Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

Câu hỏi:

Cho góc x với 0° < x < 90°. Trong các đẳng thức dưới đây, đẳng thức đúng là?

A. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}\);

Đáp án chính xác

B. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x}}{{\tan x – 1}}\);

C. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}\);

D. \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{{{\tan }^2}x + 1}}{{\tan x – 1}}\).

Trả lời:

Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A.
Do 0° < x < 90° nên tanx > 0 và cotx > 0.
Ta có tanx . cotx = 1, suy ra cotx = \(\frac{1}{{tanx}}\).
 Khi đó: \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}\) = \(\frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}} = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}\).
Vậy \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}\).

====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====

1. Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng sin4 α − cos4 α = 2 sin2 α − 1.
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho góc α thỏa mãn 0° ≤ α ≤ 180°. Chứng minh rằng
   sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Cách 1. Ta có \({\cos ^4}\alpha = {\left( {{{\cos }^2}\alpha } \right)^2} = {\left( {1 – {{\sin }^2}\alpha } \right)^2} = 1 – 2{\sin ^2}\alpha + {\sin ^4}\alpha \)
   Do đó: sin⁴ α − cos⁴ α = sin⁴ α – (1 – 2sin² α + sin⁴ α) = 2 sin² α − 1.
   Vậy ta được điều phải chứng minh.
   Cách 2. Ta có sin⁴ α − sin⁴ α = (sin² α + cos² α)( sin² α − cos² α)
    = 1. [sin² α – (1 − sin² α)] = 2 sin² α − 1.
   Vậy sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1.
   Cách 3. Ta sử dụng phép biến đổi tương đương
   sin⁴ α − cos⁴ α = 2 sin² α − 1
   ⇔ sin⁴ α − 2 sin² α + 1 − cos⁴ α = 0
   ⇔ (1 − sin² α)² − cos⁴ α = 0
   ⇔ cos⁴ α − cos⁴ α = 0 (luôn đúng).
   Vậy đẳng thức được chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng: cosA = − cos(B + C).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Áp dụng định lí tổng ba góc trong tam giác ABC, ta có \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180°.
   Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\).
   Do đó: cos(180° – A) = cos(B + C).
   Lại có: cos(180° – A) = – cosA            (quan hệ giữa hai góc bù nhau).
   Khi đó ta có: – cosA = cos(B + C) ⇔ cosA = – cos(B + C).
   Vậy đẳng thức được chứng minh.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
3. Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos2 α + sin2 α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Chọn hệ thức đúng được suy ra từ hệ thức cos² α + sin² α = 1 với 0° ≤ α ≤ 180°?

   A. \({\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = \frac{1}{2}\);

   B. \({\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = \frac{1}{3}\);

   C. \({\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = \frac{1}{4}\);

   D. \(5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5\).

   Đáp án chính xác

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: D.
   Từ hệ thức cos² α + sin² α = 1, ta suy ra được:
   \({\cos ^2}\frac{\alpha }{2} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{2} = 1\); \({\cos ^2}\frac{\alpha }{3} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{3} = 1\); \({\cos ^2}\frac{\alpha }{4} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{4} = 1\); \({\cos ^2}\frac{\alpha }{5} + {\sin ^2}\frac{\alpha }{5} = 1\).
   Suy ra: \(5\left( {{{\cos }^2}\frac{\alpha }{5} + {{\sin }^2}\frac{\alpha }{5}} \right) = 5.1 = 5\).

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
4. Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?
   
   

   Câu hỏi:
   

   Cho tam giác ABC, tìm đẳng thức sai trong các đẳng thức sau ?

   A. sin A = sin (B + C);

   B. tan A = tan (B + C);

   Đáp án chính xác

   C. \(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\);

   D. tan A = − tan (B + C).

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Tam giác ABC có: \(\widehat A\)+ \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) = 180° (định lí tổng ba góc trong tam giác).
   Suy ra: 180° −\(\widehat A\)= \(\widehat B\)+ \(\widehat C\) và
   Do đó sin A = sin (180° − A) = sin (B + C), suy ra khẳng định A đúng.
   Lại có \(\frac{{\widehat A + \widehat B + \widehat C}}{2} = \frac{{180^\circ }}{2} = 90^\circ \) \( \Rightarrow \frac{{\widehat A}}{2} + \frac{{\widehat B + \widehat C}}{2} = 90^\circ \)
   Do đó:\(\cos \frac{A}{2} = \sin \frac{{B + C}}{2}\) (hai góc phụ nhau), suy ra khẳng định C đúng.
   Mặt khác tan A = − tan (180° −\(\widehat A\)) = − tan (B + C), suy ra khẳng định D đúng và B sai.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====
   
5. Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sin x + cos x)2 bằng:
   
   

   Câu hỏi:
   

   Với 0° ≤ x ≤ 180°, biểu thức (sin x + cos x)² bằng:

   A. 1;

   B. 1 + 2sin x. cos x;

   Đáp án chính xác

   C. 1 –  2sin x. cos x;

   D. 0.

   Trả lời:

   Hướng dẫn giải:
   Đáp án đúng là: B.
   Với 0° ≤ x ≤ 180°, ta có
   (sin x + cos x)² = sin² x + 2sin x. cos x + cos² x = 1 + 2sin x. cos x.

   ====== **** mời các bạn xem câu tiếp bên dưới **** =====