Chứng minh nn > (n + 1)n – 1 với n ∈ ℕ*, n ≥ 2.

Câu hỏi:

Chứng minh nⁿ > (n + 1)^{n – 1} với n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

Trả lời:

+) Khi n = 2, ta có: 2² > (2 + 1)^{2 – 1} $\Leftrightarrow$ 4 > 3.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý (k ≥ 2) mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: (k + 1)^{k + 1} > [(k+1) + 1]^{(k + 1) – 1}.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: k^k > (k + 1)^{k – 1}.
Suy ra: k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^{k – 1} . (k + 1)^{k + 1}
$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k + 1)^2k
$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > [(k + 1)²]^k
$\Rightarrow$ k^k . (k + 1)^{k + 1} > (k² + 2k + 1)^k > (k² + 2k)^k = [k(k + 2)]^k = k^k . (k + 2)^k
$\Rightarrow$ (k + 1)^{k + 1} > (k + 2)^k = (k + 2)^{(k + 1) – 1}
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề P(n) đúng với mọi n $\in$ ℕ^*, n ≥ 2.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2” với n là số nguyên dương. a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng. b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu. c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k2 + [2(k + 1) – 1] = (k+1)2.

Câu hỏi:

Xét mệnh đề chứa biến P(n) : “1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n²” với n là số nguyên dương.
a) Chứng tỏ rằng P(1) là mệnh đề đúng.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, cho biết 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) bằng bao nhiêu.
c) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng, chứng tỏ rằng P(k+1) cũng là mệnh đề đúng bằng cách chỉ ra k² + [2(k + 1) – 1] = (k+1)².

Trả lời:

a) Ta có P(1): “1 = 1²“. Mệnh đề này đúng vì 1² = 1.
b) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà P(k) là mệnh đề đúng thì 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) = k².
c) Khi P(k) là mệnh đề đúng. Ta có:
P(k+1) = 1 + 3 + 5 + … + (2k – 1) + [2(k+1) – 1] = P(k) + [2(k+1) – 1]
= k² + [2(k+1) – 1] = k² + (2k + 2 – 1) = k² + 2k + 1 = (k+1)²
Vậy P(k+1) cũng là mệnh đề đúng.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh rằng với mọi n ∈ ℕ* ta có: a) 11+2+12+3+…+1n+n+1=n+1−1. b) 23−123+1⋅33−133+1⋅43−143+1⋯n3−1n3+1=2n2+n+13n(n+1).

Câu hỏi:

Chứng minh rằng với mọi n $\in$ ℕ^* ta có:
a) $\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n} + \sqrt{n + 1}} = \sqrt{n + 1} - 1.$
b) $\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{n^{3} - 1}{n^{3} + 1} = \frac{2 (n^{2} + n + 1)}{3 n (n + 1)} .$

Trả lời:

a)

+) Khi n = 1, ta có:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{(\sqrt{1} + \sqrt{2}) (\sqrt{2} - 1)} = \frac{\sqrt{2} - 1}{{(\sqrt{2})}^{2} - 1^{2}} = \frac{\sqrt{2} - 1}{1} = \sqrt{2} - 1 = \sqrt{1 + 1} - 1.$
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}} = \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} = \sqrt{k + 1} - 1.$
Khi đó:
$\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= \frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}} + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\frac{1}{\sqrt{1} + \sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2} + \sqrt{3}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{k} + \sqrt{k + 1}}) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{1}{\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{(\sqrt{k + 1} + \sqrt{(k + 1) + 1}) (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{[(k + 1) + 1] - (k + 1)}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + \frac{\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1}}{1}$
$= (\sqrt{k + 1} - 1) + (\sqrt{(k + 1) + 1} - \sqrt{k + 1})$
$= \sqrt{(k + 1) + 1} - 1.$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
b)
+) Khi n = 2, ta có:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} = \frac{7}{9} = \frac{2 (2^{2} + 2 + 1)}{3 . 2 (2 + 1)} .$
Vậy mệnh đề đúng với n = 2.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1} = \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} = \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} .$
Khi đó:
$\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= (\frac{2^{3} - 1}{2^{3} + 1} \cdot \frac{3^{3} - 1}{3^{3} + 1} \cdot \frac{4^{3} - 1}{4^{3} + 1} \dots \frac{k^{3} - 1}{k^{3} + 1}) . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{{(k + 1)}^{3} - 1}{{(k + 1)}^{3} + 1}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{[(k + 1) - 1] [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [{(k + 1)}^{2} - (k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] [(k^{2} + 2 k + 1) - (k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 (k^{2} + k + 1)}{3 k (k + 1)} . \frac{k [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1] (k^{2} + k + 1)}$
$= \frac{2}{3 (k + 1)} . \frac{[{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{[(k + 1) + 1]}$
$= \frac{2 [{(k + 1)}^{2} + (k + 1) + 1]}{3 (k + 1) [(k + 1) + 1]} .$

Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh với mọi n ∈ ℕ*, (1+2)n, (1−2)n lần lượt viết được ở dạng an+bn2, an−bn2, trong đó an, bn là các số nguyên dương.

Câu hỏi:

Chứng minh với mọi n $\in$ ℕ^*, ${(1 + \sqrt{2})}^{n}, {(1 - \sqrt{2})}^{n}$ lần lượt viết được ở dạng $a_{n} + b_{n} \sqrt{2}, a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ , trong đó a_n, b_n là các số nguyên dương.

Trả lời:

+) Khi n = 1, ta có:
${(1 + \sqrt{2})}^{1} = 1 + \sqrt{2} = 1 + 1 . \sqrt{2} \Rightarrow$ a₁ = 1, b₁ = 1.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: ${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1}$ viết được dưới dạng $a_{k + 1} + b_{k + 1} \sqrt{2},$ trong đó a_{k + 1}, b_{k + 1}là các số nguyên dương.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có:
${(1 + \sqrt{2})}^{k} = a_{k} + b_{k} \sqrt{2},$ với a_k, b_klà các số nguyên dương.
Khi đó:
${(1 + \sqrt{2})}^{k + 1} = {(1 + \sqrt{2})}^{k} (1 + \sqrt{2})$
$= (a_{k} + b_{k} \sqrt{2}) (1 + \sqrt{2})$
$= a_{k} . 1 + b_{k} \sqrt{2} . 1 + a_{k} . \sqrt{2} + b_{k} \sqrt{2} . \sqrt{2}$
$= a_{k} + b_{k} \sqrt{2} + a_{k} \sqrt{2} + 2 b_{k}$
$= (a_{k} + 2 b_{k}) + (a_{k} + b_{k}) \sqrt{2} .$
Vì a_k, b_klà các số nguyên dương nên a_k + 2b_k và a_k + b_k cũng là các số nguyên dương.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.
+) Theo chứng minh trên ta có:
Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 + \sqrt{2})}^{n} = a_{n} - b_{n} \sqrt{2}$ với a_n, b_nlà các số nguyên dương.
Chứng minh tương tự ta được:
Với mọi n $\in$ ℕ^* thì ${(1 - \sqrt{2})}^{n} = c_{n} - d_{n} \sqrt{2}$ với c_n, d_nlà các số nguyên dương.
Giờ ta chứng minh a_n = c_n và b_n = d_n với mọi n $\in$ ℕ^*.

Ta có: ${(1 + \sqrt{2})}^{n} {(1 - \sqrt{2})}^{n} = {[(1 + \sqrt{2}) (1 - \sqrt{2})]}^{n} = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow (a_{n} + b_{n} \sqrt{2}) (c_{n} - d_{n} \sqrt{2}) = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow (a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n}) + (b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n}) \sqrt{2} = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow \{\begin{cases} a_{n} c_{n} - 2 b_{n} d_{n} = {(- 1)}^{n} (1) \\ b_{n} c_{n} - a_{n} d_{n} = 0 (2) \end{cases} .$
Từ (2) ta suy ra $a_{n} d_{n} = b_{n} c_{n} \Rightarrow \frac{a_{n}}{c_{n}} = \frac{b_{n}}{d_{n}} = k$ với k > 0 (vì a_n, b_n, c_n, d_nlà các số nguyên dương)
$\Rightarrow a_{n} = k c_{n}, b_{n} = k d_{n} .$ Thế vào (1) ta được:
$(k c_{n}) c_{n} - 2 (k d_{n}) d_{n} = {(- 1)}^{n} \Rightarrow k (c_{n}^{2} - 2 d_{n}^{2}) = {(- 1)}^{n}$
$\Rightarrow 1 ⋮ k \Rightarrow k = 1 \Rightarrow$ a_n = c_n và b_n = d_n.
Vậy ta có điều phải chứng minh.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Chứng minh 16n – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n∈ℕ*.

Câu hỏi:

Chứng minh 16ⁿ – 15n – 1 chia hết cho 225 với mọi n $\in$ ℕ^*.

Trả lời:

+) Khi n = 1, ta có: 16¹ – 15n – 1 = 0 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 chia hết cho 225.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: 16^k – 15k – 1 chia hết cho 225.
Khi đó:
16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1
= 16 . 16^k – 15k – 16
= 16 . 16^k – (240k – 225k) – 16
= 16 . 16^k – 240k + 225k – 16
= 16 . 16^k – 240k – 16 + 225k
= 16 (16^k – 15k – 1) + 225k
Vì (16^k – 15k – 1) và 225k đều chia hết cho 225 nên 16 (16^k – 15k – 1) + 225k ⁝ 225, do đó 16^{k + 1} – 15(k + 1) – 1 ⁝ 225.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
Cho Sn = 1 + 2 + 22 +… + 2n và Tn = 2n + 1 – 1, với n ℕ*. a) So sánh S1 và T1; S2 và T2; S3 và T3. b) Dự đoán công thức tính Sn và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Câu hỏi:

Cho S_n = 1 + 2 + 2² +… + 2ⁿ và T_n = 2^{n + 1} – 1, với n ℕ^*.
a) So sánh S₁ và T₁; S₂ và T₂; S₃ và T₃.
b) Dự đoán công thức tính S_n và chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học.

Trả lời:

a) S₁ = 1 + 2¹ = 3, S₂ = 1 + 2 + 2² = 7, S₃ = 1 + 2 + 2² + 2³ = 15.
T₁ = 2^{1 + 1} – 1 = 3, T₂ = 2^{2 + 1} – 1 = 7, T₃ = 2^{3 + 1} – 1 = 15.
Vậy S₁ = T₁; S₂ = T₂; S₃ = T₃.
b) Ta dự đoán S_n = T_n với n ℕ^*.
+) Khi n = 1, ta có: S₁ = T₁.
Vậy mệnh đề đúng với n = 1.
+) Với k là một số nguyên dương tuỳ ý mà mệnh đề đúng, ta phải chứng minh mệnh đề cũng đúng với k + 1, tức là: S_{k + 1} = T_{k + 1}.
Thật vậy, theo giả thiết quy nạp ta có: S_k = T_k.
Khi đó:
S_{k + 1} = 1 + 2 + 2² +… + 2^k + 2^{k + 1}
= S_k + 2^{k + 1}
= T_k + 2^{k + 1}
= (2^{k + 1} – 1) + 2^{k + 1}
= 2 . 2^{k + 1} – 1
= 2^{k + 2} – 1
= 2^{(k + 1) + 1} – 1
=T_{k + 1}.
Vậy mệnh đề cũng đúng với n = k + 1. Do đó theo nguyên lí quy nạp toán học, mệnh đề đã cho đúng với mọi n $\in$ ℕ^*. Vậy S_n = T_n = 2ⁿ^{+ 1} – 1 với n $\in$ ℕ^*.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Câu hỏi:

Trả lời:

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy