Tìm toạ độ tiếp điểm H của ∆ và (C).

Câu hỏi:

Tìm toạ độ tiếp điểm H của ∆ và (C).

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Vì ∆ tiếp xúc với (C) tại điểm H nên ta có OH ⊥ ∆. Do đó, \(\overrightarrow {{u_{OH}}} = \overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {3;\,\,4} \right)\).
Suy ra một vectơ pháp tuyến của đường thẳng OH là \(\overrightarrow {{n_{OH}}} = \left( {4;\, – 3} \right)\).
Phương trình của đường thẳng OH là: 4(x – 0) – 3(y – 0) = 0 hay 4x – 3y = 0.
Vì H là giao điểm của ∆ và OH nên tọa độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình
\(\left\{ \begin{array}{l}3x + 4y – 25 = 0\\4x – 3y = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 3\\y = 4\end{array} \right.\).
Vậy H(3; 4).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các mệnh đề: P: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”; Q: “Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b2 – 4ac > 0”. Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các mệnh đề:
   P: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”;
   Q: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”.
   Hãy phát biểu các mệnh đề: P ⇒ Q, Q ⇒ P, P ⇔ Q, . Xét tính đúng sai của các mệnh đề này.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   + Mệnh đề P ⇒ Q: “Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”. Đây là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề Q ⇒ P: “ Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0 thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt”. Đây là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề P ⇔ Q: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0”. Do P ⇒ Q, Q ⇒ P đều là các mệnh đề đúng nên mệnh đề P ⇔ Q là mệnh đề đúng.
   + Mệnh đề
   Mệnh đề  là mệnh đề phủ định của mệnh đề P và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 không có hai nghiệm phân biệt”.
   Mệnh đề  là mệnh đề phủ định của mệnh đề Q và được phát biểu là: “Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≤ 0”.
   Khi đó, ta phát biểu mệnh đề : “Nếu phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 không có hai nghiệm phân biệt thì phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≤ 0”. Mệnh đề này là mệnh đề đúng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Dùng các khái niệm “điều kiện cần” và “điều kiện đủ” để diễn tả mệnh đề P ⇒ Q.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   + Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt là điều kiện đủ để phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0.
   + Phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0 là điều kiện cần để phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi X là tập hợp các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt, Y là tập hợp các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu. Nêu mối quan hệ giữa hai tập hợp X và Y.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Ta có các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hệ số a và c trái dấu thì luôn có hai nghiệm trái dấu, hiển nhiên đây là hai nghiệm phân biệt. Nhưng các phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt thì hai nghiệm này chưa chắc đã trái dấu.
   Do đó mọi phần tử của tập hợp Y thì đều là phần tử của tập hợp X.
   Vậy Y là tập con của tập hợp X và ta viết Y ⊂ X.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x – 2y \ge – 6}\\{2x + y \le 10}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn hình học tập nghiệm D của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau:
   \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x \ge 0}\\{y \ge 0}\\{3x – 2y \ge – 6}\\{2x + y \le 10}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Ta xác định miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ đã cho như sau:
   Bước 1: Trục Oy có phương trình x = 0 và điểm (1; 0) thỏa mãn 1 > 0. Do đó miền nghiệm của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1; 0) (miền không bị gạch).
   Bước 2: Trục Ox có phương trình y = 0 và điểm (0; 1) thỏa mãn 1 > 0. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0; 1) (miền không bị gạch).
   Bước 3: Vẽ đường thẳng d₁: 3x – 2y = – 6. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d₁ và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 3x – 2y ta được: 3 . 0 – 2 . 0 = 0 > – 6. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 3x – 2y ≥ – 6 là nửa mặt phẳng bờ d₁ chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
   Bước 4: Vẽ đường thẳng d₂: 2x + y = 10. Lấy điểm O(0; 0) không thuộc d₂ và thay x = 0, y = 0 vào biểu thức 2x + y ta được: 2 . 0 + 0 = 0 < 10. Do đó, miền nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 10 là nửa mặt phẳng bờ d₂ chứa điểm O(0; 0) (miền không bị gạch).
   Vậy miền nghiệm D của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác OABC (miền không bị gạch), trong đó A(0; 3), B(2; 6), C(5; 0), như hình vẽ sau:
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Từ kết quả ở câu a), tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D, biết rằng giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Vì giá trị lớn nhất (tương ứng, nhỏ nhất) của F đạt được tại một trong các đỉnh của miền đa giác D, do đó ta tính giá trị của F tại (x; y) là tọa độ các đỉnh O, A, B, C.
   Ta có: F(0; 0) = 2 . 0 + 3 . 0 = 0;
   F(0; 3) = 2 . 0 + 3 . 3 = 9;
   F(2; 6) = 2 . 2 + 3 . 6 = 22;
   F(5; 0) = 2 . 5 + 3 . 0 = 10.
   Vậy giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = 2x + 3y trên miền D lần lượt là 22 và 0.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====