Cho dãy số (un)  xác định bởi u1=cosα0

Câu hỏi:

Cho dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$  xác định bởi $\left\{\begin{array}{l}{u}_1=\cos \alpha \left(0<\alpha <\pi \right)\\ u_{n+1}=\sqrt{\frac{1+u_n}{2}},\forall n\ge 1\end{array}\right.$ . Số hạng thứ 2020 của dãy số đã cho là

A. $u_{2020}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{2020}}\right).$

B. $u_{2020}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{2019}}\right).$

Đáp án chính xác

C. $u_{2020}=\sin \left(\frac{\alpha }{2^{2021}}\right).$

D. $u_{2020}=\sin \left(\frac{\alpha }{2^{2020}}\right).$

Trả lời:

Chọn B
Do $0<\alpha <\pi$ nên $u_2=\sqrt{\frac{1+\cos \alpha }{2}}=\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\cos \frac{\alpha }{2};u_3=\sqrt{\frac{1+\cos \frac{\alpha }{2}}{2}}=\sqrt{{\cos }^2\frac{\alpha }{2}}=\cos \frac{\alpha }{4}$
Vậy $u=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{n-1}}\right)$ với mọi $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{N}}*$. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với n=1 thì $u_1=\cos \alpha$ (đúng).
Giả sử với $n=k\in {\mathbb{N}}^{*}$ ta có $u_k=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)$. Ta chứng minh $u_{k+1}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)$
Thật vậy $u_{k+1}=\sqrt{\frac{1+u_k}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos \left(\frac{\alpha }{2^{k-1}}\right)}{2}}=\sqrt{{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2^k}\right)}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^k}\right)$ 
Từ đó ta có $u_{2020}=\cos \left(\frac{\alpha }{2^{2019}}\right)$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta luôn có 2n+1>2n+3        (*)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên $\mathrm{n}\ge 2$, ta luôn có $2^{n+1}>2n+3(*)$

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 1.4+2.7+…+n(3n+1)=nn+12        (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $1.4+2.7+\mathrm{\dots }+n(3n+1)=n{\left(n+1\right)}^2\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2 , ta có 1.22+2.33+3.44+…+n−1n2=nn2−13n+212      (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$ , ta có ${1.2}^2+{2.3}^3+{3.4}^4+\mathrm{\dots }+\left(n-1\right)n^2=\frac{n\left(n^2-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có 11.2.3+12.3.4+…+1nn+1n+2=nn+34n+1n+2     (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có $\frac{1}{\mathrm{1.2.3}}+\frac{1}{\mathrm{2.3.4}}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{n\left(n+3\right)}{4\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n≥2  ta có 1n+1+1n+2+…+1n+n>1324     (1)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương $\mathrm{n}\ge 2$  ta có $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\mathrm{\dots }+\frac{1}{n+n}>\frac{13}{24}\left(1\right)$

   Trả lời:

   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====