Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
Chứng minh rằng O là trung điểm MN.
Trả lời:
Lời giải
Vì
ABCD là hình bình hành tâm O
Nên O là trung điểm của AC và BD và \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\)
Xét ∆ODN và ∆OBM có:
OD = OB (do O là trung điểm của BD),
\(\widehat {DON} = \widehat {BOM}\) (hai góc đối đỉnh),
\(\widehat {NDO} = \widehat {MBO}\)(do \(\widehat {ADO} = \widehat {CBO}\))
∆ODN = ∆OBM (g.c.g)
ON = OM (hai cạnh tương ứng)
O là trung điểm của NM.
Vậy O là trung điểm của NM.
====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng:
|a→|-|b→|<|a→+b→|<|a→|+|b→|
Câu hỏi:
Cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) không cùng phương. Chứng minh rằng:
Trả lời:
Lời giải
Giả sử ba điểm A, B, C thoả mãn: \(\overrightarrow a = \overrightarrow {AB} ,\overrightarrow b = \overrightarrow {BC} \)
Khi đó ta có: \(\overrightarrow a + \overrightarrow b = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {AC} \) (quy tắc ba điểm)
Do đó:
+) \(\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = AB;\)
+) \(\left| {\overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC;\)
+) \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| = \left| {\overrightarrow {AC} } \right| = AC\)
Mặt khác: xét tam giác ABC, theo bất đẳng thức trong tam giác ta có:
AB – BC < AC < AB + BC
Hay \(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|\) \(\)
Vậy \(\left| {\overrightarrow a } \right| – \left| {\overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| < \left| {\overrightarrow a } \right| + \left| {\overrightarrow b } \right|.\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.
Câu hỏi:
Cho hình bình hành ABCD tâm O. M là một điểm tuỳ ý thuộc cạnh BC, khác B và C. MO cắt cạnh AD tại N.
Gọi G là trọng tâm tam giác BCD. Chứng minh rằng G cũng là trọng tâm tam giác MNC.Trả lời:
Lời giải
Vì
G là trọng tâm ∆BCD nên \(\overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GD} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \left( {\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} } \right) + \overrightarrow {GC} + \left( {\overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \) (quy tắc hiệu)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} } \right) = \overrightarrow 0 \) (*)
Ta có: O là trung điểm của NM (câu a), O là trung điểm của BD (câu a)
BMDN là hình bình hành
\( \Rightarrow \overrightarrow {BM} = \overrightarrow {ND} \) \( \Rightarrow – \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {ND} \)
\( \Rightarrow \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {ND} = \overrightarrow 0 \)
Thay vào (*) ta được \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} + \overrightarrow 0 = \overrightarrow 0 \)
Do đó \(\overrightarrow {GM} + \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GN} = \overrightarrow 0 \)
G là trọng tâm tam giác MNC.
Vậy G là trọng tâm tam giác MNC.====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD.
a) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)
b) Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)Trả lời:
Lời giải
a) Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)
\( = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} \)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DA} \)
\( = \overrightarrow {{\rm{AA}}} \)
\( = \overrightarrow 0 \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DA} = \overrightarrow 0 \)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)
Câu hỏi:
Cho tứ giác ABCD.
Chứng minh rằng \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)Trả lời:
Lời giải
Theo quy tắc ba điểm ta có:
\(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} \)
\( = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} } \right) + \left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BD} \)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DB} } \right)\)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow {BB} \)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} + \overrightarrow 0 \)
\( = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} \)
Vậy \(\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} .\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
- Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.
Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} -\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} .\)
Câu hỏi:
Cho tam giác ABC. Gọi D, E, F theo thứ tự là trung điểm của các cạnh BC, CA. AB.
Xác định vectơ \(\overrightarrow {AF} -\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} .\)Trả lời:
Lời giải
Ta có: \(\overrightarrow {AF} –\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)
\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {CE} \)
\( = \overrightarrow {AF} + \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {EA} \) (vì E là trung điểm AC nên \(\overrightarrow {CE} = \overrightarrow {EA} \))
\( = \left( {\overrightarrow {EA} + \overrightarrow {AF} } \right) + \overrightarrow {DB} \)
\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)
Vì E, F lần lượt là trung điểm của AC, AB
Nên EF là đường trung bình của tam giác ABC
EF // BC và \(EF = \frac{1}{2}BC\)
Mà D là trung điểm của BC nên \(BD = \frac{1}{2}BC\)
Xét tứ giác EFBD có: EF // BD, \({\rm{EF}} = BD\left( { = \frac{1}{2}BC} \right)\)
EFBD là hình bình hành
\(\overrightarrow {EF} = \overrightarrow {DB} \)
Khi đó: \(\overrightarrow {AF} –\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} \)\( = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {DB} \)
\( = \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \)
\( = 2\overrightarrow {DB} \)
\( = \overrightarrow {CB} \) (do D là trung điểm của BC)
Vậy \(\overrightarrow {AF} –\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {CE} = \overrightarrow {CB} .\)====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====