Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là Sn=A1+r100mm . n (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Câu hỏi:

Một người gửi số tiền A (đồng) vào ngân hàng. Biểu lãi suất của ngân hàng như sau: Chia mỗi năm thành m kì hạn và lãi suất r%/năm. Biết rằng nếu không rút tiền ra khỏi ngân hàng thi cứ sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu. Chứng minh số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{m . n}$ (đồng), nếu trong khoảng thời gian này người gửi không rút tiền ra và lãi suất không thay đổi.

Trả lời:

Xét mệnh đề P(x): “Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau x (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{x}$ (đồng) (x $\in$ ℕ^*)”.
Vì một năm có m kì hạn nên lãi suất mỗi kì hạn là $\frac{r %}{m} = \frac{r}{100 m} .$
+) Khi x = 1:
Số tiền lãi người đó nhận được là: A . $\frac{r}{100 m}$ (đồng).
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
A + A . $\frac{r}{100 m}$ = $A (1 + \frac{r}{100 m}) = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{1}$ (đồng)
Vậy mệnh đề đúng với x = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau (k + 1) (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k + 1}$ (đồng).
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
Số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau k (kì hạn) gửi là $S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k}$ (đồng).
Vì sau mỗi kì hạn, số tiển lãi sẽ được nhập vào vốn ban đầu nên số tiền lại ở kì hạn thứ (k + 1) là: $A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} . \frac{r}{100 m}$ (đồng).
Suy ra số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) là:
$A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} + A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} . \frac{r}{100 m}$
$= A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k} (1 + \frac{r}{100 m}) = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{k + 1}$ (đồng).
Vậy mệnh đề cũng đúng với x = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi x $\in$ ℕ^*.
Sau n (năm) thì số kì hạn người đó đã gửi là: m . n (kì hạn).
Do đó, số tiền nhận được (bao gồm cả vốn lẫn lãi) sau n (năm) gửi là:
$S_{n} = A {(1 + \frac{r}{100 m})}^{m . n}$ (đồng).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2” với n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng. b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu. c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.

Câu hỏi:

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²” với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k² + [2(k + 1) – 1] = (k+1)².

Trả lời:

a) Ta có P(1): “1 = 1²“. Mệnh đề này đúng vì 1² = 1.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k².
c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]
= k² + [2(k+1) – 1] = k² + (2k + 2 – 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²
Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1).

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:
a) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1.$
b) $\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{2 (n^{2} + n + 1)}{3 n (n + 1)} .$

Trả lời:

a)

+) Khi n = 1, ta có:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{1 + 1} - 1.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}} = \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - 1.$
Khi đó:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{(\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}) (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{[(k + 1) + 1] - (k + 1)}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{1}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})$
$= \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
b)
+) Khi n = 2, ta có:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} = \frac{7}{9} = \frac{2 (2^{2} + 2 + 1)}{3 . 2 (2 + 1)} .$
Vậy mệnh đề đúng với n = 2.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1} = \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} = \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} .$
Khi đó:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= (\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1}) . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{[(k + 1) - 1] [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [{(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [(k^{2} + 2 k + 1) - (k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] (k^{2} + k + 1)}$
$= \frac{2}{3 (k + 1)} . \frac{[{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, (1+2)n, (1−2)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, an−bn2, trong đó an, bn là các số nguyên dương.

Câu hỏi:

Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1 + \sqrt{2})}^{n}, {(1 - \sqrt{2})}^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n} + b_{n} \sqrt{2}, a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Trả lời:

+) Khi n = 1, ta có:
${(1 + \sqrt{2})}^{1} = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1 . \sqrt{2} \Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1}$ viết được dưới dạng $a_{k + 1} + b_{k + 1} \sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1}là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
${(1 + \sqrt{2})}^{k} = a_{k} + b_{k} \sqrt{2},$ với a_k, b_klà các số nguyên dương.
Khi đó:
${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1} = {(1 + \sqrt{2})}^{k} (1 + \sqrt{2})$
$= (a_{k} + b_{k} \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$
$= a_{k} . 1 + b_{k} \sqrt{2} . 1 + a_{k} . \sqrt{2} + b_{k} \sqrt{2} . \sqrt{2}$
$= a_{k} + b_{k} \sqrt{2} + a_{k} \sqrt{2} + 2 b_{k}$
$= (a_{k} + 2 b_{k}) + (a_{k} + b_{k}) \sqrt{2} .$
Vì a_k, b_klà các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
+) Theo chứng minh trên ta có:
Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 + \sqrt{2})}^{n} = a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ với a_n, b_nlà các số nguyên dương.
Chứng minh tương tự ta được:
Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 - \sqrt{2})}^{n} = c_{n} - d_{n} \sqrt{2}$ với c_n, d_nlà các số nguyên dương.
Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.

Ta có: ${(1 + \sqrt{2})}^{n} {(1 - \sqrt{2})}^{n} = {[(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})]}^{n} = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow (a_{n} + b_{n} \sqrt{2}) (c_{n} - d_{n} \sqrt{2}) = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow (a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n}) + (b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n}) \sqrt{2} = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n} = {(- 1)}^{n} (1) \\ b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n} = 0 (2) \end{cases} .$
Từ (2) ta suy ra $a_{n} d_{n} = b_{n} c_{n} \Rightarrow \frac{a_{n}}{c_{n}} = \frac{b_{n}}{d_{n}} = k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_nlà các số nguyên dương)
$\Rightarrow a_{n} = k c_{n}, b_{n} = k d_{n} .$ Thế vào (1) ta được:
$(k c_{n}) c_{n} - 2 (k d_{n}) d_{n} = {(- 1)}^{n} \Rightarrow k (c_{n}^{2} - 2 d_{n}^{2}) = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow 1 ⋮ k \Rightarrow k = 1 \Rightarrow$ a_n = c_n và b_n = d_n.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n∈ℕ*.

Câu hỏi:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Trả lời:

+) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.
Khi đó:
16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1
= 16 . 16^k – 15k – 16
= 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16
= 16 . 16^k – 240k + 225k – 16
= 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k
= 16 (16^k – 15k – 1) + 225k
Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho Sn = 1 + 2 + 22 +… + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n ℕ*. a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Câu hỏi:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +… + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.
a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời:

a) S₁ = 1 + 2¹ = 3, S₂ = 1 + 2 + 2² = 7, S₃ = 1 + 2 + 2² + 2³ = 15.
T₁ = 2^{1 + 1} – 1 = 3, T₂ = 2^{2 + 1} – 1 = 7, T₃ = 2^{3 + 1} – 1 = 15.
Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.
b) Ta dự đoán S_n = T_n với n ℕ^*.
+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.
Khi đó:
S_{k + 1} = 1 + 2 + 2² +… + 2^k + 2^{k + 1}
= S_k + 2^{k + 1}
= T_k + 2^{k + 1}
= (2^{k + 1} – 1) + 2^{k + 1}
= 2 . 2^{k + 1} – 1
= 2^{k + 2} – 1
= 2^{(k + 1) + 1} – 1
=T_{k + 1}.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy S_n = T_n = 2ⁿ^{+ 1} – 1 với n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy