Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?

Câu hỏi:

Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 12 g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường để pha chế hai loại nước A và B. Để pha chế 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu; để pha chế 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu. Mỗi lít nước A nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước B nhận được 80 điểm thưởng. Hỏi cần pha chế bao nhiêu lít nước mỗi loại để đội chơi được số điểm thưởng là cao nhất?

Trả lời:

Lời giải:
Gọi số lít nước A và B cần pha chế lần lượt là x lít và y lít (x ≥ 0; y ≥ 0).
Do 1 lít nước A cần 45 g đường, 1 lít nước và 0,5 g hương liệu nên x lít nước A cần 45x g đường, x lít nước và 0,5x g hương liệu.
Do 1 lít nước B cần 15 g đường, 1 lít nước và 2 g hương liệu nên y lít nước A cần 15y g đường, y lít nước và 2y g hương liệu.
Do có tối đa 12g hương liệu, 9 lít nước và 315 g đường nên 45x + 15y ≤ 315; x + y ≤ 9 và 0,5x + 2y ≤ 12.
Khi đó ta có hệ bất phương trình
Với số điểm thưởng đội chơi nhận được là F(x; y) = 60x + 80y (điểm).
Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
• Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.
Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay bảo biểu thức x ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).
• Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay bảo biểu thức y ta được 1 > 0.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d₃: 0,5x + 2y = 12 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 6) và (4; 5).
Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₃ và thay bảo biểu thức 0,5x + 2y ta được 0,5 . 1 + 2 . 1 = 2,5 < 12.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 0,5x + 2y ≤ 12 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d₄: x + y = 9 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (3; 6) và (4; 5).
Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₄ và thay bảo biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 9.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 9 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).
• Vẽ đường thẳng d₅: 45x + 15y = 315 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (5; 6) và (7; 0).
Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₄ và thay bảo biểu thức 45x + 15y ta được 45 . 1 + 15. 1 = 60 < 315.
Suy ra miền nghiệm của bất phương trình 45x + 15y ≤ 315 là nửa mặt phẳng bờ d₅ chứa điểm I(1; 1).
Khi đó miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây

Miền nghiệm của hệ là miền ngũ giác ABCDO với A(0; 6), B(4; 5), C(6; 3), D(7; 0) và O(0; 0).
Ta có F(0; 6) = 60 . 0 + 80 . 6 = 480;
F(4; 5) = 60 . 4 + 80 . 5 = 640;
F(6; 3) = 60 . 6 + 80 . 3 = 600;
F(7; 0) = 60 . 7 + 80 . 0 = 420;
F(0; 0) = 0.
Giá trị lớn nhất là F(4; 5) = 640.
Vậy cần pha 4 lít nước loại A và 5 lít nước loại B để số điểm thưởng nhận được là lớn nhất.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: ;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
   ;

   Trả lời:

   Lời giải:
   
   Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
   • Xét miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1.
   Vẽ đường thẳng d₁: x = -1 bằng cách vẽ một đường thẳng song song với trục Oy tại một điểm có hoành độ bằng 1.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay vào biểu thức x, ta có 1 > -1.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).
   • Xét miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0.
   Đường thẳng d₂: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay vào biểu thức y, ta có 1 > 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).
   • Xét miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4.
   Vẽ đường thẳng d₃: x + y = 4 bằng cách vẽ một đường thẳng qua hai điểm (0; 4) và (4; 0).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₃ và thay vào biểu thức x + y = 4, ta có 1 + 1 = 2 < 4.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 4 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).
   Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây.
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: ;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
   ;

   Trả lời:

   Lời giải:
   
   Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
   • Đường thẳng d₁: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₁.
   • Đường thẳng y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1;1) và bỏ đi đường thẳng d₂.
   • Vẽ đường thẳng d₃: x – y – 4 = 0 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (4; 0).
   Chọn điểm I(1; 1)$\notin$ d₃ và thay vào biểu thức x – y – 4 ta được 1 – 1 – 4 = -4 < 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y – 4 < 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1) và bỏ đi đường thẳng d₃.
   Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ: .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của các hệ bất phương trình sau trên mặt phẳng tọa độ:
   .

   Trả lời:

   Lời giải:
   
   Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
   • Đường thẳng d₁: y = 3 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng 3.
   Chọn điểm O(0; 0) $\notin$d₁ và thay vào biểu thức y ta được 0 < 3.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm O(0; 0).
   • Đường thẳng d₂: x = 3 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng 3.
   Chọn điểm O(0; 0) $\notin$d₂ và thay vào biểu thức x ta được 0 < 3.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≤ 3 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm O(0; 0).
   • Đường thẳng d₃: x = -1 là đường thẳng song song với trục Oy và đi qua điểm có hoành độ bằng -1.
   Chọn điểm O(0; 0) $\notin$d₃ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -1.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ -1 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm O(0; 0).
   Đường thẳng d₄: y = -2 là đường thẳng song song với trục Ox và đi qua điểm có tung độ bằng -2.
   Chọn điểm O(0; 0) $\notin$d₄ và thay vào biểu thức x ta được 0 > -2.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ -2 là nửa mặt phẳng bờ d₄ có chứa điểm O(0; 0).
   Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y với (x; y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình .

   Trả lời:

   Lời giải:
   Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
   • Vẽ đường thẳng d₁: x + y = 6 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (6; 0) và (0; 6).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 6.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 6 là nửa mặt phẳng bờ d₁ có chứa điểm I(1; 1).
   • Đường thẳng d₂: x = 0 là đường thẳng trùng với trục Oy.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay vào biểu thức x ta được 1 > 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₂ có chứa điểm I(1; 1).
   • Đường thẳng d₃: y = 0 là đường thẳng trùng với trục Ox.
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₃ và thay vào biểu thức y ta được 1 > 0.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ d₃ có chứa điểm I(1; 1).
   Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:
   
   Ta thấy miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tam giác AOB với A(6; 0), O(0; 0) và B(0; 6).
   F(6; 0) = 2 . 6 + 3. 0 = 12;
   F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;
   F(0; 6) = 2 . 0 + 3 . 6 = 18.
   Do đó giá trị lớn nhất của F(x; y) = 18 khi x = 0 và y = 6; giá trị nhỏ nhất của F(x; y) = 0 khi x = 0 và y = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x -3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình .
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 4x $–$3y trên miền nghiệm của hệ bất phương trình .

   Trả lời:

   Lời giải:
   Biểu diễn tập nghiệm của các bất phương trình trên mặt phẳng tọa độ:
   • Vẽ đường thẳng d₁: x + y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -4) và (-4; 0).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₁ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 > -4.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm I(1; 1).
   • Vẽ đường thẳng d₂: x + y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 5) và (5; 0).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₂ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 + 1 = 2 < 5.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x + y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm I(1; 1).
   • Vẽ đường thẳng d₃: x – y = 5 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; -5) và (5; 0).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₃ và thay vào biểu thức x + y ta được 1 – 1 = 0 < 5.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y ≤ 5 là nửa mặt phẳng bờ d₃ chứa điểm I(1; 1).
   • Vẽ đường thẳng d₄: x – y = -4 bằng cách vẽ đường thẳng đi qua hai điểm (0; 4) và (-4; 0).
   Chọn điểm I(1; 1) $\notin$d₄ và thay vào biểu thức x y ta được 1 – 1 = 0 > -4.
   Suy ra miền nghiệm của bất phương trình x – y ≥ -4 là nửa mặt phẳng bờ d₄ chứa điểm I(1; 1).
   Khi đó miền nghiệm của hệ là miền không bị gạch như hình vẽ dưới đây:
   
   Miền nghiệm của hệ bất phương trình trên là hình vuông ABCD với A(5; 0), B(0,5; -4,5), C(-4; 0) và D(0,5; 4,5).
   F(5; 0) = 4 . 5 -3 . 0 = 20;
   F(0,5; -4,5) = 4 . 0,5 3. (-4,5) = 15,5;
   F(-4; 0) = 4 . (-4) – 3 . 0 = -16;
   F(0,5; 4,5) = 4 . 0,5 – 3 . 4,5 = -11,5.
   Vậy giá trị lớn nhất của F(x; y) = 20 khi x = 5 và y = 0 và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = -16 khi x = -4 và y = 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====