Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình lăng trụ đã cho là

Câu hỏi:

Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, gọi M, N theo thứ tự là trọng tâm của các tam giác ABC và A’B’C’. Thiết diện tạo bởi mặt phẳng (AMN) với hình lăng trụ đã cho là

A. hình bình hành

Đáp án chính xác

B. hình tam giác vuông

C. hình thang

D. hình tam giác cân

Trả lời:

Đáp án A

Ta có $N\in A^{‘}{I}^{‘}$ và $M\in AI$ ($A^{‘}{I}^{‘}$ là trung tuyến của $\Delta A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}$ và AI là trung tuyến của $\Delta ABC$)
Do đó mp (AMN) cũng chính là mp (A’I’IA)
Ta có $\left(A{A}^{‘}{I}^{‘}I\right)\cap \left(A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}\right)=A^{‘}{I}^{‘};\left(A{A}^{‘}{I}^{‘}I\right)\cap \left(ABC\right)=AI;$
$\left(A{A}^{‘}{I}^{‘}I\right)\cap \left(BC{C}^{‘}{B}^{‘}\right)=I{I}^{‘}.$
Vậy thiết diện tạo với mp (A’I’IA) và hình lăng trụ  là tứ giác AA’I’I
Mặt khác II’ // CC’ (đường trung bình trong hình bình hành CC’B’B) và CC’ // AA’ (tính chất hình lăng trụ).
Do đó II’ // AA’
II’ = CC’ (đường trung bình trong hình bình hành CC’B’B )
và CC’ = AA’ (tính chất lăng trụ). Do đó II’ = AA’
Vậy tứ giác AA’I’I là hình bình hành.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Tam giác SBD đều. Một mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc cạnh AC (không trùng với A hoặc C). Tìm thiết diện của (P) và hình chóp.

   Trả lời:

   
   Gọi $\left\{O\right\}=AC\cap DB.$
   Do SO nằm trong $\left(SBD\right)$ nên $SO\text{ // }\left(\alpha \right).$
   Mặt phẳng (SAC) chứa SO và có điểm chung với $\left(\alpha \right)$ là I, do đó $\left(SAC\right)\cap \left(\alpha \right)=IK$ với $IK\text{ // }SO$ và $K\in SA.$
   Tương tự $\left(SAB\right)\cap \left(\alpha \right)=KE$ với $KE\text{ // }SB$ và $E\in AB.$
   $\left(SAD\right)\cap \left(\alpha \right)=KF$ với $KF\text{ // }SD$ và $F\in AD.$
   Suy ra thiết diện của (P) với hình chóp S.ABCD là tam giác KEF.
   Ta có $\frac{EF}{BD}=\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AD}=\frac{AK}{AS}=\frac{KE}{SB}=\frac{KF}{SD}$
   $\Rightarrow \Delta SBD$ đồng dạng với $\Delta KEF.$
   Tam giác SBD là tam giác đều nên $\Delta KEF$ cũng là tam giác đều.
   Vậy thiết diện của (P) và hình chóp S.ABCD là tam giác đều.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC’, AB’C’. Chứng minh (IJK) // (BB’C)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACC’, AB’C’. Chứng minh (IJK) // (BB’C)

   Trả lời:

   
   Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm $BC;C{C}^{‘};B^{‘}{C}^{‘}.$
   Do I, J, K lần lượt là trọng tâm tam giác $ABC,AC{C}^{‘}$ nên $\frac{AI}{AM}=\frac{AJ}{AN}=\frac{2}{3}$ nên $IJ\text{ // }MN\Rightarrow IJ\text{ // }\left(BC{C}^{‘}{B}^{‘}\right).$
   Tương tự $IK\text{ // }\left(BC{C}^{‘}{B}^{‘}\right)\Rightarrow \left(IJK\right)\text{ // }\left(BC{C}^{‘}{B}^{‘}\right).$
   Hay $\left(IJK\right)\text{ // }\left(B{B}^{‘}C\right).$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A'B'C' có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A' và có ABA'B'=12. Khi đó tỉ số diện tích SΔABCSΔA'B'C' bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp cụt tam giác ABC.A’B’C’ có hai đáy là hai tam giác vuông tại A và A’ và có $\frac{\mathrm{AB}}{{\mathrm{A}}^{‘}{\mathrm{B}}^{‘}}=\frac{1}{2}.$ Khi đó tỉ số diện tích $\frac{{\mathrm{S}}_{\mathrm{\Delta ABC}}}{{\mathrm{S}}_{{\mathrm{\Delta A}}^{‘}{\mathrm{B}}^{‘}{\mathrm{C}}^{‘}}}$ bằng bao nhiêu?

   Trả lời:

   
   Hai tam giác ABC và A’B’C’ đồng dạng  $\frac{AB}{A^{‘}{B}^{‘}}=\frac{BC}{B^{‘}{C}^{‘}}=\frac{CA}{C^{‘}{A}^{‘}}=\frac{1}{2}$ nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}=\frac{\frac{1}{2}AB.AC.\sin A}{\frac{1}{2}{A}^{‘}{B}^{‘}.A^{‘}{C}^{‘}.\sin A^{‘}}=\frac{1}{4}.$
   Cách khác: Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bằng bình phương tỉ số đồng dạng nên $\frac{S_{\Delta ABC}}{S_{\Delta A^{‘}{B}^{‘}{C}^{‘}}}={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. Gọi M là điểm trên SA sao cho SMSA=23. Một mặt phẳng α đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Tính diện tích tứ giác đó.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 10. Gọi M là điểm trên SA sao cho $\frac{SM}{SA}=\frac{2}{3}.$ Một mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ đi qua M song song với AB và CD, cắt hình chóp theo một tứ giác. Tính diện tích tứ giác đó.

   Trả lời:

   
   Qua M dựng đường thẳng song song AB cắt SB tại N.
   Qua M dựng đường thẳng song song AD cắt SD tại Q.
   Qua N dựng đường thẳng song song BC cắt SC tại P.
   Ta có $\left\{\begin{array}{l}MN\text{ // }AB\Rightarrow MN\text{ // }\left(ABCD\right)\\ NP\text{ // }BC\Rightarrow NP\text{ // }\left(ABCD\right)\end{array}\right.\Rightarrow \left(MNPQ\right)\text{ // }\left(ABCD\right).$
   Ta có tỉ lệ diện tích $\frac{S_{MNPQ}}{S_{ABCD}}={\left(\frac{MN}{AB}\right)}^2={\left(\frac{SM}{SA}\right)}^2=\frac{4}{9}.$
   Lại có $S_{ABCD}=10.10=100\iff S_{MNPQ}=100.\frac{4}{9}=\frac{400}{9}.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB, AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chóp S.ABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, SAD là tam giác đều. Gọi M là một điểm thuộc cạnh AB, AM = x, (P) là mặt phẳng qua M song song với (SAD). Tính diện tích thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (P).

   Trả lời:

   
   Do $\left(P\right)$ đi qua M và song song với $\left(SAD\right)$ nên cắt các mặt của hình chóp bằng các giao tuyến đi qua M và song song với $\left(SAD\right)$. Do ABCD là hình thoi và tam giác SAD đều. Nên thiết diện thu được là hình thang cân MNEF $\left(MN\text{ // }EF;MF=EN\right).$
   Ta có $MN=a,\frac{EF}{BC}=\frac{SF}{SB}=\frac{MA}{AB}=\frac{x}{a}\Rightarrow EF=x;MF=a-x.$
   Đường cao FH của hình thang cân bằng $FH=\sqrt{M{F}^2-{\left(\frac{MN-EF}{2}\right)}^2}=\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a-x\right).$
   Khi đó diện tích hình thang cân là $S=\frac{\sqrt{3}}{4}\left(a^2-x^2\right)$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====