Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình x236−y249=1 . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:

Câu hỏi:

Một tòa tháp có mặt cắt hình hypebol có phương trình $\frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{49}=1$ . Biết khoảng cách từ nóc tháp đến tâm đối xứng O của hypebol bằng khoảng cách từ tâm đối xứng O đến đáy tháp. Tòa tháp có chiều cao 50 m. Bán kính đáy của tháp bằng:

A. 43,28 m;           

B. 22,25 m;           

Đáp án chính xác

C. 28,31 m;           

D. 57,91 m.

Trả lời:

Đáp án đúng là: B

Gọi r là bán kính đáy của tháp (r > 0).
Do tính đối xứng của hypebol nên ta có hai bán kính của nóc và đáy tháp đều bằng nhau.
Chọn điểm M(r; –25) nằm trên hypebol.
Ta suy ra $\frac{r^2}{36}-\frac{{(-25)}^2}{49}=1\iff \frac{r^2}{36}=1+\frac{{(-25)}^2}{49}=\frac{674}{49}\iff r^2=\frac{674}{49}.36=\frac{24264}{49}Suy ra r=\frac{6\sqrt{674}}{7}\approx 22,25$
Vậy bán kính đáy của tháp bằng khoảng 22,25 m.
Do đó ta chọn phương án B.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho elip (E): x225+y29=1 . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho elip (E): $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$ . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

   A. (E) có các tiêu điểm F₁(–4; 0) và F₂(4; 0);          

   B. (E) có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$ ;                

   C. (E) có đỉnh A₁(–5; 0);           

   D. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: D
   • Phương trình elip (E) có dạng: $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ , với a² = 25, b² = 9.
   Ta suy ra a = 5, b = 3 (vì a, b > 0).
   Ta có b = $\sqrt{a^2-c^2}$
   ⇔ b² = a² – c²
   ⇔ c² = a² – b² = 25 – 9 = 16.
   ⇔ c = 4.
   Vậy các tiêu điểm của elip (E) là: F₁(–4; 0), F₂(4; 0).
   Do đó phương án A đúng.
   • Ta có tỉ số $\frac{c}{a}=\frac{4}{5}$
   Do đó phương án B đúng.
   • Đỉnh A₁(–a; 0).
   Suy ra A₁(–5; 0).
   Do đó phương án C đúng.
   • Độ dài trục nhỏ là 2b = 2.3 = 6 ≠ 3.
   Do đó phương án D sai.
   Vậy ta chọn phương án D.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hypebol (H): 4×2 – y2 = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hypebol (H): 4x² – y² = 1. Khẳng định nào sau đây đúng?

   A. Hypebol có tiêu cự bằng $\frac{\sqrt{5}}{2}$ ;                  

   B. Hypebol có một tiêu điểm là $F(\sqrt{5};0)$ ;              

   C. Hypebol có trục thực bằng 1;         

   Đáp án chính xác

   D. Hypebol có trục ảo bằng 1/2

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   Ta có 4x² – y² = 1.
   Suy ra $\frac{x^2}{\frac{1}{4}}-\frac{y^2}{1}=1$
   Hay $\frac{x^2}{{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}-\frac{y^2}{1^2}=1$
   Khi đó ta có a = 1/2, b = 1.
   • Ta có $b=\sqrt{c^2-a^2}$
   Suy ra $c=\sqrt{b^2+a^2}=\sqrt{1+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{5}}{2}$
   Vậy hypebol (H) có tiêu cự là 2c =$\sqrt{5}\ne \frac{\sqrt{5}}{2}$
   Do đó phương án A sai.
   • Ta có $c=\frac{\sqrt{5}}{2}$
   Suy ra hai tiêu điểm của (H) là $F_1(-\frac{\sqrt{5}}{2};0),F_2(\frac{\sqrt{5}}{2};0)$
   Do đó phương án B sai.
   • Ta có trục thực là: A₁A₂ = 2a = 2.1/2 = 1.
   Do đó phương án C đúng.
   • Ta có trục ảo là: 2b = 2.1 = 2 ≠ 1/2.
   Do đó phương án D sai.
   Vậy ta chọn phương án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho parabol (P): y2 = 16x. Khẳng định nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho parabol (P): y² = 16x. Khẳng định nào sau đây sai?

   A. (P) có tiêu điểm F(4; 0);                 

   B. (P) có tọa độ đỉnh O(0; 0);              

   C. Phương trình đường chuẩn ∆: x = 4;                   

   Đáp án chính xác

   D. (P) nhận Ox làm trục đối xứng.

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: C
   • Ta có (P): y² = 16x nên 2p = 16.
   Suy ra p = 8.
   Do đó $\frac{p}{2}=\frac{8}{2}=4$
   Vì vậy (P) có tiêu điểm F(4; 0).
   Do đó phương án A đúng.
   • Ta có O(0; 0) là đỉnh của parabol (P) và Ox là trục đối xứng của parabol (P).
   Do đó phương án B, D đúng.
   Đến đây ta có thể chọn đáp án C.
   • Phương trình đường chuẩn ∆ có dạng: $x=-\frac{p}{2}=-4$ .
   Do đó phương án C sai.
   Vậy ta chọn phương án C.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Elip có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 2 , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. Phương trình chính tắc của elip là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Elip có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ , tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64. Phương trình chính tắc của elip là:

   A. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{12}=1$

   C. $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{4}=1$

   D. $\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Ta có tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng $\sqrt{2}$ .
   Suy ra $\frac{2b}{2c}=\sqrt{2}$
   $\iff b=c\sqrt{2}\iff \sqrt{a^2-c^2}=c\sqrt{2}$

   ⇔ a² – c² = 2c²
   ⇔ a² = 3c².
   Lại có tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.
   Ta suy ra (2a)² + (2c)² = 64.
   ⇔ 4a² + 4c² = 64.
   ⇔ a² + c² = 16.
   ⇔ 3c² + c² = 16.
   ⇔ 4c² = 16.
   ⇔ c² = 4.
   ⇔ c = 2 (vì c > 0).
   Với c = 2, ta có:
   • a² = 3c² = 3.2² = 12.
   • b = $c\sqrt{2}=2\sqrt{2}$
   Suy ra b² = 8.
   Vậy phương trình elip cần tìm là: $\frac{x^2}{12}+\frac{y^2}{8}=1$
   Do đó ta chọn phương án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Hypebol có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo và có tiêu cự bằng . Phương trình chính tắc của hypebol là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Hypebol có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo và có tiêu cự bằng . Phương trình chính tắc của hypebol là:

   A. $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{12}=1$

   Đáp án chính xác

   B. $\frac{x^2}{12}-\frac{y^2}{48}=1$

   C. $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{12}=1$

   D. $\frac{x^2}{48}+\frac{y^2}{12}=1$

   Trả lời:

   Đáp án đúng là: A
   Theo đề, ta có độ dài trục thực gấp đôi độ dài trục ảo
   Ta suy ra 2a = 2.2b.
   Do đó a = 2b.
   Hypebol có tiêu cự bằng $4\sqrt{15}$ .
   Ta suy ra 2c = $4\sqrt{15}$.
   Do đó $c=2\sqrt{15}$ .
   $\iff \sqrt{a^2+b^2}=2\sqrt{15}$

   ⇔ 4b² + b² = 60.
   ⇔ 5b² = 60.
   ⇔ b² = 12.
   $\iff b=2\sqrt{3}$

   Suy ra $a^2=48$
   Vậy ta có phương trình chính tắc của hypebol là:
   $\frac{x^2}{48}-\frac{y^2}{12}=1$

   Do đó ta chọn phương án A.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====