Vở thực hành Toán 7 Bài 26 (Kết nối tri thức): Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Giải VTH Toán lớp 7 Bài 26: Phép cộng và phép trừ đa thức một biến

Câu 1 trang 33 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức P và Q sao cho cả ba đa thức P, Q và P + Q đều khác đa thức không.

Khi đó luôn xảy ra

A. Bậc của P + Q lớn hơn bậc của P và của Q;

B. Bậc của P + Q nhỏ hơn bậc của P và của Q;

C. Bậc của P + Q bằng bậc của P hoặc bằng bậc của Q;

D. Bậc của P + Q bằng bậc của P nếu bậc của P lớn hơn bậc của Q.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Bậc của đa thức P + Q (tổng của hai đa thức P và Q) chính là bậc của hạng tử có bậc cao nhất trong dạng rút gọn của đa thức.

Do đó, nếu bậc của đa thức P lớn hơn bậc của đa thức Q thì hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức P + Q chính là hạng tử có bậc cao nhất trong đa thức P, vậy bậc của đa thức P + Q bằng bậc của P. Vậy đáp án D là đúng.

Các đáp án A, B, C sai. Giải thích:

+) Chẳng hạn ta lấy P = x2 + 1 và Q = x2 + x, hai đa thức này đều có bậc 2.

Đa thức P + Q = (x2 + 1) + (x2 + x) = (x2 + x2) + x + 1 = 2×2 + x + 1 cũng có bậc là 2.

Vậy bậc của đa thức P + Q bằng bậc của P và bậc của Q.

Ví dụ này suy ra đáp án A, B là sai.

+) Chẳng hạn ta lại lấy P = x2 + 1 và Q = – x2 + x, hai đa thức này đều có bậc 2.

Đa thức P + Q = (x2 + 1) + (– x2 + x) = (x2 – x2) + x + 1 = x + 1 có bậc 1.

Vậy bậc của đa thức P + Q nhỏ hơn bậc của P và bậc của Q.

Ví dụ này suy ra đáp án C là sai.

Câu 2 trang 33 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức F(x) = x3 + 3×2 – x – 3 và G(x) = x3 – 3×2 – x + 3. Khi đó

A. x = – 3 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = 3 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x);

B. x = 1 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x);

C. x = 0 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = – 3 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x);

D. x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = 0 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có:

F(x) + G(x) = (x3 + 3×2 – x – 3) + (x3 – 3×2 – x + 3)

= x3 + 3×2 – x – 3 + x3 – 3×2 – x + 3

= (x3 + x3) + (3×2 – 3×2) + (– x – x) + (– 3 + 3)

= 2×3 – 2x.

F(x) – G(x) = (x3 + 3×2 – x – 3) – (x3 – 3×2 – x + 3)

= x3 + 3×2 – x – 3 – x3 + 3×2 + x – 3

= (x3 – x3) + (3×2 + 3×2) + (– x + x) + (– 3 – 3)

= 6×2 – 6

Lần lượt thay x = – 3, x = 1, x = 0 và x = – 1 vào F(x) + G(x) ta được:

2 . (– 3)3 – 2 . (– 3) = – 48

2 . 13 – 2 . 1 = 0

2 . 03 – 2 . 0 = 0

2 . (– 1)3 – 2 . (– 1) = 0

Vậy x = 1, x = 0, x = – 1 là các nghiệm của đa thức F(x) + G(x).

Lần lượt thay x = 3, x = – 1, x = – 3 và x = 0 vào F(x) – G(x) ta được:

6 . 32 – 6 = 48

6 . (– 1)2 – 6 = 0

6 . (– 3)2 – 6 = 48

6 . 02 – 6 = – 6

Vậy chỉ có x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x).

Từ đó suy ra x = 1 là nghiệm của đa thức F(x) + G(x), x = – 1 là nghiệm của đa thức F(x) – G(x).

Bài 1 (7.12) trang 33 VTH Toán 7 Tập 2: Tìm tổng của hai đa thức sau bằng cách nhóm các hạng tử cùng bậc:

x2 – 3x + 2 và 4×3 – x2 + x – 1.

Lời giải:

(x2 – 3x + 2) + (4×3 – x2 + x – 1) = x2 – 3x + 2 + 4×3 – x2 + x – 1

Bài 2 (7.13) trang 34 VTH Toán 7 Tập 2: Tìm hiệu sau bằng cách đặt tính trừ: (-x3 – 5x + 2) – (3x + 8).

 

Lời giải:

Bài 3 (7.14) trang 34 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức A = 6×4 – 4×3 + x –$\frac{1}{3}$ và B = -3×4 – 2×3 – 5×2 + x +$\frac{2}{3}$

Tính A + B và A – B.

Lời giải:

Cách thứ nhất:

Cách thứ hai:

A + B = (6×4 – 4×3 + x –$\frac{1}{3}$) + (-3×4 – 2×3 – 5×2 + x +$\frac{2}{3}$)

         = (6×4 – 3×4) + (-4×3 – 2×3) – 5×2 + (x + x) +$\left(-\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\right)$

         = 3×4 – 6×3 – 5×2 + 2x +$\frac{1}{3}$

A – B = (6×4 – 4×3 + x –$\frac{1}{3}$) – (-3×4 – 2×3 – 5×2 + x +$\frac{2}{3}$)

        = 6×4 – 4×3 + x – + 3×4 + 2×3 + 5×2 – x –$\frac{2}{3}$

       = (6×4 + 3×4) + (-4×3 + 2×3) + 5×2 + (x – x) +$\left(-\frac{1}{3}-\frac{2}{3}\right)$

       = 9×4 – 2×3 + 5×2 – 1

Bài 4 (7.15) trang 34 VTH Toán 7 Tập 2: Cho các đa thức A = 3×4 – 2×3 – x + 1; B = -2×3 + 4×2 + 5x và C = -3×4 + 2×2 + 5

Tính A + B + C; A – B + C và A – B – C.

Lời giải:

• Để tính tổng A + B + C, ta đặt tính như sau:

• Để tính hai tổng còn lại, ta để ý rằng A – B + C = (A – B) + C và A – B – C = (A – B) – C.

Vì vậy trước hết ta tính A – B:

A – B = (3×4 – 2×3 – x + 1) – (-2×3 + 4×2 + 5x)

          = 3×4 – 2×3 – x + 1 + 2×3 – 4×2 – 5x

          = 3×4 + (- 2×3 + 2×3) – 4×2 + (- x – 5x) + 1

          = 3×4 – 4×2 – 6x + 1

Từ đó

(A – B) + C = (3×4 – 4×2 – 6x + 1) + (-3×4 + 2×2 + 5)

                    = (3×4 – 3×4) + (– 4×2 + 2×2) – 6x + (1 + 5)

                    = -2×2 – 6x + 6.

(A – B) – C = (3×4 – 4×2 – 6x + 1) – (-3×4 + 2×2 + 5)

                    = 3×4 – 4×2 – 6x + 1 + 3×4 – 2×2 – 5

                    = (3×4 + 3×4) + (– 4×2 – 2×2) – 6x + (1 – 5)

                    = 6×4 – 6×2 – 6x – 4.

Bài 5 trang 35 VTH Toán 7 Tập 2: Cho ba đa thức A = 4×4 – 2 + 5×2 – x; B = 5x + 3 – 4×2 – 3×3 và C = 4×4 + 4x – 4×3 + x2.

a) Sắp xếp các đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tính A + B – C.

c) Tính giá trị của đa thức A + B – C tại x = – 1.

Lời giải:

a) Sắp xếp theo lũy thừa giảm của biến, ta được:

A = 4×4 + 5×2 – x – 2;

B = – 3×3 – 4×2 + 5x + 3;

C = 4×4 – 4×3 + x2 + 4x.

b) A + B – C = (4×4 + 5×2 – x – 2) + (– 3×3 – 4×2 + 5x + 3) – (4×4 – 4×3 + x2 + 4x)

                    = 4×4 + 5×2 – x – 2 – 3×3 – 4×2 + 5x + 3 – 4×4 + 4×3 – x2 – 4x

                    = (4×4 – 4×4) + (– 3×3 + 4×3) + (5×2 – 4×2 – x2) + (– x + 5x – 4x) + (– 2 + 3)

                    = x3 + 1.

c) Tại x = – 1, ta có: A + B – C = (– 1)3 + 1 = 0.

Bài 6 (7.16) trang 35 VTH Toán 7 Tập 2: Bạn Nam được phân công mua một số sách làm quà tặng trong buổi tổng kết cuối năm học của lớp. Nam dự định mua ba loại sách với giá bán như bảng sau. Giả sử Nam cần mua x cuốn sách khoa học, x + 8 cuốn sách tham khảo và x + 5 cuốn truyện tranh.

a) Viết các đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho từng loại sách.

b) Tìm đa thức biểu thị tổng số tiền Nam phải trả để mua số sách đó.

Lời giải:

a) Đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho sách khoa học là K = 21 500x.

Đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho sách tham khảo là:

T = 12 500 . (x + 8) = 12 500x + 100 000.

Đa thức biểu thị số tiền Nam phải trả cho truyện tranh là:

M = 15 000 . (x + 5) = 15 000x + 75 000.

b) Tổng số tiền Nam phải trả cho số sách đó là:

F = K + T + M = 21 500x + (12 500x + 100 000) + (15 000x + 75 000)

= (21 500x + 12 500x + 15 000x) + (100 000 + 75 000)

= 49 000x + 175 000.

Vậy đa thức biểu thị tổng số tiền phải trả để mua số sách đó là F = 49 000x + 175 000.

Bài 7 (7.17) trang 36 VTH Toán 7 Tập 2: Trên một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài 65 m, người ta định làm một bể bơi có chiều rộng là x mét, chiều dài gấp 3 lần chiều rộng. Sơ đồ và kích thước cụ thể (tính bằng mét) được cho trong hình dưới.

Tìm đa thức (biến x):

a) Biểu thị diện tích của bể bơi.

b) Biểu thị diện tích mảnh đất.

c) Biểu thị diện tích phần đất xung quanh bể bơi.

Lời giải:

a) Bể bơi có dạng một hình chữ nhật với chiều rộng là x mét, chiều dài là 3x mét.

Biểu thức biểu thị diện tích của nó là S1 = x . 3x = 3×2 (m2).

b) Miếng đất cũng có dạng hình chữ nhật với chiều rộng là 4 + x + 5 = x + 9 mét, chiều dài là 65 m.

Biểu thức biểu thị diện tích của nó là S2 = (x + 9) . 65 = 65x + 585 (m2).

c) Diện tích phần đất quanh bể bơi là:

S2 – S1 = (65x + 585) – 3×2 = -3×2 + 65x + 585 (m2).

Vậy biểu thức biểu thị phần đất xung quanh bể bơi là S = -3×2 + 65x + 585 (m2).