Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính BD→.BC→.

Câu hỏi:

Cho hình thang vuông ABCD, đường cao AB = 2a, đáy lớn BC = 3a, đáy nhỏ AD = 2a. Tính $\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}$.

A. a²;

B. 4a²;

C. 6a²;

Đáp án chính xác

D. 2a².

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C.

Kẻ DH vuông góc với BC, nối B với D.
Do ABCD là hình thang vuông có đường cao AB nên AB = DH = 2a và AB // DH
Xét tam giác BAD vuông tại A
Áp dụng định lí Pythagore ta có:
BD² = AB²  + AD² = (2a)² + (2a)² = 8a²
$\Rightarrow BD=2\sqrt{2}a$
$\left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\widehat{DBC}=\widehat{DBH}$
$\Rightarrow \cos \left(\overrightarrow{BD},\overrightarrow{BC}\right)=\cos \widehat{DBH}=\frac{BH}{BD}=\frac{2a}{2\sqrt{2}a}=\frac{1}{\sqrt{2}}$.

Ta có:
$\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{BC}=\left|\overrightarrow{BD}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|.\cos \widehat{DBH}=2\sqrt{2}a.3a.\frac{1}{\sqrt{2}}=6a^2$.

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng OA→.OD→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OD}$.

   A. 0;

   Đáp án chính xác

   B. 2a;

   C. a²;

   D. 2a².

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: A.
   
   Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC tại O.
   Suy ra $OA\perp OD\iff \overrightarrow{OA}\perp \overrightarrow{OD}\iff \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OD}=0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng AC→.BD→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình vuông ABCD tâm O cạnh a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}$.

   A. a;

   B. 0;

   Đáp án chính xác

   C. a²;

   D. 2a².

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   
   Do ABCD là hình vuông nên BD vuông góc với AC $\Rightarrow \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{BD}=0$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có: AD = a, AB = 2a. Tính AB→.AO→=?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho hình chữ nhật ABCD tâm O có: AD = a, AB = 2a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=?$

   A. a;

   B. 0;

   C. a²;

   D. 2a².

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   
   Do ABCD là hình chữ nhật nên ta có: BC = AD = a, AB = CD = 2a
   Xét tam giác ABC vuông tại B
   Áp dụng định lí Pythagore ta có:
   AC² = AB² + BC² = (2a)² + a² = 5a²
   ⇔ AC = a$\sqrt{5}$
   $\Rightarrow AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}.a\sqrt{5}=\frac{a\sqrt{5}}{2}$
   Ta có:
   $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AO}\right)=\widehat{BAO}=\widehat{BAC}$
   Suy ra $\cos \widehat{BAO}=\cos \widehat{BAC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2a}{a\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}$
   $\left|\overrightarrow{AB}\right|=AB=2a$
   $\left|\overrightarrow{AO}\right|=AO=\frac{a\sqrt{5}}{2}$

   Ta có: $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AO}\right|\cos \widehat{BAO}=2a.\frac{a\sqrt{5}}{2}.\frac{2}{\sqrt{5}}=2a^2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính AB→.AC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC đều cạnh a. Tính $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$.

   A. a;

   B. 0;

   C. a²;

   D. $\frac{1}{2}{a}^2$.

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   Do tam giác ABC đều nên:
   AB = AC = a $\Rightarrow \left|\overrightarrow{AB}\right|=\left|\overrightarrow{AC}\right|=a$
   $\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=$$\widehat{BAC}=60°\Rightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{1}{2}$
   Ta có:
   $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos \widehat{BAC}=a.a.\frac{1}{2}=\frac{1}{2}{a}^2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng AH→.AC→.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC đều cạnh a, đường cao AH. Tính tích vô hướng $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}.$

   A. $\frac{3}{2}{a}^2$;

   B. 3a²;

   C. $\frac{3}{4}{a}^2$;

   Đáp án chính xác

   D. a².

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: C.
   
   Do tam giác ABC đều nên:
   AH vừa là đường cao vừa là trung tuyến
   $\Rightarrow BH=CH=\frac{BC}{2}=\frac{a}{2}$
   Xét tam giác AHC vuông tại H
   Áp dụng định lí Pythagore có:
   AH² + CH² = AC² ⇔ AH²  = AC² – CH² = $a^2-{\left(\frac{a}{2}\right)}^2=\frac{3a^2}{4}\iff AH=\frac{a\sqrt{3}}{2}$
   $\left(\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AC}\right)=\widehat{HAC}$; $\cos \widehat{HAC}=\frac{AH}{AC}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{2}}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
   Ta có: $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{AC}=\left|\overrightarrow{AH}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|.\cos HAC=\frac{a\sqrt{3}}{2}.a.\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{4}{a}^2$.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====