Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y. a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó. b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y. c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Câu hỏi:

Một cửa hàng có kế hoạch nhập về hai loại máy tính A và B, giá mỗi chiếc lần lượt là 10 triệu đồng và 20 triệu đồng với số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng. Loại máy A mang lại lợi nhuận 2,5 triệu đồng cho mỗi máy bán được và loại máy B mang lại lợi nhuận là 4 triệu đồng mỗi máy. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy. Giả sử trong một tháng cửa hàng cần nhập số máy tính loại A là x và số máy tính loại B là y.
a) Viết các bất phương trình biểu thị các điều kiện của bài toán thành một hệ bất phương trình rồi xác định miền nghiệm của hệ đó.
b) Gọi F (triệu đồng) là lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B. Hãy biểu diễn F theo x và y.
c) Tìm số lượng máy tính mỗi loại cửa hàng cần nhập về trong tháng đó để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

Trả lời:

a) Số máy tính loại A cửa hàng cần nhập trong một tháng là x (máy), số máy tính loại B cửa hàng cần nhập trong một tháng là y (máy) $\left(x,y\ge 0\right)$.
Do tổng nhu cầu hàng tháng sẽ không vượt quá 250 máy: x + y ≤ 250
Tổng số vốn cửa hàng cần nhập hai loại A và B: 10x + 20y (triệu đồng)
Vì số vốn ban đầu không vượt quá 4 tỉ đồng nên ta có: 10x + 20y  ≤ 4 000
Khi đó ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ 10x+20y\le 4000\end{array}\right.$
Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).
Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250 và gach bỏ miền còn lại
– Vẽ đường thẳng d: x + y – 250 = 0.
– Vì 0 + 0 = 0 < 250 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 250
Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 250 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 10x + 20y ≤ 4 000 và gach bỏ miền còn lại
– Vẽ đường thẳng d’: 10x + 20y – 4 000 = 0.
– Vì 10.0 + 20.0 = 0 < 4 000 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 10x + 20y < 4 000
Do đó miền nghiệm D₄ của bất phương trình 10x + 20y < 4 000 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ.
Miền nghiệm của hệ bất phương trình là tứ giác OACB với O(0;0), A(250;0), C(100;150), B(0; 200)

b) Lợi nhuận mà cửa hàng thu được trong tháng đó khi bán x máy tính loại A và y máy tính loại B là: F(x;y) = 2,5x + 4y (triệu đồng).
Vậy F(x;y) = 2x + 4y.
c) Bài toán chuyển về tìm giá trị lớn nhất của F(x;y) với (x;y) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 250\\ 10x+20y\le 4000\end{array}\right.$.
Tại O(0;0): F(0;0) = 2,5.0 + 4.0 = 0;
Tại A(250;0): F(250;0) = 2,5.250 + 4.0 = 625;
Tại C(100;150): F(100;150) = 2,5.100 + 4.150 = 850;
Tại B(0;200): F(0;200) = 2,5.0 + 4.200 = 800.
Do đó F(x;y) lớn nhất bằng 850 với x = 100 và y = 150.
Vậy cửa hàng cần nhập 100 máy loại A, 150 máy loại B để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là 850 triệu đồng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng. Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong năm nay, một cửa hàng điện lạnh dự định kinh doanh hai loại máy điều hòa: điều hòa hai chiều và điều hòa một chiều với số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng.
   

   Cửa hàng ước tính rằng tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại. Nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh mỗi loại bao nhiêu máy để lợi nhuận thu được là lớn nhất?

   Trả lời:

   Sau bài học này ta sẽ giải được bài toán như sau:
   Gọi x, y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và số máy điều hòa một chiều mà chủ cửa hàng đầu tư
   Vì tổng nhu cầu của thị trường sẽ không vượt quá 100 máy cả hai loại nên ta có bất phương trình: x + y ≤ 100
   Số tiền đầu tư là: 20x + 10y (triệu đồng)
   Vì số vốn ban đầu không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên ta có bất phương trình:
   20x + 10y ≤ 1 200 
   Lợi nhuận dự kiến chủ cửa hàng thu được là: F(x;y) = 3,5x + 2y (triệu đồng)
   Bài toán trở thành tìm giá trị x, y thỏa mãn hệ bất phương trình:$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\\ 20x+10y\le 1200\end{array}\right.$

   để F(x;y) = 3,5x + 2y là lớn nhất.
   Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (1) trên mặt phẳng tọa độ bằng cách biểu diễn từng miền nghiệm của từng bất phương trình trong hệ phương trình (1), rồi lấy giao của các miền nghiệm ta được miền nghiệm của hệ BPT (1) là tứ giác OMPN với tọa độ các điểm O(0;0), M(0;100), N(20;80), P(60;0).
    
   

   Tại O(0;0) giá trị biểu thức F(x;y) = 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.0 = 0;
   Tại M(0;100) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.0 + 2.100 = 200;
   Tại N(20;80) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.20 + 2.80 = 230;
   Tại P(60;0) giá trị biểu thức 3,5x + 2y là: 3,5.60 + 2.0 = 210;
   Suy ra tại x = 20, y = 80 thì giá trị biểu thức 3,5x + 2y là lớn nhất.
   Vậy nếu là chủ cửa hàng thì em cần đầu tư kinh doanh 20 loại điều hòa hai chiều, 80 loại điều hòa một chiều để lợi nhuận thu được là lớn nhất.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y. a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thỏa mãn điều kiện gì? b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn điều kiện gì? c) Tính số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều và một chiều mà cửa hàng cần nhập. Tính số tiền vốn cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y.
   a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x và y cần thỏa mãn điều kiện gì?
   b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên x và y phải thỏa mãn điều kiện gì?
   c) Tính số tiền lãi mà chủ cửa hàng dự kiến thu được theo x và y.

   Trả lời:

   Do x và y là số ày điều hòa mà cửa hàng cần nhập nên x ≥ 0, y ≥ 0.
   Số tiền vốn mà chủ cửa hàng phải bỏ ra để nhập hai loại máy điều hòa theo x và y là:
   20x + 10y (triệu đồng)
   a) Do nhu cầu của thị trường không quá 100 máy nên x + y ≤ 100.
   b) Vì số vốn mà chủ cửa hàng có thể đầu tư không vượt quá 1,2 tỉ đồng nên 20x + 10y ≤ 1 200 .
   c) Số tiền lãi mà cửa hàng dự kiến thu được là: 3,5x + 2y (triệu đồng).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều, một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Trong tình huống mở đầu, gọi x và y lần lượt là số máy điều hòa hai chiều, một chiều mà cửa hàng cần nhập. Từ HĐ1, viết hệ bất phương trình hai ẩn x, y và chỉ ra một nghiệm của hệ này.

   Trả lời:

   Từ HĐ1 ta có hệ bất phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 100\\ 20x+10y\le 1200\end{array}\right.$

   Ta có x = 30 > 0, y = 50 > 0 thỏa mãn
   30 + 50 = 80 ≤ 100;
   20.30 + 10.50 = 1 100 ≤ 1 200
   Do đó x = 30, y = 50 là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B. a) Xác định các miền nghiệm D1, D2, D3 của các bất phương trình tương ứng x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 150. b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền nghiệm D1, D2, D3 hay không? c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: x≥0y≥0x+y≤150
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho đường thẳng d: x + y = 150 trên mặt phẳng tọa độ Oxy. Đường thẳng này cắt hai trục tọa độ Ox và Oy tại hai điểm A và B.
   a) Xác định các miền nghiệm D₁, D₂, D₃ của các bất phương trình tương ứng x ≥ 0, y ≥ 0 và x + y ≤ 150.
   b) Miền tam giác OAB (H.2.5) có phải là giao của các miền nghiệm D₁, D₂, D₃ hay không?
   

   c) Lấy một điểm trong tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;2)) hoặc một điểm trên cạnh nào đó của tam giác OAB (chẳng hạn điểm (1;149)) và kiểm tra xem tọa độ của các điểm đó có phải là nghiệm của hệ bất phương trình sau hay không: $\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y\ge 0\\ x+y\le 150\end{array}\right.$

   Trả lời:

   a) Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
   Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1).
   Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 và gạch bỏ miền còn lại
   – Vẽ đường thẳng d: x + y – 150 = 0.
   – Vì 0 + 0 = 0 < 150 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 150
   Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 150 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.
   b) Giao điểm của ba miền nghiệm D₁, D₂, D₃ là miền tam giác OAB với O(0;0), A(150;0) và B(0;150)
   

   Do đó miền tam giác OAB (H.2.5) có là giao của các miền nghiệm D₁, D₂, D₃.
   c) Điểm (1;2) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 2 > 0 và 1 + 2 = 3 < 150 nên cặp sô (x; y) = (1;2) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
   Điểm (1;149) nằm trong tam giác OAB thỏa mãn x = 1 > 0, y = 149 > 0 và 1 + 149 = 150
   ≤ 150 nên cặp sô (x; y) = (1;149) thỏa mãn cả ba bất phương trình của hệ bất phương trình đã cho. Do đó nó là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:x≥0y>0x+y≤1002x+y
   
   

   Câu hỏi:
   

   Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn sau trên mặt phẳng tọa độ:$\left\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ y>0\\ x+y\le 100\\ 2x+y<120\end{array}\right.$

   Trả lời:

   Xác định miền nghiệm D₁ của bất phương trình x ≥ 0 là nửa mặt phẳng bờ Oy chứa điểm (1;0).
   Miền nghiệm D₂ của bất phương trình y > 0 là nửa mặt phẳng bờ Ox chứa điểm (0;1) không kể biên.
   Miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100:
   – Vẽ đường thẳng d: x + y – 100 = 0.
   – Vì 0 + 0 = 0 < 100 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình x + y ≤ 100
   Do đó miền nghiệm D₃ của bất phương trình x + y ≤ 100 là nửa mặt phẳng bờ d chứa gốc tọa độ.
   Miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120:
   – Vẽ đường thẳng d’: 2x + y – 120 = 0.
   – Vì 2.0 + 0 = 0 < 120 nên tọa độ điểm O(0;0) thỏa mãn bất phương trình 2x + y < 120
   Do đó miền nghiệm D₄ của bất phương trình 2x + y < 120 là nửa mặt phẳng bờ d’ chứa gốc tọa độ không kể biên.
   Vậy miền nghiệm của hệ bất phương tình là miền tứ giác OACB với O(0;0), A(60;0), C(20;80), B(0;100).
   

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====