Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết MD→+ME→+MF→ cùng phương với BC→.

Câu hỏi:

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm M bất kì nằm trong tam giác có hình chiếu xuống BC, CA, AB theo thứ tự là D, E, F. Tìm tập hợp điểm M biết $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$.

A. M thuộc đoạn PQ với P và Q lần lượt là trung điểm của AB và AC;

Đáp án chính xác

B. M thuộc đoạn FQ với Q là trung điểm của AC;

C. M thuộc đoạn AD;

D. M thuộc đoạn ME.

Trả lời:

Hướng dẫn giải:  
Đáp án đúng là: A.

Xét tứ giác AEMF có: $\widehat{EAF}=\widehat{AEM}=\widehat{MFA}=90°$.
Do đó, AEMF là hình chữ nhật.
Áp dụng quy tắc hình bình hành ta có: $\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MA}$.
Do đó ta có: $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}$.
Gọi I là trung điểm của AD.
Khi đó, $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}=\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{MA}=2\overrightarrow{MI}$.
Để $\overrightarrow{MD}+\overrightarrow{ME}+\overrightarrow{MF}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$ thì $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{BC}$
Do đó, $\overrightarrow{MI}$ cùng phương với $\overrightarrow{PQ}$ (do PQ là đường trung bình của tam giác ABC song song với cạnh BC).
Vì M nằm trong tam giác ABC.
Do đó M thuộc đoạn PQ.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Điểm I thỏa mãn IA→+2IB→=0→ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điểm I thỏa mãn $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$ là:

   A. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$;

   Đáp án chính xác

   B. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ A về B với $IA=\frac{2}{3}AB$;

   C. I nằm trên nửa đường thẳng song song với AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$;

   D. I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{1}{3}AB$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Theo quy tắc ba điểm, ta có: $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{IA}+2\left(\overrightarrow{IA}+\overrightarrow{AB}\right)=3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}$.
   Mà $\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}$
   Do đó: $3\overrightarrow{IA}+2\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{0}$
   $\iff \overrightarrow{IA}=-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\iff \overrightarrow{IA}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BA}$
   Vậy I nằm trên nửa đường thẳng AB theo hướng từ B về A với $IA=\frac{2}{3}AB$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Điểm K thỏa mãn: KA→+2KB→=CB→ là:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Điểm K thỏa mãn: $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$ là:

   A. K là trung điểm của BC;

   B. K là trọng tâm của tam giác ABC;

   Đáp án chính xác

   C. K là trực tâm của tam giác ABC;

   D. K là trung điểm của AB.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Ta có:
   $\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}=\overrightarrow{CB}$
   $\iff \overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{0}$
   $\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BC}\right)=\overrightarrow{0}$
   $\iff \overrightarrow{KA}+\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{KC}=\overrightarrow{0}$
   Vậy K là trọng tâm của tam giác ABC.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC. Điểm P thỏa mãn CP→=KA→+2KB→−3KC→ với K tùy ý là điểm thỏa mãn:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-3\overrightarrow{KC}$ với K tùy ý là điểm thỏa mãn:

   A. $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

   Đáp án chính xác

   B. $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}-2\overrightarrow{CB}$

   C. $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$

   D. $\overrightarrow{CP}=2\overrightarrow{CA}–2\overrightarrow{CB}$

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Ta có:
   $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{KA}+2\overrightarrow{KB}-3\overrightarrow{KC}$
   $\iff \overrightarrow{CP}=\left(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CA}\right)+2\left(\overrightarrow{KC}+\overrightarrow{CB}\right)-3\overrightarrow{KC}$    (quy tắc ba điểm)
   $\iff \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$
   Vậy tập hợp điểm P thỏa mãn $\overrightarrow{CP}=\overrightarrow{CA}+2\overrightarrow{CB}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn OB→+4OC→=2OD→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD, I là trung điểm BD. Tìm điểm O thỏa mãn $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$

   A. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{5}{3}\overrightarrow{IC}$;

   B. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{IC}$;

   Đáp án chính xác

   C. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\overrightarrow{IC}$;

   D. O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{2}{3}\overrightarrow{IC}$.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Ta có:
   $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}=2\overrightarrow{OD}$
   $\iff \overrightarrow{OB}+4\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BC}\right)=2\left(\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BD}\right)$  (quy tắc ba điểm)
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\left(\overrightarrow{BD}-\overrightarrow{BC}\right)-2\overrightarrow{BC}$   (quy tắc trừ hai vectơ)
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}-4\overrightarrow{BC}$
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{BD}+4\overrightarrow{CB}$
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\left(\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BD}\right)+2\overrightarrow{CB}$
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=2\overrightarrow{CD}+2\overrightarrow{CB}$     (quy tắc ba điểm)
   $\iff 3\overrightarrow{OB}=4\overrightarrow{CI}$       (do I là trung điểm của BD nên $\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{CB}=2\overrightarrow{CI}$)
   $\iff \overrightarrow{OB}=\frac{4}{3}\overrightarrow{CI}$
   

   Vậy O là đỉnh của hình bình hành IBON với $\overrightarrow{IN}=\frac{4}{3}\overrightarrow{IC}$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho OB→+4OC→−2OD→=0→. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức MB→+4MC→−2MD→=3MA→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tứ giác ABCD và điểm O bất kì sao cho $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$. Tìm điểm M thỏa mãn hệ thức $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$.

   A. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA;

   Đáp án chính xác

   B. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng DA;

   C. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CA;

   D. M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng CD.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   Ta có:
   $\left|\overrightarrow{MB}+4\overrightarrow{MC}-2\overrightarrow{MD}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$
   $\iff \left|\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OB}\right)+4\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OC}\right)-2\left(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OD}\right)\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$ (quy tắc ba điểm)
   $\iff \left|3\overrightarrow{MO}+\left(\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}\right)\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$
   $\iff \left|3\overrightarrow{MO}\right|=\left|3\overrightarrow{MA}\right|$            (do $\overrightarrow{OB}+4\overrightarrow{OC}-2\overrightarrow{OD}=\overrightarrow{0}$)
   $\iff \left|\overrightarrow{MO}\right|=\left|\overrightarrow{MA}\right|$
   ⇔ MO = MA.
   Vậy M thuộc đường trung trực của đoạn thẳng OA.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====