Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Câu hỏi:

Cho tứ giác ABCD, M là điểm thay đổi trong mặt phẳng thỏa mãn \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = 0\). Chứng minh M luôn nằm trên đường tròn cố định.

Trả lời:

Lời giải
Gọi I và J lần lượt là trung điểm của AB và CD.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} = \overrightarrow 0 \)
⇒ \(\left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MD} } \right) = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(\left( {2\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} + \overrightarrow {IB} } \right).\,\left( {2\overrightarrow {MJ} + \overrightarrow {JC} + \overrightarrow {JD} } \right) = \overrightarrow 0 \)
⇔\(4\overrightarrow {MI} .\,\overrightarrow {MJ} = \overrightarrow 0 \)
⇔ \(\widehat {{\rm{IMJ}}} = 90^\circ \)
Vậy M là điểm thuộc đường tròn đường kính IJ.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)2 + (cosα . tanα)2 bằng: A. 2. B. tan2α + cot2α. C. 1. D. sinα + cosα.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc nhọn α. Biểu thức (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)² bằng:
   A. 2.
   B. tan²α + cot²α.
   C. 1.
   D. sinα + cosα.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   Ta có: (sinα . cotα)² + (cosα . tanα)²
   = (sinα.\(\frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{\sin \alpha }}\))² + (cosα.\(\frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{cos\alpha }}\))²
   = cos²α + sin²α
   = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng? A.a→.b→ =|a→|.|b→|.|cos⁢(a→;b→)|. B. \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\). C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{sin}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\). D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho các vectơ \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \). Phát biểu nào sau đây là đúng?
   $A.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}\mathrm{ }=\left|\overrightarrow{a}\right|.\left|\overrightarrow{b}\right|.|\cos (\overrightarrow{a};\overrightarrow{b})|.$
   B. \(\left| {\overrightarrow a .\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   C. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{sin}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).
   D. \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là D
   Với \(\overrightarrow a ,\overrightarrow b \ne \overrightarrow 0 \) ta có: \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.{\rm{cos}}\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng: A. CD2. B. 0. C. \(\overrightarrow 0 \). D. 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD. Biểu thức \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} \) bằng:
   A. CD².
   B. 0.
   C. \(\overrightarrow 0 \).
   D. 1.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là B
   Ta có: \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {BC} .\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} .\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {CD} .\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CA} } \right)\)
   \( = \overrightarrow {CD} .\overrightarrow 0 = 0\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng: A. tanα + cotα. B. tan2α C. 1. D. tan2α + cot2α.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc nhọn α. Biểu thức tanα . tan(90°– α) bằng:
   A. tanα + cotα.
   B. tan²α
   C. 1.
   D. tan²α + cot²α.

   Trả lời:

   Lời giải
   Đáp án đúng là C
   tanα . tan(90°– α)
   = tanα . cotα
   = 1.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho α thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau: 0° < α < 90°;
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho α thỏa mãn \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\). Tính cosα, tanα, cotα, sin(90° – α), cos(90° – α), sin(180° – α), cos(180° – α) trong các trường hợp sau:
   0° < α < 90°;

   Trả lời:

   Lời giải
   Ta có: \({\sin ^2}\alpha + co{s^2}\alpha = 1\)
   ⇔ \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^2} + co{s^2}\alpha = 1\)
   ⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 – {\left( {\frac{3}{5}} \right)^2}\)
   ⇔ \(co{s^2}\alpha = 1 – \frac{9}{{25}} = \frac{{16}}{{25}}\)
   ⇔ \(cos\alpha = \frac{4}{5}\) hoặc \(cos\alpha = – \frac{4}{5}\)
   Vì 0° < α < 90° nên \(cos\alpha = \frac{4}{5}\)
   ⇒ \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{cos\alpha }} = \frac{{\frac{3}{5}}}{{\frac{4}{5}}} = \frac{3}{4}\)
   ⇒ \(\cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\frac{3}{4}}} = \frac{4}{3}\)
   Áp dụng công thức lượng giác của hai góc bù nhau, ta được:
   sin(90° – α) = cosα = \(\frac{4}{5}\);
   cos(90° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
   sin(180° – α) = sinα = \(\frac{3}{5}\);
   cos(180° – α) = –cosα = \( – \frac{4}{5}\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====