Vở thực hành Toán 7 Bài 27 (Kết nối tri thức): Phép nhân đa thức một biến

Giải VTH Toán lớp 7 Bài 27: Phép nhân đa thức một biến

Câu 1 trang 40 VTH Toán 7 Tập 2: Tích của hai đơn thức là một đơn thức (nếu tất cả các hệ số đều khác 0):

A. Có hệ số bằng tổng các hệ số và có bậc bằng tổng các bậc của hai đơn thức đã cho;

B. Có hệ số bằng tổng các hệ số và có bậc bằng tích các bậc của hai đơn thức đã cho;

C. Có hệ số bằng tích các hệ số và có bậc bằng tổng các bậc của hai đơn thức đã cho;

D. Có hệ số bằng tích các hệ số và có bậc bằng tích các bậc của hai đơn thức đã cho;

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Nhân hai đơn thức: (axn)(bxm) = (ab)xn + m, trong đó a, b ∈ ℝ; n, m ∈ ℕ.

Do đó, tích của hai đơn thức là một đơn thức (nếu tất cả các hệ số đều khác 0) có hệ số bằng tích các hệ số và có bậc bằng tổng các bậc của hai đơn thức đã cho.

Câu 2 trang 40 VTH Toán 7 Tập 2: Tìm các đơn thức M, N và P sao cho M(4×2 – 3x + N) = – 12×3 + P – 6x.

A. M = 3x; N = 2; P = 9×2;

B. M = – 3x; N = 2; P = 9×2;

C. M = 3x; N = – 2; P = 9×2;

D. M = 3x; N = 2; P = – 9×2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

 Thử thay lần lượt các đáp án đã cho ta thấy chỉ có đáp án B thỏa mãn.

Với M = – 3x; N = 2 và P = 9×2 ta có:

M(4×2 – 3x + N) = – 3x(4×2 – 3x + 2) = – 12×3 + 9×2 – 6x

– 12×3 + P – 6x = – 12×3 + 9×2 – 6x.

Vậy M(4×2 – 3x + N) = – 12×3 + P – 6x khi M = – 3x; N = 2 và P = 9×2.

Bài 1 (7.23) trang 41 VTH Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép nhân sau:

a) 6×2 . (2×3 – 3×2 + 5x – 4);

b) (-1,2×2) . (2,5×4 – 2×3 + x2 – 1,5).

Lời giải:

a) 6×2 . (2×3 – 3×2 + 5x – 4) = 6×2 . 2×3 – 6×2 . 3×2 + 6×2 . 5x – 6×2 . 4

                                           = 12×5 – 18×4 + 30×3 – 24×2.

b) (-1,2×2) . (2,5×4 – 2×3 + x2 – 1,5)

= (-1,2×2) . 2,5×4 + (-1,2×2) . (-2×3) + (-1,2×2) . x2 + (-1,2×2) . (-1,5)

= -3×6 + 2,4×5 – 1,2×4 + 1,8×2.

Bài 2 (7.24) trang 41 VTH Toán 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) 4×2(5×2 + 3) – 6x(3×3 – 2x + 1) – 5×3(2x – 1);

b) $\frac{3}{2}x\left(x^2-\frac{2}{3}x+2\right)-\frac{5}{3}{x}^2\left(x+\frac{6}{5}\right)$.

Lời giải:

a) 4×2(5×2 + 3) – 6x(3×3 – 2x + 1) – 5×3(2x – 1)

= (4×2 . 5×2 + 4×2 . 3) – (6x . 3×3 – 6x . 2x + 6x . 1) – (5×3 . 2x – 5×3 . 1)

= 20×4 + 12×2 – 18×4 + 12×2 – 6x – 10×4 + 5×3

= (20×4 – 18×4 – 10×4) + (12×2 + 12×2) – 6x + 5×3

= – 8×4 + 5×3 + 24×2 – 6x.

b)$\frac{3}{2}x\left(x^2-\frac{2}{3}x+2\right)-\frac{5}{3}{x}^2\left(x+\frac{6}{5}\right)$

= $\frac{3}{2}$x3 – x2 + 3x –$\frac{5}{3}$x3 – 2×2

= $\left(\frac{3}{2}{x}^3-\frac{5}{3}{x}^3\right)$– (x2 + 2×2) + 3x

= $\frac{–1}{6}$x3 – 3×2 + 3x.

Bài 3 (7.25) trang 41 VTH Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép nhân sau:

a) (x2 – x) . (2×2 – x – 10);

b) (0,2×2 – 3x) . 5(x2 – 7x + 3).

Lời giải:

a) Đặt tính nhân như sau:

b) Trước hết ta biến đổi:

(0,2×2 – 3x) . 5(x2 – 7x + 3)

= [(0,2×2 – 3x) . 5] . (x2 – 7x + 3)

= (x2 – 15x)(x2 – 7x + 3)

Tiếp theo, ta đặt tính nhân như sau:

Bài 4 (7.26) trang 42 VTH Toán 7 Tập 2: a) Tính (x2 – 2x + 5) . (x – 2).

b) Từ đó hãy suy ra kết quả của phép nhân (x2 – 2x + 5) . (2 – x). Giải thích cách làm.

Lời giải:

a) (x2 – 2x + 5) . (x – 2) = (x2 – 2x + 5) . x – (x2 – 2x + 5) . 2

                                    = (x3 – 2×2 + 5x) – (2×2 – 4x + 10)

                                    = x3 – 2×2 + 5x – 2×2 + 4x – 10

                                    = x3 – 4×2 + 9x – 10

b) Ta có thể biến đổi như sau để sử dụng kết quả câu a:

(x2 – 2x + 5) . (2 – x) = (x2 – 2x + 5) . (- 1) . (x – 2)

                                  = – (x2 – 2x + 5) . (x – 2)

                                  = – (x3 – 4×2 + 9x – 10)         (Theo kết quả câu a)

                                  = -x3 + 4×2 – 9x + 10.

Như vậy để có kết quả này, ta chỉ việc đổi dấu các hạng tử của đa thức trong kết quả câu a. 

Bài 5 (7.27) trang 42 VTH Toán 7 Tập 2: Giả sử ba kích thước của một hình hộp chữ nhật là x; x + 1; x – 1 (cm) với x > 1. Tìm đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm3) của hình hộp chữ nhật đó.

Lời giải:

Thể tích của hình hộp chữ nhật là

x(x – 1)(x + 1) = x [(x – 1)(x + 1)] = x[(x – 1) . x + (x – 1) . 1]

= x(x2 – x + x – 1) = x(x2 – 1) = x3 – x.

Vậy đa thức biểu thị thể tích (đơn vị: cm3) của hình hộp chữ nhật đó là x3 – x.

Bài 6 (7.28) trang 43 VTH Toán 7 Tập 2: Thực hiện các phép nhân hai đa thức sau:

a) 5×3 – 2×2 + 4x – 4 và x3 + 3×2 – 5;

b) -2,5×4 + 0,5×2 + 1 và 4×3 – 2x + 6.

Lời giải:

a) Ta đặt tính nhân như sau:

b) Ta đặt tính nhân như sau:

Bài 7 (7.29) trang 43 VTH Toán 7 Tập 2: Người ta dùng những chiếc cọc để rào một mảnh vườn hình chữ nhật sao cho mỗi góc vườn đều có một chiếc cọc và hai cọc liên tiếp cắm cách nhau 0,1 m. Biết rằng số cọc dùng để rào hết chiều dài của vườn nhiều hơn số cọc dùng để rào hết chiều rộng là 20 chiếc. Gọi số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x. Tìm đa thức biểu thị diện tích của mảnh vườn đó.

Lời giải:

Số cọc dùng để rào hết chiều rộng là x (chiếc), suy ra số cọc dùng để rào hết chiều dài là x + 20 chiếc. Từ đó suy ra chiều rộng mảnh vườn là 0,1. (x – 1) (m), và chiều dài mảnh vườn là 0,1. (x + 19) (m).

Vậy diện tích của mảnh vườn là 0,1. (x – 1). 0,1. (x + 19) (m2). Thu gọn biểu thức này ta được:

0,1. (x – 1). 0,1. (x + 19)  = 0,01 . (x – 1)(x + 19)

= 0,01. (x2 + 19x – x – 19) = 0,01. (x2 + 18x – 19) = 0,01×2 + 0,18x – 0,19.

Đa thức biểu thị diện tích mảnh vườn là S = 0,01×2 + 0,18x – 0,19.

Bài 8 trang 43 VTH Toán 7 Tập 2: Rút gọn các biểu thức sau:

a) A = (2×2 – 3x + 1)(x2 – 5) – (x2 – x)(2×2 – x – 10);

b) B = (x – 2)(x2 – 5x + 7) – (x2 – 3x)(x – 4) – 5(x – 2).

Lời giải:

a) Đặt C = (2×2 – 3x + 1)(x2 – 5) và D = (x2 – x)(2×2 – x – 10), ta có A = C – D.

Trước hết ta tính:

C = (2×2 – 3x + 1)(x2 – 5)

   = (2×2 – 3x + 1) . x2 – (2×2 – 3x + 1) . 5

   = (2×4 – 3×3 + x2) – (10×2 – 15x + 5)

   = 2×4 – 3×3 + x2 – 10×2 + 15x – 5

   = 2×4 – 3×3 – 9×2 + 15x – 5

D = (x2 – x)(2×2 – x – 10)

   = x2(2×2 – x – 10) – x(2×2 – x – 10)

   = (2×4 – x3 – 10×2) – (2×3 – x2 – 10x)

   = 2×4 + (– x3 – 2×3) + (– 10×2 + x2) + 10x

   = 2×4 – 3×3 – 9×2 + 10x

Từ đó: A = C – D = (2×4 – 3×3 – 9×2 + 15x – 5) – (2×4 – 3×3 – 9×2 + 10x)

                             = (2×4 – 2×4) + (– 3×3 + 3×3) + (– 9×2 + 9×2) + (15x – 10x) – 5

                             = 5x – 5

b) Đặt E = (x – 2)(x2 – 5x + 7) và F = (x2 – 3x)(x – 4), ta có B = E – F – 5(x – 2).

Trước hết ta tính:

E = (x – 2)(x2 – 5x + 7) = x(x2 – 5x + 7) – 2(x2 – 5x + 7)

= (x3 – 5×2 + 7x) – (2×2 – 10x + 14)

= x3 + (– 5×2 – 2×2) + (7x + 10x) – 14

= x3 – 7×2 + 17x – 14

F = (x2 – 3x)(x – 4) = x2(x – 4) – 3x(x – 4)

= (x3 – 4×2) – (3×2 – 12x)

= x3 + (– 4×2 – 3×2) + 12x

= x3 – 7×2 + 12x

Cuối cùng ta được:

B = E – F – 5(x – 2) = (x3 – 7×2 + 17x – 14) – (x3 – 7×2 + 12x) – 5(x – 2)

= x3 – 7×2 + 17x – 14 – x3 + 7×2 – 12x – 5x + 10

= (x3 – x3) + (– 7×2 + 7×2) + (17x – 12x – 5x) + (10 – 14)

= – 4.

Bài 9 trang 44 VTH Toán 7 Tập 2: Xét bốn số tự nhiên liên tiếp, trong đó x là số đầu tiên (số nhỏ nhất).

a) Tìm đa thức biểu thị hiệu giữa tích của hai số cuối với tích của hai số đầu.

b) Biết rằng tích của hai số đầu nhỏ hơn tích của hai số cuối là 22. Hãy tìm x.

Lời giải:

Do x là số tự nhiên nhỏ nhất trong bốn số tự nhiên liên tiếp nên bốn số tự nhiên đang xét là x, x + 1, x + 2 và x + 3.

a) Tích hai số cuối là (x + 2)(x + 3); tích hai số đầu là x(x + 1); hiệu của chúng là

(x + 2)(x + 3) – x(x + 1) = (x2 + 3x + 2x + 6) – (x2 + x) = 4x + 6.

Vậy đa thức biểu thị hiệu giữa tích hai số cuối với tích hai số đầu là 4x + 6.

b) Theo đề bài, ta có 4x + 6 = 22. Chuyển vế ta được 4x = 22 – 6 = 16.

Từ đó suy ra x = 16 : 4 = 4.