Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

Câu hỏi:

Tìm toạ độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng d.

Trả lời:

Hướng dẫn giải

Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng d. Khi đó ∆ nhận vectơ chỉ phương \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( {2;1} \right)\)của đường thẳng d là một vectơ pháp tuyến nên phương trình ∆ là:
2(x + 2) + 1(y – 2) = 0
⇔ 2x + y + 4 – 2 = 0
⇔ 2x + y + 2 = 0
Hình chiếu vuông góc H của điểm A trên đường thẳng d là giao điểm của đường thẳng d và ∆. Do đó, toạ độ của điểm H là nghiệm của hệ phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 2y + 1 = 0}\\{2x + y + 2 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x – 2y = – 1}\\{2x + y = – 2}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = – 1\\y = 0\end{array} \right.\)
Vậy H(–1; 0).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:  m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:
    m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Xét m: x + y – 2 = 0 và k: 2x + 2y – 4 = 0 ta có:
   a₁ = 1, b₁ = 1, c₁ = –2
   a₂ = 2, b₂ = 2, c₂ = –4
   Xét tỉ số:
   \(\frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{1}{2};\frac{{{c_1}}}{{{c_2}}} = \frac{{ – 2}}{{ – 4}} = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \frac{{{a_1}}}{{{a_2}}} = \frac{{{b_1}}}{{{b_2}}} = \frac{{{c_1}}}{{{c_2}}}\)
   Vậy m trùng với k.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Xét \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 + 2t}\\{y = 4}\end{array}} \right.\) và \(b:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t’}\\{y = 1 + t’}\end{array}} \right.\)
   Ta có:
   Vectơ chỉ phương của a là: \(\overrightarrow {{u_a}} \) = (2; 0)
   Vectơ chỉ phương của b là: \(\overrightarrow {{u_b}} \) = (3; 1)
   Do \(\frac{2}{3} \ne \frac{0}{1}\) nên \(\overrightarrow {{u_a}} \) và \(\overrightarrow {{u_b}} \) không cùng phương
   Vậy a và b cắt nhau.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. d1: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 và \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\)
   Vectơ pháp tuyến của d₁ là: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \left( {1; – 2} \right)\)
   Vectơ chỉ phương của d₂ là: \(\overrightarrow {{u_{{d_2}}}}  = \left( { – 2; – 1} \right)\). Do đó, d₂ có một vectơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow {{n_{{d_2}}}} = \left( {1; – 2} \right)\)
   Ta có: \(\overrightarrow {{n_{{d_1}}}} = \overrightarrow {{n_{{d_2}}}} \) nên d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau
   Xét d₁: x – 2y – 1 = 0 . Khi x = 3 thì y = 1, do đó, điểm (3; 1) thuộc đường thẳng d₁.
   Xét \({d_2}:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 1 – 2t}\\{y = 2 – t}\end{array}} \right.\) có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{3 = 1 – 2t}\\{1 = 2 – t}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}t = – 1\\t = 1\end{array} \right.\) (không thể tồn tại), do đó, điểm (3; 1) không thuộc đường thẳng d₂
   Vậy d₁ // d₂.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau: d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau:
   d: y – 1 = 0 và k: x – y + 4 = 0;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải
   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng d và k. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{n_d}} = \left( {0;1} \right),\overrightarrow {{n_k}} = \left( {1; – 1} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
   \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{n_d}} ,\,\,\overrightarrow {{n_k}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} .\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_d}} } \right|\left| {\overrightarrow {{n_k}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {0.1 + 1.\left( { – 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{0^2} + {1^2}} .\sqrt {{1^2} + {{\left( { – 1} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
   \( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \).
   Vậy góc giữa hai đường thẳng là φ = 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\) và b: 3x + y + 1 = 0;
   
   

   Câu hỏi:
   

   \(a:\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 2t}\end{array}} \right.\) và b: 3x + y + 1 = 0;

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải

   Gọi φ là góc giữa hai đường thẳng a và b. Từ giả thiết ta có \(\overrightarrow {{u_a}} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {{n_b}} = \left( {3;1} \right)\)
   nên \(\overrightarrow {{u_b}} = \left( {1; – 3} \right)\). Do đó, theo công thức tính góc của hai đường thẳng thì
   \(\cos \varphi = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {{u_a}} ,\,\,\overrightarrow {{u_b}} } \right)} \right| = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} .\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_a}} } \right|\left| {\overrightarrow {{u_b}} } \right|}}\)\( = \frac{{\left| {1.1 + 2.\left( { – 3} \right)} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2}} .\sqrt {{3^2} + {1^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)
   \( \Rightarrow \varphi = 45^\circ \)
   Vậy góc giữa hai đường thẳng a và b là φ = 45°.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====