Vở bài tập Toán 7 Bài 4: Phép nhân đa thức một biến – Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 4: Phép nhân đa thức một biến

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 53 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Muốn nhân đơn thức A với đơn thức B, ta làm như sau: + Nhân hệ số của đơn thức A với hệ số của đơn thức B;

+ Nhân lũy thừa của biến trong A với lũy thừa của biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau. Tức là ax^m.bxⁿ = a.b.x^m.xⁿ = abx^m+n ( a ≠ 0; b ≠ 0; m, n ∈ ℕ ).

– Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các tích với nhau. Tức là: A(B + C) = AB + AC; A( B – C ) = AB – AC.

– Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các tích với nhau. Tức là ( A + B)( C + D) = AC + AD + BC + BD.

II. Luyện tập

• Câu 1 trang 53 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính:

  a) 3x⁵.5x⁸ =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) Với m, n ∈ ℕ và n > 2, ta có: –2x^m+2.4x^n–2 =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) 3x⁵.5x⁸ = 3.5.x⁵.x⁸ = 15.x⁵⁺⁸ = 15x¹³.

  b) Với m, n ∈ ℕ và n > 2, ta có: –2x^m+2.4x^n–2 = –2.4.x^m+2+n–2 = –8x^m+n.

• Câu 2 trang 53 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính:

  a) $\frac{1}{2}$x.(6x – 4 ) =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) –x². $\left(\frac{1}{3}{\text{x}}^2-\text{x}-\frac{1}{4}\right)$ =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) $\frac{1}{2}$x.(6x – 4 )

  = $\frac{1}{2}$x.6x – $\frac{1}{2}$x.4

  = 3x² – 2x. b) –x².$\left(\frac{1}{3}{\text{x}}^2-\text{x}-\frac{1}{4}\right)$

  = –x². $\frac{1}{3}$x² – x². (–x) – x². $\frac{–1}{4}$

  = $\frac{–1}{3}$x⁴ + x³ + $\frac{1}{4}$x²

• Câu 3 trang 53 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính:

  a) (x² – 6 )( x² + 6) =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) (x – 1) (x² + x + 1) =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) (x² – 6 )( x² + 6)

  = x².x² + 6x² – 6x² – 36 = x⁴ – 36.

  b) (x – 1) (x² + x + 1)

  = x.x² + x.x + x – 1. (x² + x + 1)

  = x³ + x² + x – x² – x – 1

  = x³ – 1.

• III. Bài tập

• Câu 1 trang 54 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:Thực hiện phép tính:

  a) $\frac{1}{2}$x².$\frac{6}{5}$x³ =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) y². $\left(\frac{5}{7}{\text{y}}^3-2{\text{y}}^2+0,25\right)$ =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  c) ( 2x² +$\frac{3}{5}$ x + 4)(x² – x – 1 ) =

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  d) (3x – 4)(2x + 1) – (x – 2 )(6x + 3)=

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) $\frac{1}{2}$x².$\frac{6}{5}$x³ = $\frac{1}{2}$.$\frac{6}{5}$.x²⁺³ = $\frac{3}{5}$x⁵.

  b) y². $\left(\frac{5}{7}{\text{y}}^3-2{\text{y}}^2+0,25\right)$

  = y².$\frac{5}{7}$y³ – y².2y² + y².0,25

  = $\frac{5}{7}$y⁵ – 2y⁴ + $\frac{1}{4}$y².

  c) ( 2x² + x + 4)(x² – x – 1 )

  = 2x².x² + x.x² + 4x² – 2x².x – x.x – 4x – 2x² – x – 4

  = 2x⁴ + x³ + 4x² – 2x³ – x² – 4x – 2x² – x – 4

  = 2x⁴ + ( 1 – 2 )x³ + (4 – 1 – 2 )x² + (–4 – 1)x – 4

  = 2x⁴ – x³ + x² – 5x – 4.

  d) (3x – 4)(2x + 1) – (x – 2 )(6x + 3)

  = (3x.2x – 4.2x + 3x – 4) – (6x.x – 6x.2 + 3x – 3.2)

  = ( 6x² – 8x + 3x – 4 ) – ( 6x² – 12x + 3x – 6 )

  = ( 6x² – 5x – 4 ) – ( 6x² – 9x – 6 )

  = 6x² – 5x – 4 – 6x² + 9x + 6

  = 4x + 2

• Câu 2 trang 54 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tìm bậc, hệ số cao nhất và hệ số tự do của mỗi đa thức sau:

  a) P(x) = (–2x² – 3x + x – 1)(3x² – x – 2);

  b) Q(x) = (x⁵ – 5 )( –2x⁶ – x3 + 3).

  Lời giải:

  a) Ta có:

  P(x) = ( –2x² – 3x + x – 1)( 3x² – x – 2)

  = ( –2x² – 2x – 1)( 3x² – x – 2)

  = –2x².3x² – 2x.3x² –1.3x² – 2x². (–x) – 2x.( –x) –1.( –x) –2x².( –2) –2x.( –2) –1.( –2)

  = –6x⁴ – 6x³ – 3x² + 2x³ + 2x² + x + 4x² + 4x + 2

  = –6x⁴ + ( –6 + 2)x³ + (–3 + 2 + 4)x² + (1 + 4)x + 2

  = –6x⁴ – 4x³ + 3x² + 5x + 2.

  Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của P(x) lần lượt là: 4, –6, 2.

  b) Q(x) = (x⁵ – 5 )( –2x⁶ – x3 + 3).

  = x⁵. (–2x⁶) + x⁵.( –x³) + x⁵.3 – 5.( –2x⁶) – 5.( –x³) – 5.3

  = –2x¹¹ – x⁸ + 3x⁵ + 10x⁶ + 5x³ – 15

  = –2x¹¹ – x⁸ +10x⁶ + 3x⁵ + 5x³ – 15

  Bậc, hệ số cao nhất, hệ số tự do của Q(x) lần lượt là: 11, –2, –15.

• Câu 3 trang 55 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Xét đa thức P(x) = x².(x² + x + 1) – 3x(x – a) + $\frac{1}{4}$ (với a là một số).

  a) Thu gọn đa thức P(x) và sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$:

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  ………………………………………………………………………………………………………….

  Lời giải:

  a) Thu gọn đa thức P(x) và sắp xếp đa thức đó theo số mũ giảm dần của biến:

  P(x) = x².(x² + x + 1) – 3x(x – a) + $\frac{1}{4}$

  = x².x² + x².x + x² – (3x.x – 3ax) + $\frac{1}{4}$

  = x⁴ + x³ + x² – 3x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

  = x⁴ + x³ – 2x² + 3ax + $\frac{1}{4}$

  b) Tìm a sao cho tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$:

  Các hệ số của đa thức P(x) lần lượt là: 1, 1, –2, 3a, $\frac{1}{4}$

  Ta có: 1 + 1 – 2 + 3a + $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{2}$ 3a + $\frac{1}{4}$ = $\frac{5}{2}$ 3a =$\frac{9}{4}$ a = $\frac{3}{4}$.

  Vậy a = $\frac{3}{4}$ để tổng các hệ số của đa thức P(x) bằng $\frac{5}{2}$.

• Câu 4 trang 55 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Từ tấm bia hình chữ nhật có kích thước 20 cm và 30 cm, bạn Quân cắt đi ở mỗi góc của tấm bìa một hình vuông sao cho bốn hình vuông bị cắt đi có cùng độ dài cạnh, sau đó gấp lại để tạo thành hình hộp chữ nhật không nắp ( Hình 2). Viết đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi.

  Lời giải:

  Gọi độ dài cạnh hình vuông bị cắt đi là x (cm). Khi đó hình hộp chữ nhật được tạo thành có chiều cao là x (cm), đáy của nó có chiều dài là 30 – 2x (cm) và chiều rộng là 20 – 2x (cm)

  Đa thức biểu diễn thể tích của hình hộp chữ nhật được tạo thành theo độ dài cạnh của hình vuông bị cắt đi là:

  x.(30 – 2x )(20 – 2x )

  = ( 30x – 2x² )( 20 – 2x )

  = 30x.20 – 2x².20 – 2x.30x – 2x.( –2x²)

  = 600x – 40x² – 60x² + 4x³

  = 4x³ – 100x² + 600x.

• Câu 5 trang 56 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Ảo thuật với đa thức

  Bạn Hạnh bảo bạn Ngọc:

  – Nếu bạn lấy tuổi của một người bất kì cộng thêm 5;

  – Được bao nhiêu đem nhân với 2;

  – Lấy kết quả đó cộng với 10;

  – Nhân kết quả vừa tìm được với 5;

  – Đọc kết quả cuối cùng sau khi trừ đi 100. Mình sẽ đoán được tuổi của người đó.”

  Em hãy sử dụng kiến thức nhân đa thức để giải thích vì sao bạn Hạnh lại đoán được tuổi người đó.

  Lời giải:

  Gọi tuổi của người đó là x ( tuổi).

  Làm theo lời Hạnh nói ta được đa thức:

  P(x) = [(x + 5).2 + 10].5 – 100

  = (2x + 10 + 10).5 – 100

  = (2x + 20).5 – 100

  = 2x.5 + 20.5 – 100

  = 10x

  Như vậy kết quả được đọc ra cuối cùng là 10 lần số tuổi người đó. Hạnh lấy kết quả đọc ra cuối cùng chia cho 10 và đoán được tuổi của người đó.

• Câu 6 trang 56 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Một mảnh vườn có dạng hình chữ nhật. Người ta làm một con đường có diện tích bằng 19,6 m² và độ rộng 0,2 m xung quanh mảnh vườn đó như Hình 3. Giả sử chiều rộng của mảnh vườn là x (m). Tính diện tích của mảnh vườn theo x.

  

  Lời giải:

  Gọi chiều dài mảnh vườn là y ( m) Diện tích mảnh vườn là: xy (m²)

  Diện tích mảnh đất chứa cả con đường và mảnh vườn là: (x + 0,4)(y + 0,4) (m²)

  Diện tích con đường là: (x + 0,4)(y + 0,4) – xy = 0,4x + 0,4y + 0,16 (m²)

  Theo đề bài diện tích con đường là 19,6 m² nên:

  0,4x + 0,4y + 0,16 = 19,6 hay x + y = (19,6 – 0,16) : 0,4 = 48,6 hay y = 48,6 – x

  Như vậy diện tích mảnh vườn là: xy = x . (48,6 – x) = –x² + 48,6x (m²).