Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính P=AB→+AC→.BC→+BD→+BA→

Câu hỏi:

Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}\right)$

A. $P=2\sqrt{2}a$

B. $P=2a^2$

C. $P=a^2$

D. $P=-2a^2$

Đáp án chính xác

Trả lời:

Đáp án DTa có:$\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BA}\right)+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{BD}$và $BD=a\sqrt{2}$Khi đó$P=\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\right).2\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BD}+2\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=-2\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}+0=-2.BA.BD\cos \left(\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BD}\right)=2.a.a\sqrt{2}.\frac{\sqrt{2}}{2}=-2a^2$

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 và đường cao AH (H ∈ BC) sao cho BH = 2HC. Tính AB→.BC→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC có cạnh BC = 6 và đường cao AH (H ∈ BC) sao cho BH = 2HC. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}$

   A. -24

   Đáp án chính xác

   B. 24

   C. 18

   D. -18

   Trả lời:

   Đáp án ATa có:$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{BC}=\left(\overrightarrow{AH}+\overrightarrow{HB}\right).\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}=HB.BC.\cos \left(\overrightarrow{HB},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}BC.BC.\cos \left(\overrightarrow{HB}.\overrightarrow{BC}\right)=\frac{2}{3}\mathrm{.6.6.}\cos {180}^0=-24$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

   A. $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}=0$

   B. $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^0$

   C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{a^2}{2}$

   D. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=\frac{a^2}{2}$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DĐáp án A: đúng do $AH\perp BC$Đáp án B: đúng do $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AH}\right)={30}^{\circ }$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{HA}\right)={150}^{\circ }$Đáp án C: đúng do$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)=a.a.\cos {60}^0=\frac{a^2}{2}$Đáp án D: do $\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của góc $\widehat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}\right)={120}^{\circ }$Do đó$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.\cos {120}^0=-\frac{a^2}{2}$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác đều ABC cạnh a = 2. Hỏi mệnh đề nào sau đây sai?

   A. $\left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}$

   B. $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=-2$

   C. $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AC}=-4$

   Đáp án chính xác

   D. $\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BA}=4$

   Trả lời:

   Đáp án CTa đi tính tích vô hướng ở các phương án. So sánh vế trái với vế phảiPhương án A: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos {60}^0=2$$\Rightarrow \left(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}\right)\overrightarrow{BC}=2\overrightarrow{BC}$ nên loại APhương án B: $\overrightarrow{BC}.\overrightarrow{CA}=BC.AC.\cos {120}^0=-2$ nên loại BPhương án C: $\left(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}=4$ nên chọn CPhương án D:$\left(\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{AC}\right).\overrightarrow{BA}=\left(-\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{CA}\right).\overrightarrow{BA}=\left(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CB}\right).\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BA}=B{A}^2=4$nên loại D

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

   A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}{a}^2$

   B. $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}{a}^2$

   C. $\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=\frac{a^2}{6}$

   Đáp án chính xác

   D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=\frac{1}{2}{a}^2$

   Trả lời:

   Đáp án CDựa vào đáp án. Ta có nhận xét sau:Xác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ là $\widehat{A}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)={60}^0$Do đó, $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB.AC.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=a.a.\cos {60}^0=\frac{1}{2}{a}^2$nên A đúngXác định được góc $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)$ là góc ngoài của $\widehat{C}$ nên $\left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)={120}^0$Do đó,$\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{CB}=AC.CB.\cos \left(\overrightarrow{AC},\overrightarrow{CB}\right)=a.a.\cos {120}^0=-\frac{1}{2}{a}^2$nên B đúngXác định được góc $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)$ là $\widehat{AGB}$ nên $\left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)={120}^0$Do đó,$\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}=GA.GB.\cos \left(\overrightarrow{GA}.\overrightarrow{GB}\right)=\frac{a}{\sqrt{3}}.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {120}^0=-\frac{a^2}{6}$nên C saiXác định được góc $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)$ là $\widehat{GAB}$ nên $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)={30}^0$Do đó,$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AG}=AB.AG.\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AG}\right)=a.\frac{a}{\sqrt{3}}.\cos {30}^0=\frac{a^2}{2}$nên D đúng

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính AB→.AC→
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$

   A. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=24$

   B. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=26$

   C. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=28$

   D. $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=32$

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Đáp án DGọi $O=AC\cap BD$, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vec tơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$ theo các vec tơ có giá vuông góc với nhau. Ta có:$\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OB}\right).\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AO}.\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AC}+0=\frac{1}{2}A{C}^2=32$

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====