Giải VTH Toán lớp 7 Bài ôn tập cuối chương 9
Bài 1 (9.36) trang 86 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có là một góc tù. Lấy điểm D nằm giữa A và B; lấy điểm E nằm giữa A và C (H.9.43).
Chứng minh DE < BC.
Lời giải:
Nối B với E. Trong tam giác BDE, góc BDE tù (do là góc tù), nên DE < BE.
Trong tam giác BEC, góc BEC tù (cũng do là góc tù) nên BE < BC.
Suy ra DE < BC.
Bài 2 (9.37) trang 86 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC (AB > AC). Trên đường thẳng chứa cạnh BC, lấy điểm D và điểm E sao cho B nằm giữa D và C, C nằm giữa B và E, BD = BA, CE = CA (H.9.44).
a) So sánh và .
b) So sánh các đoạn thẳng AD và AE.
Lời giải:
a) Tam giác ABD cân tại B (AB = BD) và có góc ngoài tại đỉnh B là
nên .
Tam giác ACE cân tại C (AC = CE) và có góc ngoài tại đỉnh C là
nên .
Do AB > AC nên , suy ra hay .
b) Trong tam giác AED vì nên AD > AE.
Bài 3 (9.38) trang 87 VTH Toán 7 Tập 2: Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng:
a) AI < (AB + AC);
b) AM < (AB + AC).
Lời giải:
a) Trong tam giác vuông ABI có AB là cạnh huyền nên AI < AB.
Trong tam giác vuông ACI có AC là cạnh huyền nên AI < AC.
Suy ra 2AI < AB + AC hay AI < (AB + AC).
b) Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD.
Xét ∆ABM và ∆DCM có: BM = CM; AM = MD; ,
do đó ∆ABM = ∆DCM (c.g.c). Suy ra AB = CD.
Trong tam giác ACD, ta có AD < CD + AC hay 2AM < AB + AC.
Suy ra AM < (AB + AC).
Bài 4 (9.39) trang 88 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường phân giác AD, D nằm trên BC sao cho BD = 2DC. Trên đường thẳng AC, lấy điểm E sao cho C là trung điểm của AE (H.9.47). Chứng minh rằng tam giác ABE cân tại A.
Gợi ý. D là trọng tâm của tam giác ABE; tam giác này có đường phân giác AD đồng thời là đường trung tuyến.
Lời giải:
có C là trung điểm của AE nên BC là đường trung tuyến của .
BC = BD + DC = 2DC + DC = 3DC.
Do đó DC = BC, BD = BC.
Trên đường trung tuyến BC có điểm D thỏa mãn BD = BC nên D là trọng tâm của .
Do đó AD là đường trung tuyến của .
có AD vừa là đường trung tuyến, vừa là đường phân giác nên cân tại A.
Bài 5 trang 88 VTH Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A. Trên tia đối của tia BC và tia đối của tia CB theo thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho BD = CE.
a) Chứng minh ∆ADE cân.
b) Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh AM là tia phân giác của góc DAE và AM ⊥ DE.
c) Từ B và C kẻ BH, CK theo thứ tự vuông góc với AD, AE. Chứng minh: BH = CK.
d) Chứng minh: HK // BC.
Lời giải:
a) Do ∆ABC cân tại A nên suy ra (cùng bù với góc , ).
Xét ∆ABD và ∆ACE có:
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A)
(chứng minh trên),
BD = CE (theo giả thiết).
Suy ra ∆ABD = ∆ACE (c.g.c), do đó AD = AE (hai cạnh tương ứng), suy ra tam giác ADE cân tại A.
b) Ta có: DM = DB + BM, EM = EC + CM, mà BD = CE (gt), BM = CM (M là trung điểm của BC), suy ra DM = EM.
Xét ∆AMD và ∆AME có:
AM chung,
AD = AE (chứng minh trên),
DM = EM (chứng minh trên).
Do đó ∆AMD = ∆AME (c.c.c), suy ra và , suy ra AM là phân giác của góc DAE.
Mặt khác do và là hai góc bù nhau nên = 90° hay AM ⊥ DE.
c) Vì ∆ABD = ∆ACE (chứng minh trên) nên .
Xét tam giác vuông ABH và tam giác vuông ACK, ta có:
AB = AC (do tam giác ABC cân tại A); , do đó ∆ABH = ∆ACK (cạnh huyền – góc nhọn), suy ra BH = CK (hai cạnh tương ứng).
d) Gọi giao điểm của AM và HK là N.
Xét ∆ANH và ∆ANK, có: AH = AK (do ∆ABH = ∆ACK), (chứng minh trên), AN là cạnh chung. Do đó ∆ANH = ∆ANK, suy ra (hai góc tương ứng), mà hai góc này bù nhau nên = 90°, suy ra AM ⊥ HK.
Ta có AM ⊥ HK, mà AM ⊥ BC (do AM ⊥ DE) nên HK // BC.