495\iff \left[\begin{array}{l}k=4\\ k=8.\end{array}\right.$
   Khi đó $m=24-3k$ sẽ có 2 giá trị là $m=0$ và $m=12$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển  1+xn có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là 715 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm số nguyên dương bé nhất n sao cho trong khai triển  ${\left(1+x\right)}^n$ có hai hệ số liên tiếp có tỉ số là $\frac{7}{15}$ .

   Trả lời:

   Ta có ${\left(1+x\right)}^n=C_n^0+C_n^{1}x+\mathrm{\dots }+C_n^k{x}^k+C_n^{k+1}{x}^{k+1}+\mathrm{\dots }+C_n^n{x}^n$.
   $\begin{array}{l}\frac{C_n^k}{C_n^{k+1}}=\frac{7}{15}\iff \frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}.\frac{\left(k+1\right)!\left(n-k-1\right)!}{n!}=\frac{7}{15}\iff \frac{k+1}{n-k}=\frac{7}{15}.\\ \Rightarrow 15\left(k+1\right)=7\left(n-k\right)\iff 7n=15+22k\iff 7n=7\left(3k+2\right)+k+1.\end{array}$
   Vì $k;n\in \mathbb{N}$ nên ta có $k+1⋮7\Rightarrow k_{\min }=6\Rightarrow n_{\min }=21$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của 1+ax1+x4  có chứa số hạng 22×3 .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm tất cả các số a sao cho trong khai triển của $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4$  có chứa số hạng $22x^3$ .

   A. a=5

   B. a=-3

   C. a=3

   Đáp án chính xác

   D. a=2

   Trả lời:

   Ta có $\left(1+ax\right){\left(1+x\right)}^4={\left(1+x\right)}^4+ax.{\left(1+x\right)}^4$.
   Xét khai triển ${\left(x+1\right)}^4=x^4+4x^3+6x^2+4x+1$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ là $4x^3$.
   Xét khai triển $ax{\left(x+1\right)}^4=ax\left(x^4+4x^3+6x^2+4x+1\right)=a{x}^5+4a{x}^4+6a{x}^3+4a{x}^2+ax$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ là $6a{x}^3$.
   Suy ra số hạng chứa $x^3$ trong cả khai triển là $\left(6a+4\right)x^3$.
   Theo đề ra, ta có $6a+4=22\iff a=3$.
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Biết rằng hệ số của xn−2  trong khai triển x−14n  bằng 31. Tìm n.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biết rằng hệ số của $x^{n-2}$  trong khai triển ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n$  bằng 31. Tìm n.

   A. n=32

   Đáp án chính xác

   B. n=30

   C. n = 31 

   D. n=33

   Trả lời:

   Áp dụng công thức nhị thức Niu-tơn, ta có ${\left(x-\frac{1}{4}\right)}^n=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{x}^{n-k}{\left(-\frac{1}{4}\right)}^k$.
   Hệ số của $x^{n-2}$ nên ta có $x^{n-2}=x^{n-k}\iff k=2$.
   Ta có $C_n^2{\left(-\frac{1}{4}\right)}^2=31\iff C_n^2=492\iff n=32$.
   Vậy n=32.
   Đáp án A

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Xét khai triển 1+3xn=a0+a1x+a2x2+…+anxn  với n∈ℕ*,n≥3 . Giả sử a1=27 , khi đó a2  bằng
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét khai triển ${\left(1+3x\right)}^n=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$  với $n\in {\mathbb{N}}^{*},n\ge 3$ . Giả sử $a_1=27$ , khi đó $a_2$  bằng

   A. 1053. 

   B. 243. 

   C. 324. 

   Đáp án chính xác

   D. 351.

   Trả lời:

   Ta có: ${\left(1+3x\right)}^n=\sum _{k=1}^n{C}_n^k{\left(3x\right)}^k=a_0+a_{1}x+a_2{x}^2+\mathrm{\dots }+a_n{x}^n$.
   Theo giả thiết: .$a_1=27\iff C_n^1{3}^1=27\iff C_n^1=9\iff n=9$
   Suy ra $a_2=C_9^2{3}^2=324$.
   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====