Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là 1/6 m. a) Viết phương trình chính tắc của (P). b) Tính khoảng cách từ một điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F.

Câu hỏi:

Mặt cắt của một chảo ăng-ten là một phần của parabol (P). Cho biết đầu thu tín hiệu đặt tại tiêu điểm F cách đỉnh O của chảo một khoảng là 1/6 m.

a) Viết phương trình chính tắc của (P).
b) Tính khoảng cách từ một điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Gọi phương trình chính tắc của parabol là $y^{2}$ = 2px (p > 0).
Ta có p/2 = OF = 1/6 p = 1/3
=> phương trình chính tắc của parabol là $y^{2}$ = 2/3 x
b) Theo công thức bán kính qua tiêu ta có:
MF = x + p/2 = 0,06 + 1/6 = 59/150 (m).
Vậy khoảng cách từ điểm M(0,06; 0,2) trên ăng-ten đến F là 59/150 mét.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau: a) x2169+y2144=1; b) x225−y2144=1; c) y2= 11x.

Câu hỏi:

Tìm toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) của các conic sau:
a) $\frac{x^{2}}{169} + \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;
b) $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{144} = 1$ ;
c) $y^{2}$ = 11x.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Elip có $a^{2} = 169, b^{2} = 144$ => a = 13, b = 12, $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{169 - 144} = 5.$
Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–13; 0), A₂(13; 0), B₁(0; –12), B₂(0; 12).
Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–5; 0), F₂(5; 0).
Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = a + c/a x = 13 + 5/13 x; MF₂ = a – c/a x = 13 – 5/13x.
b) Hypebol có $a^{2} = 25, b^{2} = 144$ => a = 5, b = 12, $c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{25 + 144} = 13.$
Toạ độ các đỉnh của hypebol là A₁(–5; 0), A₂(5; 0).
Toạ độ các tiêu điểm của hypebol là F₁(–13; 0), F₂(13; 0).
Các bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF₁ = $| a + \frac{c}{a} x | = | 5 + \frac{13}{5} x |;$ MF₂ = $| a - \frac{c}{a} x | = | 5 - \frac{13}{5} x | .$
c) Parabol có 2p = 11, suy ra p = 11/2
Toạ độ đỉnh của parabol là O(0; 0).
Toạ độ tiêu điểm của parabol là F $(\frac{11}{4}; 0) .$
Bán kính qua tiêu ứng với điểm M(x; y) là MF = x + p/2 = x + 11/4

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho elip (E):x225+y29=1. a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E). b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E). c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Câu hỏi:

Cho elip $(E) : \frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ .
a) Xác định toạ độ các đỉnh, tiêu điểm và tìm tâm sai của (E).
b) Viết phương trình chính tắc của parabol (P) có tiêu điểm là tiêu điểm có hoành độ dương của (E).
c) Viết phương trình chính tắc của hypebol (H) có hai đỉnh là hai tiêu điểm của (E), hai tiêu điểm là hai đỉnh của (E). Tìm tâm sai của (H).

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Có $a^{2} = 25, b^{2} = 9$ => a = 5, b = 3, $c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{25 - 9} = 4, \frac{c}{a} = \frac{4}{5} .$
Toạ độ các đỉnh của elip là A₁(–5; 0), A₂(5; 0), B₁(0; –3), B₂(0; 3).
Toạ độ các tiêu điểm của elip là F₁(–4; 0), F₂(4; 0).
Tâm sai của elip là e = 4/5
b) Gọi phương trình chính tắc của (P) là $y^{2}$ = 2px (p > 0).
(P) có tiêu điểm là F₂(4; 0) => p/2 = 4 => p = 8
=> Phương trình chính tắc của parabol (P) là $y^{2}$ = 16x.
c) Gọi phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > 0, b > 0).
(H) có hai đỉnh là F₁(–4; 0), F₂(4; 0); hai tiêu điểm là A₁(–5; 0), A₂(5; 0)
=> a = 4, c = 5 => b = $\sqrt{c^{2} - a^{2}} = \sqrt{5^{2} - 4^{2}} = 3.$
Vậy phương trình chính tắc của (H) là $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau: a) x216+y212=1; b) x214−y22=1; c) y2 = 7x.

Câu hỏi:

Xác định tâm sai, tiêu điểm và đường chuẩn tương ứng của mỗi đường conic sau:
a) $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ ;
b) $\frac{x^{2}}{14} - \frac{y^{2}}{2} = 1$ ;
c) $y^{2}$ = 7x.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Đây là một elip.
Có $a^{2} = 16, b^{2} = 12$ $\Rightarrow a = 4, b = 2 \sqrt{3}, c = \sqrt{a^{2} - b^{2}} = \sqrt{16 - 12} = 2,$
e = $\frac{c}{a} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}, \frac{a}{e} = \frac{4}{\frac{1}{2}} = 8.$
Suy ra elip có tiêu điểm F_{1 $(- 2; 0)$}đường chuẩn Δ₁: x = -8; tiêu điểm F_2(2;0), đường chuẩn Δ₁: x = 8 và tâm sai e = 1/2
b) Đây là một hypebol.
Có $a^{2} = 14, b^{2} = 2$ $\Rightarrow a = \sqrt{14}, b = \sqrt{2}, c = \sqrt{a^{2} + b^{2}} = \sqrt{14 + 2} = \sqrt{16} = 4,$
e = $\frac{c}{a} = \frac{4}{\sqrt{14}} = \frac{2 \sqrt{14}}{7}, \frac{a}{e} = \frac{\sqrt{14}}{\frac{2 \sqrt{14}}{7}} = \frac{7}{2} .$
Suy ra hypebol có tiêu điểm F_{1(-4;0_}, đường chuẩn Δ₁: x = –7/2; tiêu điểm F_2(4;0), đường chuẩn Δ₁: x = 7/2 và tâm sai e = $\frac{2 \sqrt{14}}{7} .$
c) Đây là một parabol.
CÓ 2p = 7, suy ra p = 7/2
Suy ra parabol có tiêu điểm F(7/4;0) đường chuẩn Δ: x = -7/4 và tâm sai e = 1.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau: a) e = 1/2; b) e = 1; c) e = 2.

Câu hỏi:

Cho đường thẳng d: x + y – 1 = 0 và điểm F(1; 1). Viết phương trình đường conic nhận F là tiêu điểm, d là đường chuẩn và có tâm sai e trong mỗi trường hợp sau:
a) e = 1/2;
b) e = 1;
c) e = 2.

Trả lời:

Hướng dẫn giải
a) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có:
$\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = \frac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{1}{2} . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{8}$
$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{8}$
$\Leftrightarrow 8 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$
$\Leftrightarrow 7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$
Vậy phương trình của conic đã cho là $7 x^{2} + 7 y^{2} - 2 x y - 14 x - 14 y + 15 = 0.$
b) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 1$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{2}}$
$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = \frac{{| x + y - 1 |}^{2}}{2}$
$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = \frac{x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y}{2}$
$\Leftrightarrow 2 (1 - 2 x + x^{2} + 1 - 2 y + y^{2}) = x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y$
$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$
Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} - 2 x y - 2 x - 2 y + 1 = 0.$
c) Gọi M(x; y) là điểm bất kì thuộc conic. Khi đó, ta có: $\frac{M F}{d (M; Δ)} = e$ $\Leftrightarrow \frac{\sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}}}{\frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}} = 2$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = 2 . \frac{| x + y - 1 |}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}}$
$\Leftrightarrow \sqrt{{(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2}} = \sqrt{2} . | x + y - 1 |$
$\Leftrightarrow {(1 - x)}^{2} + {(1 - y)}^{2} = 2 {| x + y - 1 |}^{2}$
$\Leftrightarrow (1 - 2 x + x^{2}) + (1 - 2 y + y^{2}) = 2 (x^{2} + y^{2} + 1 + 2 x y - 2 x - 2 y)$
$\Leftrightarrow x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$
Vậy phương trình của conic đã cho là $x^{2} + y^{2} + 4 x y - 2 x - 2 y = 0.$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng. Nguồn: https://www. universetoday.com

Câu hỏi:

Mặt Trăng chuyển động theo một quỹ đạo là đường elip có tâm sai bằng 0,0549 và nhận tâm Trái Đất là một tiêu điểm. Biết khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 362600 km. Tính khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng.
Nguồn: https://www. universetoday.com

Trả lời:

Hướng dẫn giải
Chọn hệ trục toạ độ sao cho tâm Trái Đất trùng với tiêu điểm F₁ của elip và trục Ox đi qua hai tiêu điểm của elip, đơn vị trên các trục toạ độ là kilômét.
Khi đó phương trình của elip có dạng $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a > b > 0).
Gọi toạ độ của Mặt Trăng là M(x; y) thì khoảng cách giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là MF₁ = a – ex ≥ a – ea (vì x ≤ a). Do đó khoảng cách gần nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là a – ea, suy ra a – ea = 362600 =>a = $\frac{362600}{1 - e} .$
Mặt khác vì x ≥ –a nên a – ex ≤ a + ea nên khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là a + ea = a(1 + e) = $\frac{362600}{1 - e} (1 + e) \approx$ 404726 (km).
Vậy khoảng cách xa nhất giữa tâm Trái Đất và tâm Mặt Trăng là 404726 km.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy