Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Câu hỏi:

Cho lục giác ABCDEF. Gọi M, N, P, Q, R, S theo thứ tự là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DE, EF, FA. Chứng minh rằng hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

Trả lời:

Lời giải

+)
Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC
Nên MN là đường trung bình của tam giác ABC.
MN // AC và \(MN = \frac{1}{2}AC\) (tính chất đường trung bình)
Do đó \(\overrightarrow {MN} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \)(1)
Chứng minh tương tự ta cũng có: \(\overrightarrow {PQ} = \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} \)(2)
Và \(\overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)(3)
Từ (1), (2) và (3) ta có:
\(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CE} + \frac{1}{2}\overrightarrow {EA} \)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CE} + \overrightarrow {EA} } \right)\)
\( = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EA} } \right)\) (quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}\overrightarrow {{\rm{AA}}} \)(quy tắc ba điểm)
\( = \frac{1}{2}.\overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \)
+) Giả sử G và G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác MPR và tam giác NQS.
Khi đó ta có: \(\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} = \overrightarrow 0 \) và \(\overrightarrow {NG’} + \overrightarrow {QG’} + \overrightarrow {SG’} = \overrightarrow 0 \) hay \(\overrightarrow {G’N} + \overrightarrow {G’Q} + \overrightarrow {G’S} = \overrightarrow 0 \)
Mặt khác: theo quy tắc ba điểm ta có:
+) \(\overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’N} ;\)
+) \(\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’Q} ;\)
+) \(\overrightarrow {RS} = \overrightarrow {RG} + \overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’S} ;\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} + 3.\overrightarrow {GG’} + \overrightarrow {G’N} + \overrightarrow {G’Q} + \overrightarrow {G’S} \)
\( = \left( {\overrightarrow {MG} + \overrightarrow {PG} + \overrightarrow {RG} } \right) + 3.\overrightarrow {GG’} + \left( {\overrightarrow {G’N} + \overrightarrow {G’Q} + \overrightarrow {G’S} } \right)\)
\( = \overrightarrow 0 + 3.\overrightarrow {GG’} + \overrightarrow 0 \)
\( = 3.\overrightarrow {GG’} \)
+) Lại có \(\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} + \overrightarrow {RS} = \overrightarrow 0 \) (chứng minh trên)
Nên \(3\overrightarrow {GG’} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GG’} = \overrightarrow 0 \)
Suy ra G và G’ trùng nhau.
Vậy hai tam giác MPR và NQS có cùng trọng tâm.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Gọi D, E tương ứng là trung điểm của BC, CA. Hãy biểu thị các vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {CA} \) theo hai vectơ \(\overrightarrow {AD} \) và \(\overrightarrow {BE} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Ta có:
   +) D là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \)
   +) E là trung điểm của AC nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} \)
   Do đó \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AE} = 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right)\)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} } \right) = 2\overrightarrow {AD} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \)
   \( \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {AD} \)
   \( \Rightarrow 3\overrightarrow {AB} = 2\overrightarrow {AD} – 2\overrightarrow {BE} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   +) Vì \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} \) nên \(\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \overrightarrow {AB} \)
   Mà \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {CA} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   +) \(\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} – \overrightarrow {AB} \) (quy tắc hiệu)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \left( {\frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right) – \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} } \right)\)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} – \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \)
   Vậy \(\overrightarrow {AB} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} ;\) \(\overrightarrow {BC} = \frac{2}{3}\overrightarrow {AD} + \frac{4}{3}\overrightarrow {BE} \) và \(\overrightarrow {CA} = – \frac{4}{3}\overrightarrow {AD} – \frac{2}{3}\overrightarrow {BE} .\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác OAB vuông cân, với OA = OB = a. Hãy xác định độ dài của các vectơ sau \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} ,\) \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} ,\) \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Gọi C là điểm thoả mãn OACB là hình bình hành
   Mà ∆OAB vuông cân có OA = OB nên OACB là hình vuông
   OC = AB
   Mà AB² = OA² + OB² (định lí Pythagoras)
   AB² = a² + a² = 2a²
   \( \Rightarrow OC = AB = a\sqrt 2 \)
   +) Có: \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OC} \) (quy tắc hình bình hành)
   \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OC} } \right| = OC = a\sqrt 2 \)
   +) Có: \(\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {BO} = \overrightarrow {BO} + \overrightarrow {OA} = \overrightarrow {BA} \)
   \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = a\sqrt 2 \)
   +) Lấy điểm D sao cho \(\overrightarrow {OD} = 2\overrightarrow {OB} \) nên hai vectơ \(\overrightarrow {OD} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OD = 2OB.
   Có: \(\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} \)
   Vẽ hình chữ nhật OAED, khi đó \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OD} = \overrightarrow {OE} \)
   \( \Rightarrow \left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {OE} } \right| = OE\)
   Mà OE² = OD² + DE² (định lí Pythagoras)
   OE² = (2OB)² + OA²
   OE² = (2a)² + a² = 5a²
   \( \Rightarrow OE = a\sqrt 5 \)
   Do đó \(\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \)
   +) Lấy điểm G sao cho \(\overrightarrow {OG} = 2\overrightarrow {OA} ,\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OB} \)
   Khi đó: hai vectơ \(\overrightarrow {OG} \), \(\overrightarrow {OA} \) cùng hướng và OG = 2OA;
   Và hai vectơ \(\overrightarrow {OH} \), \(\overrightarrow {OB} \) cùng hướng và OH = 3OB.
   Có: \(2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {OG} – \overrightarrow {OH} \)
   \( = \overrightarrow {OG} + \overrightarrow {HO} \) \( = \overrightarrow {HO} + \overrightarrow {OG} \)
   \( = \overrightarrow {HG} \)
   \( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = \left| {\overrightarrow {HG} } \right| = HG\)
   Mà HG² = OG² + OH² (định lí Pythagoras)
   HG² = (2OA)² + (3OB)²
   HG² = (2a)² + (3a)²
   HG² = 13a²
   \( \Rightarrow HG = a\sqrt {13} \)
   Do đó \(\left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)
   Vậy \(\left| {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\(\left| {\overrightarrow {OA} – \overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 2 ;\)\(\left| {\overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt 5 \) và \(\left| {2\overrightarrow {OA} – 3\overrightarrow {OB} } \right| = a\sqrt {13} .\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
   Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Kẻ đường kính AD. Hai điểm B, C thuộc đường tròn đường kính AD nên \(\widehat {ABD} = \widehat {ACD} = 90^\circ \)
   Hay BD ⊥ AB, CD ⊥ AC
   Lại có H là trực tâm ∆ABC nên BH ⊥ AC, CH ⊥ AB
   BH /// CD và CH // BD
   BHCD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)
   Hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường (tính chất hình bình hành)
   Mà M là trung điểm của BC
   M là trung điểm của HD
   Mà O là trung điểm của AD
   Khi đó OM là đường trung bình của ∆AHD
   OM // AH và \(AH = 2.OM\) (tính chất đường trung bình)
   Do đó hai vectơ \(\overrightarrow {AH} \) và \(\overrightarrow {OM} \) có:
   + Cùng phương, cùng hướng
   + Độ dài: \(\left| {\overrightarrow {AH} } \right| = 2\left| {\overrightarrow {OM} } \right|\)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)
   Vậy \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} .\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
   Chứng minh rằng \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Vì
   M là trung điểm của BC nên \(\overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 2\overrightarrow {OM} \)
   Mà \(\overrightarrow {AH} = 2\overrightarrow {OM} \) (câu a)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {AH} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {AH} \)
   \( \Rightarrow \overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)
   Vậy \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} .\)

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O. Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có trực tâm H, trọng tâm G và tâm đường tròn ngoại tiếp O.
   Chứng minh rằng ba điểm G, H, O cùng thuộc một đường thẳng.

   Trả lời:

   Lời giải
   
   Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = 3\overrightarrow {OG} .\)
   Mà \(\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} + \overrightarrow {OC} = \overrightarrow {OH} \) (câu b)
   Suy ra \(\overrightarrow {OH} = 3\overrightarrow {OG} \)
   Khi đó \(\overrightarrow {OH} \) và \(\overrightarrow {OG} \) cùng phương, cùng hướng
   O, H, G thẳng hàng.
   Vậy ba điểm O, H, G thẳng hàng.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====