Một hằng số quan trọng trong toán học là số e có giá trị gần đúng với 12 chữ số thập phân là 2,718281828459. a) Giả sử ta lấy giá trị 2,7 làm giá trị gần đúng của e. Hãy chứng tỏ sai số tuyệt đối không vượt quá 0,02 và sai số tương đối không vượt quá 0,75%. b) Hãy quy tròn e đến hàng phần nghìn. c) Tìm số gần đúng của số e với độ chính xác 0,00002.

Câu hỏi:

Một hằng số quan trọng trong toán học là số e có giá trị gần đúng với 12 chữ số thập phân là 2,718281828459.
a) Giả sử ta lấy giá trị 2,7 làm giá trị gần đúng của e. Hãy chứng tỏ sai số tuyệt đối không vượt quá 0,02 và sai số tương đối không vượt quá 0,75%.
b) Hãy quy tròn e đến hàng phần nghìn.
c) Tìm số gần đúng của số e với độ chính xác 0,00002.

Trả lời:

a) Sai số tuyệt đối ∆ = |2,718281828459 – 2,7| = 0,018281828459 < 0,02.
Sai số tương đối $\delta =\frac{\Delta }{|2,7|}=\frac{0,018281828459}{2,7}\approx 0,68\%$ < 0,75%.
b) Quy tròn e đến hàng phần nghìn ta được số gần đúng là 2,718.
c) Hàng của chữ số khác 0 đầu tiên bên trái của độ chính xác d = 0,00002 là hàng phần trăm nghìn. Quy tròn e đến hàng phần trăm nghìn ta được số gần đúng của e là 2,71828.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho các số gần đúng a = 54919020 ± 1000 và b = 5,7914003 ± 0,002. Hãy xác định số quy tròn của a và b.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các số gần đúng a = 54919020 ± 1000 và b = 5,7914003 ± 0,002. Hãy xác định số quy tròn của a và b.

   Trả lời:

   + Ta có: a = 54919020 ± 1000
   Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 1000 là hàng nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần chục nghìn. Vậy số quy tròn của a là 54920000.
   + Ta có: b = 5,7914003 ± 0,002
   Hàng lớn nhất của độ chính xác d = 0,002 là hàng phần nghìn, nên ta quy tròn đến hàng phần trăm. Vậy số quy tròn của b là 5,79.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Mỗi học sinh lớp 10A đóng góp 2 quyển sách cho thư viện trường. Lớp trưởng thống kê lại số sách mà mỗi tổ trong lớp đóng góp ở bảng sau: Hãy cho biết lớp trưởng đã thống kê chính xác chưa. Tại sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Mỗi học sinh lớp 10A đóng góp 2 quyển sách cho thư viện trường. Lớp trưởng thống kê lại số sách mà mỗi tổ trong lớp đóng góp ở bảng sau:
   

   Hãy cho biết lớp trưởng đã thống kê chính xác chưa. Tại sao?

   Trả lời:

   Vì mỗi bạn học sinh lớp 10A đều đóng góp 2 quyển sách, nên mỗi bạn trong các tổ đều đóng góp 2 quyển sách. Do đó tổng số sách các học sinh đóng góp được trong một tổ phải là số chia hết cho 2.
   Quan sát bảng thống kê đã cho ta thấy có tổng số sách của tổ 4 là 19 quyển, số này không chia hết cho 2, do đó lớp trưởng đã thống kê chưa chính xác.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương của các tỉnh Cà Mau và Tiền Giang được thể hiện ở hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn): a) Hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai: i. Sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Tiền Giang đều cao hơn tỉnh Cà Mau. ii. Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 4 lần so với năm 2008. iii. Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 2,5 lần so với năm 2008. iv. Ở tỉnh Tiền Giang, từ năm 2008 đến năm 2018, sản lượng nuôi tôm mỗi năm tăng trên 50% so với năm cũ. v. Trong vòng 5 năm từ năm 2013 đến 2018, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Cà Mau tăng cao hơn của tỉnh Tiền Giang. b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ nào?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Sản lượng nuôi tôm phân theo địa phương của các tỉnh Cà Mau và Tiền Giang được thể hiện ở hai biểu đồ sau (đơn vị: tấn):
   

   a) Hãy cho biết các phát biểu sau là đúng hay sai:
   i. Sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Tiền Giang đều cao hơn tỉnh Cà Mau.
   ii. Ở tỉnh Cà Mau, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 4 lần so với năm 2008.
   iii. Ở tỉnh Tiền Giang, sản lượng nuôi tôm năm 2018 tăng gấp hơn 2,5 lần so với năm 2008.
   iv. Ở tỉnh Tiền Giang, từ năm 2008 đến năm 2018, sản lượng nuôi tôm mỗi năm tăng trên 50% so với năm cũ.
   v. Trong vòng 5 năm từ năm 2013 đến 2018, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Cà Mau tăng cao hơn của tỉnh Tiền Giang.
   b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ nào?

   Trả lời:

   a)
   i. Quan sát biểu đồ ta thấy:
   Sản lượng nuôi tôm mỗi năm ở Tiền Giang đều thấp hơn 30 000 tấn, sản lượng nuôi tôm mỗi năm ở Cà Mau đều cao hơn 75 000 tấn.
   Do đó sản lượng nuôi tôm mỗi năm của tỉnh Cà Mau đều cao hơn rất nhiều so với tỉnh Tiền Giang.
   Vậy phát biểu i. là sai.
   ii. Ở tỉnh Cà Mau:
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2018 là 175 000 tấn.
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2008 khoảng hơn 90 000 tấn.
   Vì $\frac{175000}{90000}\approx 2$.
   Do đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 ở tỉnh Cà Mau tăng khoảng gần 2 lần so với năm 2008.
   Vậy phát biểu ii. là sai.
   iii. Ở tỉnh Tiền Giang:
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 tấn.
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2008 là 10 000 tấn.
   Vì $\frac{29000}{10000}=2,9$.
   Do đó sản lượng nuôi tôm năm 2018 ở tỉnh Tiền Giang tăng gấp khoảng 2,9 (> 2,5) lần so với năm 2008.
   Vậy phát biểu iii. là đúng.
   iv. Ở tỉnh Tiền Giang:
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2008 là 10 000 tấn.
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2013 khoảng hơn 17 000 tấn, tăng khoảng 7 000 tấn so với năm 2008.
   Ta có: $\frac{7000}{10000}.100\%=70\%$ > 50%
   – Sản lượng nuôi tôm năm 2018 khoảng 29 000 tấn, tăng khoảng 12 000 tấn so với năm 2013.
   Ta có: $\frac{12000}{17000}.100\%\approx 71\%$ > 50%.
   Vậy phát biểu iv. là đúng.
   v.
   + Sản lượng nuôi tôm ở tỉnh Cà Mau năm 2013 khoảng gần 140 000 tấn, năm 2018 là 175 000 tấn. Ta có: $\frac{175000}{140000}=1,25$.
   + Sản lượng nuôi tôm ở tỉnh Tiền Giang năm 2013 khoảng hơn 17 000 tấn, năm 2018 khoảng hơn 29 000 tấn. Ta có: $\frac{29000}{17000}\approx 1,7$.
   Vì 1,7 > 1,25, do đó trong vòng 5 năm từ năm 2013 đến năm 2018, sản lượng nuôi tôm của tỉnh Tiền Giang tăng cao hơn của tỉnh Cà Mau.
   Vậy phát biểu v. là sai.
   b) Để so sánh sản lượng nuôi tôm của hai tỉnh Cà Mau và Tiền Giang, ta nên sử dụng loại biểu đồ cột ghép.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Bạn Châu cân lần lượt 50 quả vải thiều Thanh Hà được lựa chọn ngẫu nhiên từ vườn nhà mình và được kết quả như sau: a) Hãy tìm số trung bình, trung vị, mốt của mẫu số liệu trên. b) Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Bạn Châu cân lần lượt 50 quả vải thiều Thanh Hà được lựa chọn ngẫu nhiên từ vườn nhà mình và được kết quả như sau:
   

   a) Hãy tìm số trung bình, trung vị, mốt của mẫu số liệu trên.
   b) Hãy tìm độ lệch chuẩn, khoảng biến thiên, khoảng tứ phân vị và giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu trên.

   Trả lời:

   a) Cỡ mẫu là: n = 50.
   Số trung bình: $\overline{x}=\frac{1.8+10.19+19.20+17.21+3.22}{50}=20,02$
   Giá trị 20 có tần số lớn nhất nên mốt của mẫu số liệu là 20.
   Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22.
   Vì cỡ mẫu là số chẵn nên trung vị mẫu là $\frac{1}{2}(20+20)=20$.
   b) Phương sai mẫu là:
   S² = $\frac{1}{50}$(1 . 8² + 10 . 19² + 19 . 20² + 17 . 21² + 3 . 22²) – 20,02² = 3,6596.
   Độ lệch chuẩn mẫu số liệu là: S = $\sqrt{S^2}=\sqrt{3,6596}\approx 1,9$.
   Khoảng biến thiên của mẫu là: R = 22 – 8 = 14.
   Tứ phân vị thứ hai là trung vị của mẫu số liệu đã cho nên Q₂ = 20.
   Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 8; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 19; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20; 20. Do đó Q₁ = 20.
   Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 20; 20; 20; 20; 20; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 21; 22; 22; 22. Do đó Q₃ = 21.
   Khoảng tứ phân vị là ∆_Q = 21 – 20 = 1.
   Ta có: Q₃ + 1,5∆_Q = 21 + 1,5 . 1 = 22,5 và Q₁ – 1,5∆_Q = 20 – 1,5 . 1 = 18,5.
   Do đó giá trị ngoại lệ của mẫu số liệu đã cho là 8.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau: a) Hãy tìm số trung bình, mốt, độ lệch chuẩn và tứ phân vị của tuổi mỗi cầu thủ của từng đội bóng. b) Tuổi của các cầu thủ ở đội bóng nào đồng đều hơn? Tại sao?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Độ tuổi của 22 cầu thủ ở đội hình xuất phát của hai đội bóng đá được ghi lại ở bảng sau:
   

   a) Hãy tìm số trung bình, mốt, độ lệch chuẩn và tứ phân vị của tuổi mỗi cầu thủ của từng đội bóng.
   b) Tuổi của các cầu thủ ở đội bóng nào đồng đều hơn? Tại sao?

   Trả lời:

   a)
   * Đội A:
   + Số trung bình của tuổi: $\overline{x_A}=\frac{28+24+26+25+25+23+20+29+21+24+24}{11}\approx 24,45$
   + Giá trị 24 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội A là 24.
   + Phương sai mẫu:
   $S_A^2=\frac{1}{11}$(28² + 24² + 26² + 25² + 25² + 23² + 20² + 29² + 21² + 24² + 24²) – (24,45)²
   ≈ 6,65.
   + Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_A = $\sqrt{S_A^2}=\sqrt{6,65}\approx 2,58$.
   + Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   20; 21; 23; 24; 24; 24; 25; 25; 26; 28; 29.
   Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2A = 24.
   Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 20; 21; 23; 24; 24. Do đó Q_1A = 23.
   Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 25; 25; 26; 28; 29. Do đó Q_3A = 26.
   * Đội B:
   + Số trung bình của tuổi: $\overline{x_B}=\frac{32+20+19+21+28+29+21+22+29+19+29}{11}\approx 24,45$
   + Giá trị 29 có tần số lớn nhất (3) nên mốt của mẫu số liệu ở đội B là 29.
   + Phương sai mẫu:
   $S_B^2=\frac{1}{11}$(32² + 20² + 19² + 21² + 28² + 29² + 21² + 22² + 29² + 19² + 29²) – (24,45)²
   ≈ 22,11.
   + Độ lệch chuẩn mẫu số liệu: S_B = $\sqrt{S_B^2}=\sqrt{22,11}\approx 4,7$.
   + Sắp xếp các số liệu theo thứ tự không giảm, ta được:
   19; 19; 20; 21; 21; 22; 28; 29; 29; 29; 32.
   Vì cỡ mẫu là 11 là số lẻ nên tứ phân vị thứ hai là Q_2B = 22.
   Tứ phân vị thứ nhất là trung vị của mẫu: 19; 19; 20; 21; 21. Do đó Q_1B = 20.
   Tứ phân vị thứ ba là trung vị của mẫu: 28; 29; 29; 29; 32. Do đó Q_3B = 29.
   b) Ta thấy độ lệch chuẩn và phương sai mẫu số liệu ở đội B cao hơn đội A. Điều đó có nghĩa là tuổi của các cầu thủ ở đội B có độ phân tán cao hơn đội A.
   Vậy tuổi của các cầu thủ ở đội A đồng đều hơn đội B.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====