Vở thực hành Toán 7 Bài 25 (Kết nối tri thức): Đa thức một biến

Giải VTH Toán lớp 7 Bài 25: Đa thức một biến

Câu 1 trang 28 VTH Toán 7 Tập 2: Trong hai biểu thức đại số P = x $\sqrt{2}$.  và Q = 2 . $\sqrt{x}$, biểu thức nào là một đơn thức?

A. P là đơn thức;

B. Q là đơn thức;

C. Cả P và Q đều là đơn thức;

D. Cả P và Q đều không phải là đơn thức.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Biểu thức P chứa tích của một số với lũy thừa bậc 1 của biến x nên đây là một đơn thức.

Biểu thức Q không phải là một đơn thức vì biến x không có dạng lũy thừa với số mũ tự nhiên

Câu 2 trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: Trong hai biểu thức đại số M = $x^2+\frac{1}{x^2}$  và N = $2+\frac{1}{2}{x}^2$, biểu thức nào là đa thức?

A. M là đa thức;

B. N là đa thức;

C. Cả M và N đều là đa thức;

D. Cả M và N đều không phải là đa thức.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Biểu thức M không phải là đa thức do nó không phải là tổng của những đơn thức vì $\frac{1}{x^2}$ không phải đơn thức.

Biểu thức N là đa thức vì nó là tổng của các đơn thức x2 và $\frac{1}{2}$ x2.

Câu 3 trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức P = – 3×2 + 2×3 – x2 + 1 và Q = 4 – 3x + x2 + x + x3. Trong hai đa thức đã cho, đa thức nào là đa thức thu gọn?

A. P là đa thức thu gọn;

B. Q là đa thức thu gọn;

C. Cả hai đều là đa thức thu gọn;

D. Cả hai đều không phải là đa thức thu gọn.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Đa thức P = – 3×2 + 2×3 – x2 + 1 có chứa hai đơn có cùng bậc là – 3×2 và – x2 nên đây không phải là đa thức thu gọn.

Đa thức Q = 4 – 3x + x2 + x + x3 có chứa hai đơn thức có cùng bậc là – 3x và x nên đây không phải là đa thức thu gọn.

Vậy cả đa thức đều không phải là đa thức thu gọn.

Câu 4 trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: Xác định bậc và hệ số cao nhất của đa thức F = x5 + 5 – 2x + 0,5×4 – x5 + 6×3.

A. Đa thức F có bậc là 5, hệ số cao nhất là 1;

B. Đa thức F có bậc là 4, hệ số cao nhất là 0,5;

C. Đa thức F có bậc là 3, hệ số cao nhất là 6;

D. Đa thức F có bậc là 5, hệ số cao nhất là – 1.

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Trước tiên, ta thu gọn đa thức F:

F = x5 + 5 – 2x + 0,5×4 – x5 + 6×3

= (x5 – x5) + 0,5×4 + 6×3 – 2x + 5

= 0,5×4 + 6×3 – 2x + 5.

Đa thức thu gọn F = = 0,5×4 + 6×3 – 2x + 5 có hạng tử 0,5×4 có bậc cao nhất và bậc của đơn thức này và 4 và hệ số là 0,5. Vậy bậc của đa thức F là 4 và hệ số cao nhất của đa thức F là 0,5.

Câu 5 trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: Trong hai số 2 và – 2, số nào là nghiệm của đa thức F = 3×2 + 5x – 2 và số nào là nghiệm của đa thức G = 3×2 – 5x – 2?

A. 2 là nghiệm của đa thức F, còn – 2 là nghiệm của đa thức G;

B. 2 và – 2 đều là nghiệm của đa thức F;

C. – 2 là nghiệm của đa thức F, còn 2 là nghiệm của đa thức G;

D. 2 và – 2 đều là nghiệm của đa thức G.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Tính giá trị của biểu thức F và G tại x = 2 và x = – 2 ta có:

F(2) = 3 . 22 + 5. 2 – 2 = 12 + 10 – 2 = 20;

F(– 2) = 3 . (– 2)2 + 5 . (– 2) – 2 = 12 – 10 – 2 = 0;

G(2) = 3 . 22 – 5 . 2 – 2 = 12 – 10 – 2 = 0;

G(– 2) = 3 . (– 2)2 – 5 . (– 2) – 2 = 12 + 10 – 2 = 20.

Vậy – 2 là nghiệm của đa thức F, còn 2 là nghiệm của đa thức G.

Bài 1 (7.5) trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: a) Tính $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$ .(-4×2). Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

b) Tính $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$–$\frac{5}{2}$x3. Tìm hệ số và bậc của đơn thức nhận được.

Lời giải:

a) Ta có: $\left(\frac{1}{2}{x}^3\right)$.(-4×2) = $\frac{1}{2}$. (-4) . x3+ 2 = -2×5.

Đây là đơn thức bậc 5 và có hệ số là -2.

b) Ta có: $\frac{1}{2}$ x3 – $\frac{5}{2}$ x3 = $\left(\frac{1}{2}-\frac{5}{2}\right)$ x3 = -2×3.

Đây là đơn thức bậc 3 và có hệ số là -2.

Bài 2 trang 29 VTH Toán 7 Tập 2: Tính:

a) (- 0,5x) . (3×2) . (- 4×3);

b) 4,7×4 – $\sqrt{9}$ x4 + 0,3×4.

Lời giải:

a) (- 0,5x) . (3×2) . (- 4×3) = [(- 0,5) . 3 . (- 4)] (x . x2 . x3) = 6×6.

b) Do $\sqrt{9}=3$ nên 

4,7×4 – $\sqrt{9}$ x4 + 0,3×4 = 4,7×4 – 3×4 + 0,3×4 = (4,7 – 3 + 0,3)x4 = 2×4.

Bài 3 (7.6) trang 30 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức:

A(x) = x3 + $\frac{3}{2}$x – 7×4 + $\frac{1}{2}$x – 4×2 + 9 và B(x) = x5 – 3×2 + 8×4 – 5×2 – x5 + x – 7.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức đã cho.

Lời giải:

a) A(x) = x3 +$\frac{3}{2}$x – 7×4 + $\frac{1}{2}$x – 4×2 + 9

  = -7×4 + x3 – 4×2 + $\left(\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x\right)$+ 9.

  = -7×4 + x3 – 4×2 + 2x + 9

Vậy A(x) = – 7×4 + x3 – 4×2 + 2x + 9.

B(x) = x5 – 3×2 + 8×4 – 5×2 – x5 + x – 7

        = (x5 – x5) + (-3×2 – 5×2) + 8×4 + x – 7

        = 8×4 – 8×2 + x – 7

Vậy B(x) = 8×4 – 8×2 + x – 7.

b) A(x) là đa thức bậc 4, có hệ số cao nhất là – 7 và hệ số tự do là 9.

B(x) là đa thức có bậc 4, có hệ số cao nhất là 8 và hệ số tự do là -7.

Bài 4 (7.7) trang 30 VTH Toán 7 Tập 2: Cho hai đa thức:

P(x) = 5×3 + 2×4 – x2 + 3×2 – x3 – 2×4 – 4×3 và Q(x) = 3x – 4×3 + 8×2 – 5x + 4×3 + 5.

a) Thu gọn và sắp xếp hai đa thức trên theo lũy thừa giảm của biến.

b) Sử dụng kết quả câu a để tính P(1), P(0), Q(-1) và Q(0).

Lời giải:

a) Thu gọn:

P(x) = 5×3 + 2×4 – x2 + 3×2 – x3 – 2×4 – 4×3

        = (5×3 – x3 – 4×3) + (2×4 – 2×4) + (-x2 + 3×2)

        = 2×2

Q(x) = 3x – 4×3 + 8×2 – 5x + 4×3 + 5

        = (3x – 5x) + (-4×3 + 4×3) + 8×2 + 5

        = 8×2 – 2x + 5.

b) Từ kết quả trên, ta có P(1) = 2 . 12 = 2; P(0) = 2 . 02 = 0;

Q(-1) = 8 . (-1)2 – 2 . (-1) + 5 = 8 – (-2) + 5 = 8 + 2 + 5 = 15;

Q(0) = 8 . 02 – 2 . 0 + 5 = 5.

Bài 5 (7.8) trang 31 VTH Toán 7 Tập 2: Người ta dùng hai máy bơm để bơm nước vào một bể chứa nước. Máy thứ nhất bơm mỗi giờ được 22 m3 nước. Máy thứ hai bơm mỗi giờ được 16 m3 nước. Sau khi cả hai máy chạy trong x giờ, người ta tắt máy thứ nhất và để máy thứ hai chạy thêm 0,5 giờ nữa thì bể nước đầy.

Hãy viết đa thức (biến x) biểu thị dung tích của bể (m3), biết rằng trước khi bơm, trong bể có 1,5 m3 nước. Tìm hệ số cao nhất và hệ số tự do của đa thức đó.

Lời giải:

Trong x giờ, máy bơm thứ nhất bơm được 22x m3 nước, máy bơm thứ hai bơm được 16x m3 nước. Ngoài ra, máy bơm thứ hai còn trong 0,5 giờ nữa; lượng nước bơm được trong thời gian đó là 0,5 . 16 = 8 m3 nước.

Trước khi bơm, trong bể có 1,5 m3 nước, do đó tổng lượng nước khi bể đầy là:

V = 22x + 16x + 8 + 1,5 (m3).

Thu gọn V = 22x + 16x + 8 + 1,5 = 38x + 9,5.

Ta được V = 38x + 9,5 là đa thức bậc 1 với hệ số cao nhất là 38 và hệ số tự do là 9,5.

Bài 6 (7.9) trang 31 VTH Toán 7 Tập 2: Viết đa thức F(x) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

• Bậc của F(x) bằng 3;

• Hệ số của x2 bằng hệ số của x và bằng 2;

• Hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 và hệ số tự do bằng 3.

Lời giải:

Do bậc của F(x) bằng 3 và hệ số cao nhất của F(x) bằng -6 nên ta có hạng tử -6×3.

Do hệ số của x2 bằng hệ số của x và bằng 2 nên ta có 2 hạng tử là 2×2 và 2x.

Do hệ số tự do bằng 3 nên ta có hạng tử 3.

Đa thức cần tìm là F(x) = -6×3 + 2×2 + 2x + 3.

Bài 7 (7.10) trang 31 VTH Toán 7 Tập 2: Kiểm tra xem:

a) x = $–\frac{1}{8}$ có phải là nghiệm của đa thức P(x) = 4x + $\frac{1}{2}$không?

b) Trong ba số 1; -1 và 2, số nào là nghiệm của đa thức Q(x) = x2 + x – 2?

Lời giải:

a) Thay x =$-\frac{1}{8}$vào P(x), ta được

 

 $P\left(-\frac{1}{8}\right)=4.\left(-\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{2}$

 

            $=\frac{-1}{2}+\frac{1}{2}$

Điều đó chứng tỏ x =$-\frac{1}{8}$ là nghiệm của P(x).

b) Ta có: Q(1) = 12 + 1 – 2 = 0; Q(-1) = (- 1)2 + (- 1) – 2 = -2 và Q(2) = 22 + 2 – 2 = 4.

Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức Q(x) = x2 + x – 2.

Bài 8 (7.11) trang 32 VTH Toán 7 Tập 2: Mẹ cho Quỳnh 100 nghìn đồng. Quỳnh mua một bộ dụng cụ học tập có giá 37 nghìn đồng và một cuốn sách tham khảo môn Toán với giá x (nghìn đồng).

a) Hãy tìm đa thức (biến x) biểu thị số tiền Quỳnh còn lại (đơn vị: nghìn đồng). Tìm bậc của đa thức đó.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho. Hỏi giá tiền của cuốn sách là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Số tiền mua sách tham khảo và bộ dụng cụ học tập là x + 37 (nghìn đồng).

Vậy biểu thức biểu thị số tiền còn lại là 100 – (x + 37) = – x + 63 (nghìn đồng).

Ta được đa thức bậc 1 là R = – x + 63.

b) Sau khi mua sách thì Quỳnh tiêu vừa hết số tiền mẹ cho, có nghĩa là R = 0, điều này xảy ra khi – x + 63 = 0, tức là x = 63.

Vậy giá tiền của cuốn sách là 63 nghìn đồng.

Bài 9 trang 32 VTH Toán 7 Tập 2: Tìm giá trị của m để đa thức A(x) = x2 + mx – 3 có nghiệm x = 1.

Lời giải:

Nếu đa thức A(x) = x2 + mx – 3 có nghiệm x = 1 thì ta có:

A(1) = 12 + m . 1 – 3 = m – 2 = 0.

Từ đó suy ra m = 2.

Ngược lại, nếu m = 2 thì A(x) = x2 + 2x – 3.

Khi đó x = 1 là nghiệm của A(x) vì 12 + 2. 1 – 3 = 0.

Vậy giá trị cần tìm của m là 2.

Bài 10 trang 32 VTH Toán 7 Tập 2: Cho đa thức F(x) = x3 – 3×2 + 2x + m – 1, trong đó m là một số cho trước.

a) Xác định bậc và hệ số tự do của đa thức F(x).

b) Chứng tỏ rằng: Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = 0 thì m = 1; ngược lại, nếu m = 1 thì đa thức có nghiệm x = 0.

c) Cho biết m = 1, hãy thử tìm thêm các nghiệm khác 0 của F(x) để thấy rằng F(x) có ba nghiệm phân biệt.

Lời giải:

a) Đa thức F(x) có bậc 3 và có hệ số tự do là – 1.

b) Thay x = 0 vào F(x), ta được F(0) = m – 1. Sử dụng kết quả này, ta có:

• Nếu đa thức F(x) có nghiệm x = 0 thì F(0) = 0, suy ra m – 1 = 0. Do đó m = 1.

• Ngược lại, nếu m = 1 thì F(0) = 1 – 1 = 0, chứng tỏ x = 0 là nghiệm của F(x).

c) Khi m = 1, ta có F(x) = x3 – 3×2 + 2x. Ta thấy:

• F(1) = 13 – 3 . 12 + 2 . 1 = 0. Vậy x = 1 là nghiệm của đa thức F(x).

• F(2) = 23 – 3 . 22 + 2 . 2 = 0. Vậy x = 2 là nghiệm của đa thức F(x).

Tóm lại, khi m = 1, đa thức F(x) = x3 – 3×2 + 2x có ba nghiệm là x = 0, x = 1 và x = 2.