Vở bài tập Toán 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác - Cánh diều

Giải VBT Toán lớp 7 Bài 11: Tính chất ba đường phân giác của tam giác

I. Kiến thức trọng tâm

Câu 1 trang 109 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

Trong tam giác ABC (Hình 82), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó đoạn thẳng AD đươc gọi là …………. (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Trong tam giác ABC (Hình 82), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó đoạn thẳng AD

Lời giải:

Trong tam giác ABC (Hình 82), tia phân giác góc A cắt cạnh BC tại điểm D. Khi đó đoạn thẳng AD đươc gọi là tia phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.

Câu 2 trang 109 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2:

– Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua ………….. điểm

– Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác ………….. ba cạnh của tam giác đó.

Lời giải:

– Ba đường phân giác của tam giác cùng đi qua một điểm

– Giao điểm ba đường phân giác của một tam giác cách đều ba cạnh của tam giác đó.

II. Luyện tập

Câu 1 trang 109 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến của tam giác đó.

Lời giải:

Cho tam giác ABC cân tại A vẽ đường phân giác AD. Chứng minh AD cũng là đường trung tuyến

Xét hai tam giác ADB và ADC, ta có:

AD là cạnh chung;

$\hat{DAB}$ = $\hat{DAC}$ (do AD là tia phân giác góc A);

AB = AC (tính chất tan giác cân).

Suy ra ∆ADB = ∆ADC (c.g.c)

Do đó BD = CD (hai cạnh tương ứng).

Từ đó AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

Câu 2 trang 110 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tính số đo x trong Hình 84

Tính số đo x trong Hình 84

Lời giải:

Vì ba đường phân giác của tam giác ABC cùng đi qua một điểm nên giao điểm I của hai đường phân giác xuất phát từ đỉnh B và C cũng thuộc đường phân giác xuất phát từ đỉnh A. Suy ra tia AI tia phân giác của góc BAC.

Do đó $\hat{IAB}$ = $\hat{IAC}$ = 30^o

Vậy số đo x = 30°.

Câu 3 trang 110 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng: IA, IB, IC lần lượt là đường trung trực của các đoạn thẳng NP, PM, MN.

Lời giải:

Cho tam giác ABC có I là giao điểm của ba đường phân giác. M, N, P lần lượt là hình chiếu

Do điểm I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:

IA là cạnh chung;

$\hat{IAP}$ = $\hat{IAN}$ (Vì I thuộc tia phân giác góc A).

Suy ra ∆IAP = ∆IAN (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AP = AN (hai cạnh tương ứng).

Vì IN = IP nên I nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Vì AP = AN nên A nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Suy ra IA là đường trung trực của đoạn thẳng NP.

Chứng minh tương tự ta có: IB là đường trung trực của đoạn thẳng MP, IC là đường trung trực của đoạn thẳng MN.

III. Bài tập

Câu 1 trang 111 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của I trên các cạnh BC, CA, AB.

a) Các tam giác IMN, INP, IPM có là tam giác cân không? Vì sao?

b) Các tam giác ANP, BPM, CMN có là tam giác cân không? Vì sao?

Lời giải:

Cho tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

a) Do I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC nên IM = IN = IP.

Do IM = IN nên tam giác IMN là tam giác cân tại I

Do IN = IP nên tam giác INP là tam giác cân tại I

Do IP = IM nên tam giác IPM là tam giác cân tại I

b) Xét hai tam giác IAP và IAN, ta có

$\hat{IPA}$ = $\hat{INA}$ = 90^o

IA là cạnh chung

$\hat{IAP}$ = $\hat{IAN}$ (vì I nằm trên tia phân giác góc A)

Suy ra ∆IAP = ∆IAN (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó AP = AN (hai cạnh tương ứng)

Vì AP = AN nên tam giác ANP là tam giác cân

Chứng minh tương tự các tam giác BPM, CMN là tam giác cân.

Câu 2 trang 111 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh:

a) $\hat{IAB}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{IAC}$ = 90^o;

b) $\hat{BIC}$ = 90^o + $\frac{1}{2} \hat{BAC}$ .

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Chứng minh

a) Ta có: $\hat{BAC}$ + $\hat{CBA}$ + $\hat{ACB}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

Vì tia AI, BI, CI lần lượt là tia phân giác của các góc $\hat{BAC}$ , $\hat{CBA}$ , $\hat{ACB}$ nên

$\hat{IAB}$ = $\frac{1}{2} \hat{B A C}$ , $\hat{IBC}$ = $\frac{1}{2} \hat{C B A}$ , $\hat{ICA}$ = $\frac{1}{2} \hat{A C B}$ ,

Suy ra $\hat{IAB}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{I A C}$ = $\frac{1}{2} \hat{B A C}$ + $\frac{1}{2} \hat{C B A}$ + $\frac{1}{2} \hat{A C B}$

= $\frac{1}{2}$ ( $\hat{B A C}$ + $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ ) = $\frac{1}{2}$ .180^o = 90^o.

b) Ta có $\hat{BIC}$ + $\hat{IBC}$ + $\hat{I CB}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác).

Suy ra $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{C B A}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ = 180^o

hay $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ ( $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ ) = 180^o.

Vì $\hat{B A C}$ + $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o nên $\hat{C B A}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o – $\hat{B A C}$

Do đó $\hat{BIC}$ + $\frac{1}{2}$ (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 180^o hay $\hat{BIC}$ = 90^o + $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

Câu 3 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC.

a) Chứng minh $\hat{C B I}$ > $\hat{A C I}$ ;

b) So sánh IB và IC.

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I và AB < AC

a) Vì AB < AC nên $\hat{A C B}$ < $\hat{A B C}$ (1)

Vì các tia BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc ABC và ACB nên

$\hat{C B I}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ và $\hat{A C I}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{C B I}$ > $\hat{A C I}$

b) Ta có $\hat{C B I}$ > $\hat{A C I}$ ; $\hat{B C I}$ = $\hat{A C I}$ . Suy ra $\hat{C B I}$ > $\hat{B C I}$ .

Trong tam giác IBC, Vì $\hat{C B I}$ > $\hat{B C I}$ nên IC > IB hay IB < IC.

Câu 4 trang 112 vở bài tập Toán lớp 7 Tập 2: Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu của điểm I trên các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh:

a) IA, IB, IC lần lượt là tia phân giác của các góc NIP, PIM, MIN.

b) $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

d) $\hat{M N P}$ = 90^o – $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ ;

Lời giải:

Tam giác ABC có ba đường phân giác cắt nhau tại I. Gọi M, N, P lần lượt là hình chiếu

a) Xét hai tam giác vuông IAP và IAN, ta có:

IA là cạnh chung;

$\hat{I A P}$ = $\hat{I A N}$ (do I nằm trên tia phân giác góc A).

Suy ra ∆IAP = ∆IAM (cạnh huyền – góc nhọn).

Do đó $\hat{A I P}$ = $\hat{A I N}$ (hai góc tương ứng).

Suy ra tia IA là tia phân giác của góc NIP.

Chứng minh tương tự ta cũng có:

IB là tia phân giác của góc PIM, IC là tia phân giác của góc MIN.

b) Xét tam giác vuông AIP, ta có $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ = 90^o

Xét tam giác vuông AIN, ta có $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o

Suy ra $\hat{A I P}$ + $\hat{I A P}$ + $\hat{A I N}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o + 90^o = 180^o

( $\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ ) + ( $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ ) = 180^o (1)

Mà $\hat{A I P}$ và $\hat{A I N}$ , $\hat{I A P}$ và $\hat{I A N}$ là các cặp góc kề nhau nên:

$\hat{A I P}$ + $\hat{A I N}$ = 90^o và $\hat{I A P}$ + $\hat{I A N}$ = 90^o (2)

Từ (1) và (2), suy ra: $\hat{N I P}$ + $\hat{N A P}$ = 180^o hay $\hat{N I P}$ + $\hat{B A C}$ = 180^o

Do đó: $\hat{N I P}$ = 180^o – $\hat{B A C}$ ;

c) Vì I là giao điểm của ba đường phân giác nên IN = IP

Suy ra tam giác INP là tam giác cân tại I. Do đó: $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$

Mà $\hat{I N P}$ + $\hat{I P N}$ + $\hat{N I P}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra 2 $\hat{I N P}$ + (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 180^o hay 2 $\hat{I N P}$ – $\hat{B A C}$ = 0^o.

Suy ra : $\hat{I N P}$ = $\hat{I P N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

d) Chứng minh tương tự câu c, ta có: $\hat{I M P}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ , $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ .

Suy ra $\hat{N M P}$ = $\hat{I M P}$ + $\hat{I M N}$ = $\frac{1}{2}$ $\hat{A B C}$ + $\frac{1}{2}$ $\hat{A C B}$ = $\frac{1}{2}$ ( $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ ) (3)

Ta có $\hat{B A C}$ + $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o (tổng ba góc của một tam giác)

Suy ra $\hat{A B C}$ + $\hat{A C B}$ = 180^o – $\hat{B A C}$

Từ (3) và (4) suy ra $\hat{N M P}$ = $\frac{1}{2}$ (180^o – $\hat{B A C}$ ) = 90^o – $\frac{1}{2}$ $\hat{B A C}$ .

Bài liên quan:

Leave a Comment Hủy