Cho hàm số y=x3 . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng y=3x−2  

Câu hỏi:

Cho hàm số $y=x^3$ . Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng $y=3x-2$
 

Trả lời:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số $y=x^3$  và đường thẳng $y=3x-2$  là
$x^3-3x+2=0\iff \left\{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}\right.$.
Tại $x=1$  ta có $\lim \Delta x\to 0\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^3-{\left(1\right)}^3}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\left({\left(\Delta x\right)}^2+3\Delta x+3\right)=3.$
Hệ số góc $k_1=y^{‘}\left(1\right)=3.$
Tại $x=-2$  ta có $\lim \Delta x\to 0\frac{{\left(-2+\Delta x\right)}^3-{\left(-2\right)}^3}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\left({\left(\Delta x\right)}^2-6\Delta x+12\right)=12.$
Hệ số góc $k_2=y^{‘}\left(-2\right)=12.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol y=x2  tại x=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol $y=x^2$  tại $x=1$.

   Trả lời:

   Ta có $\lim \Delta x\to 0\frac{{\left(1+\Delta x\right)}^2-{\left(1\right)}^2}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\left(2+\Delta x\right)=2.$
   Vậy hệ số góc là $k=y^{‘}\left(1\right)=2$ .

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=−x3   tại điểm có tung độ bằng 27.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=-x^3$   tại điểm có tung độ bằng 27.

   Trả lời:

   Ta có: $y=27\Rightarrow x=-3$  .
   $\lim \Delta x\to 0\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\frac{-{\left(-3+\Delta x\right)}^3+27}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\left(-{\left(\Delta x\right)}^2+9\Delta x-27\right)=-27$
   $\Rightarrow k=y^{‘}\left(-3\right)=-27$

   Phương trình tiếp tuyến $y-27=-27\left(x+3\right)\iff y=-27x-54.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y=xx−1 , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng −19  .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=\frac{x}{x-1}$ , biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng $-\frac{1}{9}$  .

   Trả lời:

   Gọi $M\left(x_0;y_0\right)$  là tọa độ tiếp điểm. Ta có:
   $f^{‘}\left(x_0\right)=\lim \Delta x\to 0\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim \Delta x\to 0\frac{-1}{\left(x_0+\Delta x-1\right)\left(x_0-1\right)}=\frac{-1}{{\left(x_0-1\right)}^2}$       
    $f^{‘}\left(x_0\right)=k=-\frac{1}{9}\iff -\frac{1}{{\left(x_0-1\right)}^2}=-\frac{1}{9}\iff {\left(x_0-1\right)}^2=9\iff \left[\begin{array}{l}{x}_0=4\\ x_0=-2\end{array}\right..$      
               + Với $x_0=4$  ta có $y_0=\frac{4}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(4;\frac{4}{3}\right)$  là
                                          $y=-\frac{1}{9}\left(x-4\right)+\frac{4}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{16}{9}.$                    
               + Với $x_0=-2$  ta có $y_0=\frac{2}{3}$ , phương trình tiếp tuyến tại $\left(-2;\frac{2}{3}\right)$  là
   $y=-\frac{1}{9}\left(x+2\right)+\frac{2}{3}\iff y=-\frac{1}{9}x+\frac{4}{9}.$
                                                              

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng để đường thẳng d:y=ax+b  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số G:y=fx  tại điểm x0;fx0  thì điều kiện cần và đủ là a=f’x0ax0+b=fx0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng để đường thẳng $\left(d\right):y=ax+b$  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số $\left(G\right):y=f\left(x\right)$  tại điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  thì điều kiện cần và đủ là $\left\{\begin{array}{l}a=f^{‘}\left(x_0\right)\\ a{x}_0+b=f\left(x_0\right)\end{array}\right..$

   Trả lời:

   Đường thẳng  $y=ax+b$ là tiếp tuyến của đồ thị $\left(G\right):y=f\left(x\right)$  tại điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  khi và chỉ khi đồng thời xảy ra
   ·   (d)  và  (G) cùng đi qua điểm $\left(x_0;f\left(x_0\right)\right)$  tức là
   ·         Hệ số góc (d) của f  bằng đạo hàm của  tại a=f(x)  , tức là
               Từ đó suy ra điều cần chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho đồ thị của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Biết rằng tại các điểm M1;M2;M3,  đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của f’x1,f’x2,f’x3.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đồ thị của hàm số f(x) trên khoảng (a;b). Biết rằng tại các điểm $M_1;M_2;M_3,$  đồ thị hàm số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ. Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của $f^{‘}\left(x_1\right),f^{‘}\left(x_2\right),f^{‘}\left(x_3\right).$

   A. $f^{‘}\left(x_1\right)<\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_2\right)=\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_3\right)>0.$

   B. $f^{‘}\left(x_1\right)>\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_2\right)=\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_3\right)<0.$

   C.  $f^{‘}\left(x_1\right)=\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_2\right)>\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_3\right)<0.$

   Đáp án chính xác

   D.   $f^{‘}\left(x_1\right)<\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_2\right)>\mathrm{0,}{f}^{‘}\left(x_3\right)=0.$                   

   Trả lời:

   Đáp án C

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====