Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I. (Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Câu hỏi:

Ngày 04/10/1957, Liên Xô đã phóng thành công vệ tinh nhân tạo đầu tiên vào không gian, vệ tinh mang tên Sputnik I. Vệ tinh đó có quỹ đạo hình elip (E) nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Cho biết khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 7310 km và khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là 6586 km. Tìm tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I.
(Nguồn: https://vi.wikipedia.org)

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip (E) và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.
Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).
Gọi toạ độ của Trái Đất là M(x; y) thì khoảng cách giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là MF₁ = a – ex.
Vì –a ≤ x ≤ a nên a – ea ≤ a –ex ≤ a + ea.
Do đó khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a – ea và khoảng cách xa nhất giữa vệ tinh và tâm Trái Đất là a + ea $\Rightarrow \{\begin{array}{l}a-ea=6586\\ a+ea=7310\end{array}$.
Cộng theo vế 2 phương trình này ta được 2a = 113896, suy ra a = 6948.
Thay vào phương trình thứ nhất ta được 6948 – 6948e = 6586 =>  e ≈ 0,052.
Vậy tâm sai của quỹ đạo chuyển động của vệ tinh Sputnik I là 0,052.
 

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho elip có phương trình chính tắc x2a2+y2b2=1 (H.3.1). a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ. b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x0; y0) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x0; –y0), (–x0; y0), (–x0; –y0) cũng thuộc elip. c) Với điểm M(x0; y0) thuộc elip, hãy so sánh OM2 với a2, b2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (H.3.1).
   
   a) Tìm toạ độ các giao điểm của elip với các trục toạ độ.
   b) Hãy giải thích vì sao, nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc elip thì các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.
   c) Với điểm M(x₀; y₀) thuộc elip, hãy so sánh OM² với a², b².

   Trả lời:

   
   
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Viết phương trình chính tắc của elip với độ dài trục lớn bằng 10 và tiêu cự bằng 6.

   Trả lời:

   Gọi phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ (a > b > 0).
   Theo đề bài ta có:
   – Độ dài trục lớn bằng 10, suy ra 2a = 10, suy ra a = 5.
   – Elip có một tiêu cự bằng 6, suy ra 2c = 6 hay c = 3, suy ra b2 = a2 – c2 = 52 – 32 = 16.
   Vậy phương trình chính tắc của elip đã cho là $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1.$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x2 + y2 = a2 và số k (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn, gọi H(x0; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5). a) Tính toạ độ của N theo x0; y0; k. b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc x2a2+y2(ka)2=1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   (Phép co đường tròn) Cho đường tròn có phuong trình x² + y² = a² và số $k$ (0 < k < 1). Với mỗi điểm M(x₀; y₀) thuộc đường tròn, gọi H(x₀; 0) là hình chiếu vuông góc của M lên trục Ox và N là điểm thuộc đoạn MH sao cho HN = kHM (H.3.5).
   a) Tính toạ độ của N theo x₀; y₀; k.
   b) Chứng minh rằng khi điểm M thay đổi trên đường tròn thì N thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

   Trả lời:

   a) Gọi toạ độ của N là (x_N; y_N­). Khi đó $\overrightarrow{HN}=\left(x_N-x_0;y_N-0\right)=\left(x_N-x_0;y_N\right).$
   Vì HN = kHM nên $\overrightarrow{HN}=k\overrightarrow{HM}.$ Mà $\overrightarrow{HM}=\left(x_0-x_0;y_0-0\right)=\left(0;y_0\right)$ nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_N-x_0=k.0\\ y_N=k.y_0\end{array}\right.\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_N=x_0\\ y_N=k{y}_0\end{array}\right..$
   b) Khi M thay đổi trên đường tròn ta luôn có $x_0^2+y_0^2=a^2.$
   Do đó $\frac{x_N^2}{a^2}+\frac{y_N^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{{\left(k{y}_0\right)}^2}{{\left(ka\right)}^2}=\frac{x_0^2}{a^2}+\frac{y_0^2}{a^2}=\frac{x_0^2+y_0^2}{a^2}=\frac{a^2}{a^2}=1.$
   Vậy N luôn thay đổi trên elip có phương trình chính tắc $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{{\left(ka\right)}^2}=1$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho elip có hai tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y). a) Tính MF12 – MF22. b) Khi điểm M thuộc elip (MF1 + MF2 = 2a), tính MF1 – MF2, MF1, MF2.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip có hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂(c; 0) và độ dài trục lớn bằng 2a và điểm M(x; y).
   a) Tính MF₁² – MF₂².
   b) Khi điểm M thuộc elip (MF₁ + MF₂ = 2a), tính MF₁ – MF₂, MF₁, MF₂.

   Trả lời:

   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho elip x236+y220=1, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{20}=1$, điểm M thay đổi trên elip. Hỏi khoảng cách từ M tới một tiêu điểm của elip lớn nhất bằng bao nhiêu, nhỏ nhất bằng bao nhiêu?

   Trả lời:

   Có a² = 36, suy ra a = 6.
   $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{36-20}=\sqrt{16}=4.$
   Gọi toạ độ của M là (x; y).
   Ta xét khoảng cách từ M đến F₁.
   Theo công thức độ dài bán kính qua tiêu ta có MF₁ = 6 + $\frac{4}{6}$x = 6 + $\frac{2}{3}$x.
   Mặt khác, vì M thuộc elip nên –6 ≤ x ≤ 6
    $\Rightarrow -\frac{2}{3}.6\le \frac{2}{3}x\le \frac{2}{3}.6\Rightarrow -4\le \frac{2}{3}x\le 4\Rightarrow 2\le 6+\frac{2}{3}x\le 10.$
   Vậy 2 ≤ MF₁ ≤ 10.
   Vậy độ dài MF₁ nhỏ nhất bằng 2 khi M có hoành độ bằng –6, lớn nhất bằng 10 khi M có hoành độ bằng 6.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====